劉美師,吳敬玉,王文妍,楊盛慶,謝任遠

(上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

隨著衛(wèi)星趨于大型化發(fā)展，控制力矩陀螺(CMG)因其具有輸出力矩大、控制效率高等優(yōu)點常被選為執(zhí)行機構(gòu)。若衛(wèi)星的控制系統(tǒng)中只剩兩個單框架控制力矩陀螺(SGCMG)可以使用，則控制系統(tǒng)輸入維數(shù)少于輸出維數(shù)，稱為欠驅(qū)動姿態(tài)控制[1]。欠驅(qū)動衛(wèi)星的姿態(tài)控制系統(tǒng)處于一種非完整配置狀態(tài)，是一種不可積分約束的非線性系統(tǒng)[2]。欠驅(qū)動姿態(tài)控制可以在衛(wèi)星的部分執(zhí)行機構(gòu)失效時維持基本姿態(tài)，還能減輕整個控制系統(tǒng)的功耗、質(zhì)量、體積。傳統(tǒng)的線性控制方法及現(xiàn)代控制理論不能直接應用于欠驅(qū)動衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題。

欠驅(qū)動控制主要有四類，分別為間斷反饋控制、時變穩(wěn)定控制、混合控制、最優(yōu)控制。反饋控制通過進行非奇異坐標變換來解決非線性問題，主要應用于原系統(tǒng)可以實現(xiàn)狀態(tài)反饋的情況；時變穩(wěn)定控制法通過參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化來實現(xiàn)控制系統(tǒng)的收斂，應用于系統(tǒng)參數(shù)實時可測的情況；混合控制法結(jié)合多種線性控制，通過控制器的切換來實現(xiàn)對穩(wěn)健性要求不高的系統(tǒng)的控制；最優(yōu)控制法通過構(gòu)建一個特定的性能指標，對這個指標求極值來求解控制器，主要應用于非線性較弱的系統(tǒng)[3-7]。而欠驅(qū)動衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制主要有兩大類，即間斷定系數(shù)狀態(tài)反饋控制和連續(xù)時變狀態(tài)反饋控制[8-9]。國內(nèi)外對CMG的研究主要針對CMG的奇異問題，集中在操縱律設(shè)計上[10-13]。關(guān)于欠驅(qū)動衛(wèi)星最早的理論研究可以追溯到1984年，Crouch等基于微分幾何理論分別針對剛體衛(wèi)星在有一、二、三個獨立控制輸入力矩的情況下，給出了衛(wèi)星能控的充要條件[14]。并證明如果欠驅(qū)動衛(wèi)星是非軸對稱的，則衛(wèi)星在平衡點都是局部能控的。對于欠驅(qū)動衛(wèi)星要實現(xiàn)其在兩個給定姿態(tài)之間進行機動，通常有兩種方式：基于最優(yōu)控制策略的軌跡規(guī)劃算法或基于衛(wèi)星特殊特性(微分平滑、微分包含等)的軌跡規(guī)劃算法[15]。

針對欠驅(qū)動衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，在失控軸方向上無對應的執(zhí)行機構(gòu)提供控制力矩，只能通過其余兩軸上執(zhí)行機構(gòu)的耦合影響來實現(xiàn)控制，因此較難處理的就是失控軸角速度分量對衛(wèi)星姿態(tài)的影響。SGCMG只能提供單自由度的控制力矩，通常構(gòu)成一定構(gòu)型如五棱錐構(gòu)型、金字塔構(gòu)型、雙平行構(gòu)型等。前人對SGCMG的研究集中在組成特定構(gòu)型后如何避免奇異問題，而未考慮只剩兩個SGCMG可用的欠驅(qū)動控制情況。戈新生[16]以兩個飛輪為執(zhí)行機構(gòu)，并在整星零動量條件下通過最優(yōu)控制方法和Ritz近似理論，得到以兩個動量飛輪為執(zhí)行機構(gòu)的欠驅(qū)動控制律。SGCMG較飛輪有更強的控制力矩輸出能力，能實現(xiàn)對更惡劣工況的控制，但需要增加操縱律設(shè)計來解決SGCMG帶來的奇異問題。本文通過欠驅(qū)動衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制律和SGCMG操縱律的設(shè)計，實現(xiàn)了使用SGCMG的欠驅(qū)動控制。其中控制律決定如何用兩維控制力矩控制三軸姿態(tài)，操縱律決定如何用兩個SGCMG提供兩維控制力矩。

1 數(shù)學模型的建立

假設(shè)研究對象為剛體衛(wèi)星，由歐拉方程導出姿態(tài)動力學方程，并建立用四元數(shù)描述的姿態(tài)運動學方程。

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型

定義衛(wèi)星本體坐標系的三個軸，分別沿其主慣量軸方向。剛體衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)運動方程為

(1)

(2)

定義中間變量

(3)

則動力學方程可以簡化為

(4)

式(4)為z軸欠驅(qū)動時衛(wèi)星的姿態(tài)動力學模型，其中u1和u2為控制器的輸入變量，c3為常數(shù)。

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型

設(shè)q是把參考系轉(zhuǎn)動到星體系時對應的轉(zhuǎn)動四元數(shù)，則衛(wèi)星運動學方程為

(5)

四元數(shù)運動學方程不涉及三角函數(shù)，無奇點，且滿足歸一化約束條件。

2 控制器設(shè)計

根據(jù)系統(tǒng)動力學和運動學方程，首先設(shè)計一個能實現(xiàn)姿態(tài)動力學系統(tǒng)穩(wěn)定的控制律，將衛(wèi)星的角速度控制為零，使失控軸的角速度不會對姿態(tài)角產(chǎn)生影響；然后在失控軸的角速度分量已經(jīng)收斂到零后，采用反步法對姿態(tài)角控制律進行設(shè)計；最后由SGCMG力矩方程導出兩個SGCMG的操縱律。結(jié)合姿態(tài)穩(wěn)定控制律和SGCMG操縱律，能夠?qū)崿F(xiàn)欠驅(qū)動衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制。

2.1 角速度控制律

為了剝離ωx和ωy對ωz的耦合影響，對動力學方程(4)中的第三式求導,可得到失控軸角速度分量的二階導數(shù)

(6)

(7)

結(jié)合式(4)、(6)、(7)求出控制律形式如下

(8)

式中：k1d，k1p為控制器參數(shù)；ε為一個用于避免奇異的小參數(shù)。

2.2 姿態(tài)角控制律

反步法的核心在于設(shè)計合適的中間控制律，控制系統(tǒng)實現(xiàn)三軸角速度的穩(wěn)定后，反步法設(shè)計出的控制器只需實現(xiàn)四元數(shù)的收斂，這個控制器作用過程中角速度的變化直接決定四元數(shù)的變化，因此要設(shè)計一個合適的角速度中間控制律。

假設(shè)在角速度中間控制律的作用下姿態(tài)四元數(shù)q1、q2的目標收斂形式為

(9)

代入姿態(tài)運動學方程(5)中可解得角速度中間控制律為

式中：k>0為控制器參數(shù)；E2和H為參數(shù)矩陣

(11)

欠驅(qū)動軸角速度ωz是一個接近于零的小量，對式(9)進行修正，并引入耦合參數(shù)β，有

(12)

則角速度中間控制律式(10)調(diào)整為

由式(12)可知在ωz為小量的前提下，如果β收斂到零，則q1和q2收斂到零。令q3的收斂形式為

(14)

q3的收斂通過調(diào)節(jié)參數(shù)β的大小來實現(xiàn)。結(jié)合運動學方程(5)、角速度中間控制律式(13)和q3收斂形式式(14)可以求出包含耦合項的參數(shù)

(15)

式中：k3>0為反步法控制器的參數(shù)；e2>0是一個充分小的正數(shù)，可以使控制參數(shù)不會進入奇異。參數(shù)β跟隨ωz的變化進行收斂，q3也收斂。選擇合適的參數(shù)，可以使q3迅速收斂。在角速度跟蹤誤差消除之后，衛(wèi)星的角速度能跟隨所設(shè)計的角速度中間控制律的變化而變化。參數(shù)β保持單調(diào)變化，且最終收斂到零。

2.3 SGCMG操縱律

SGCMG操縱律是指根據(jù)控制器產(chǎn)生的指令力矩，解算出相應的框架轉(zhuǎn)動指令，驅(qū)動電機使各個SGCMG的框架軸轉(zhuǎn)動，使得SGCMGs的總角動量發(fā)生改變，從而提供需要的控制力矩。理想情況下操縱律可以使SGCMGs的輸出力矩和控制器產(chǎn)生的指令要求的控制力矩大小相等。

(16)

式中hw為單個SGCMG角動量大小。對式(16)兩端進行求導，得

(17)

(18)

由式(18)可得操縱律，即SGCMGs的框架角速度為

(19)

3 仿真結(jié)果與分析

圖1 控制器輸入Fig.1 Input of the controller

圖2 控制力矩Fig.2 Controlling torque

從圖1、圖2可以看出，控制量和控制力矩都是一個小量。從圖3可以看出，SGCMG框架角速度和轉(zhuǎn)動的框架角也保持在初值的一個小的鄰域內(nèi)。從圖4可以看出，在狀態(tài)反饋非線性控制器的作用下，在仿真時間780 s后欠驅(qū)動衛(wèi)星角速度收斂到零。

圖3 SGCMG框架角速度Fig.3 Angular velocity of the SGCMG

圖4 星體角速度Fig.4 Angular velocity of the satellite

圖5 反步控制器作用下的控制力矩Fig.5 Controlling torque under with the back-stepping controller

圖6 反步控制器作用下的角速度中間控制律Fig.6 Angular velocity controlling law with the back-stepping controller

圖7 反步控制器作用下的姿態(tài)四元數(shù)Fig.7 Attitude quaternion with the back-stepping controller

圖8 反步控制器作用下的SGCMG框架角速度Fig.8 Angular velocity of the SGCMG with the back-stepping controller

4 結(jié)束語

針對基于SGCMGs的欠驅(qū)動衛(wèi)星，首先建立剛體衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型；根據(jù)動力學方程設(shè)計狀態(tài)反饋控制器；根據(jù)運動學方程設(shè)計反步法控制器；再結(jié)合SGCMGs的操縱律實現(xiàn)欠驅(qū)動姿態(tài)控制。所提出的結(jié)合反步法控制器和SGCMGs操縱律的方法避免了使用SGCMGs控制過程中的奇異問題，實現(xiàn)欠驅(qū)動衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定控制。本文設(shè)計的角速度中間控制律要求先將失控軸的角速度控制到零后再進行下一步控制，對控制過程中的誤差信號無法有效抑制，故控制器魯棒性和實時性較差。后續(xù)對于存在干擾力矩、非零慣量積等情況，需要進一步設(shè)計魯棒控制器。反步法設(shè)計過程中中間控制律的具體形式對控制效果影響較大，后續(xù)可以對不同形式的中間控制律進行研究。文中只研究了SGCMGs平行安裝時的姿態(tài)控制，對于如何提高SGCMGs的角動量利用率，以及非平行構(gòu)型SGCMGs情況下的操縱律設(shè)計，也可以進行深入研究。

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