周新耀，陶勇鵬，曾 亮，周 亮

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

航天技術(shù)的發(fā)展，以人造衛(wèi)星進入太空為起始點，迄今50年來取得長足的進步。在第一顆人造衛(wèi)星成功發(fā)射后，各國就發(fā)現(xiàn)它在軍事中的巨大潛力，早在20世紀(jì)60年代美國總統(tǒng)肯尼迪就說過：誰掌握了太空，誰就能更有效地控制地球。美、俄等超級大國更是不遺余力地進行著空間飛行器的研究，不斷搶占太空資源，力圖掌握絕對的制天權(quán)。

空間資源爭奪的形勢日趨嚴(yán)峻，必然促進各種空間飛行器的發(fā)展，隨著空間格局的變化，空間交會越來越受到各國的重視。交會過程燃料消耗的多少很大程度上決定了交會任務(wù)是否能夠圓滿完成，因此交會軌道的優(yōu)化和控制具有重要的意義[1]。

目前沖量交會基本都是基于Lambert問題[1-2]和基于微分修正法[3]的單脈沖交會，而Lambert問題是以中心引力體為模型，沒有考慮引力攝動因素，存在一定的誤差。單脈沖交會不存在優(yōu)化問題，但進行遠(yuǎn)距離交會時消耗燃料太多。因此采用優(yōu)化后的多脈沖交會，可以有效地節(jié)省燃料和時間[4-11]。

本文在考慮地球扁率J2攝動影響的情況下，采用非線性規(guī)劃方法對于遠(yuǎn)距離情況求解多沖量最優(yōu)空間交會問題，避開了求解兩點邊值問題的復(fù)雜數(shù)學(xué)計算，很方便地得到多沖量交會的最優(yōu)解。在建立普遍適用的空間飛行器數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過迭代算法估算交會時間從而確定預(yù)定交會點，進而按照時間、能量以及末端約束條件，建立了用于求解多脈沖最優(yōu)交會的非線性規(guī)劃模型；實現(xiàn)對雙脈沖固定時間交會軌道進行優(yōu)化設(shè)計，進而得到最優(yōu)速度增量的大小、方向和作用時間，但實際過程中，飛行器推力系統(tǒng)并不能提供一個瞬時速度增量，因此采用速度增益導(dǎo)引方法，實現(xiàn)交會軌道優(yōu)化方案[12-14]。最后通過數(shù)學(xué)仿真試驗證明了該方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

定義地心赤道慣性坐標(biāo)系(O-xiyizi)，坐標(biāo)系原點O在地球中心，平面xiyi和地球赤道平面重合，xi軸指向春分點，zi軸沿著地球旋轉(zhuǎn)軸(即垂直于赤道平面)，指向北極。yi軸與xi軸、zi軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系[9]。

在地心赤道慣性坐標(biāo)系中，考慮地球扁平J2攝動作用的情況下，航天器運行軌道方程為

(1)

式中:r為航天器地心距矢量;r為r的模;v為航天器速度矢量;f為地球J2攝動加速度;μ=3.986×105km3/s2為地球引力常數(shù)。a為發(fā)動機推力的加速度矢量；f在地心慣性坐標(biāo)系中的分量為

(2)

式中:x、y、z為航天器在地心慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo);J2=1.082 64×10-3為地球引力勢的二階帶諧系數(shù)；Re=6 378.14 km為地球半徑。

(3)

2 預(yù)測交會點確定

為了達(dá)到交會的目的，必須先在目標(biāo)航天器運行軌道上找到一個合適的預(yù)測交會點，預(yù)測交會點是有條件的，并不是目標(biāo)將運行到的任何一點都能作為預(yù)測交會點。理論上，在運行時間確定后，空間的兩點間總能找到一條軌道。但預(yù)測交會點的選取必須合理，否則得到的變軌速度增量將超過實際許可，交會無法進行；或者交會軌道不合理，穿過地球表面等[4]。實際上，在交會航天器與目標(biāo)航天器軌道為近圓的條件下，確定預(yù)測交會點的主要思想是：估算交會航天器和目標(biāo)航天器運行到預(yù)測交會點的時間，如果兩者能夠大致相等，則此預(yù)測交會點是可取的。具體方法如圖1所示[5]。

圖1 預(yù)測交會點確定Fig.1 Determination of predictive interception point

已知一條空間軌道上的兩點r1,r2,則兩點之間的運行時間估算公式為

(4)

(5)

初始條件給定了此刻的交會航天器和目標(biāo)航天器的位置(分別為r1和r)和速度矢量。先利用數(shù)值方法對目標(biāo)進行某個步長的軌道遞推，得到目標(biāo)的一個步長后的位置矢量，設(shè)為r2,再利用剛才的方法分別估算交會航天器和目標(biāo)航天器從初始位置運行到此位置矢量的大致時間，設(shè)為Δt1,Δt2。如此重復(fù)，直到|1-Δt1/Δt2|<ε，便可得到預(yù)測交會點，它可保證比較容易地實現(xiàn)交會航天器與目標(biāo)航天器同時到達(dá)此位置。當(dāng)然，在遞推過程中，必須對遞推步數(shù)作個限制，一般將目標(biāo)航天器的遞推限制在一個周期內(nèi)，如在此之內(nèi)|1-Δt1/Δt2|一直大于ε，則認(rèn)為當(dāng)前的初始條件不能進行交會。

3 遠(yuǎn)距離交會軌道優(yōu)化

3.1 最優(yōu)交會的非線性規(guī)劃模型

首先對航天器多脈沖交會軌道進行非線性規(guī)劃，規(guī)劃過程中的約束條件如下：

1) 運動狀態(tài)約束

飛行器在脈沖施加點按照式(1)的規(guī)律運行。以x表示飛行器的狀態(tài)矢量(3個位置和3個速度矢量)，令式(1)為Φ(x,t)，則在脈沖施加點間(包括最后一次脈沖施加點和交會點間)飛行器的運動狀態(tài)約束為

(6)

2) 時間約束

當(dāng)交會時間確定后，交會過程中的n次脈沖作用的時刻ti(i=1,2,…,n)應(yīng)在初始時刻t0和末端時刻tf之間。即滿足

t0≤t1

(7)

3) 能量約束

飛行器所攜帶的燃料有限，能夠提供的速度增量有一定的限制，設(shè)能提供的最大速度增量為Δvmax，則交會過程中施加的速度增量要滿足

Δvtotal≤Δvmax

(8)

式中:Δvtotal為n次速度增量總和，表示為

(9)

4) 末端狀態(tài)約束

設(shè)在交會點處飛行器和目標(biāo)航天器的位置矢量分別為rIp和rtp，速度矢量分別為vIp和vtp。要保證飛行器最后要命中目標(biāo)，需要滿足

(10)

5) 性能指標(biāo)

選取能量消耗最少作為性能指標(biāo)，則性能指標(biāo)為

J=min(Δvmax)

(11)

綜合以上約束，非線性規(guī)劃模型可表示為

(12)

3.2 非線性規(guī)劃算法

如果目標(biāo)函數(shù)中或者約束條件中至少有一個是非線性函數(shù)，則最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題。它的一般形式為

式中：X=(x1,x2,…,xn)∈Rn；f，gi，hj是定義在Rn上的實值函數(shù)。

一般來說，解非線性規(guī)劃問題要比求解線性規(guī)劃問題困難得多，而且也不像線性規(guī)劃那樣有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型及如單純形遺傳法這一通用解法[6]。非線性規(guī)劃的各種算法都有自己特定適用范圍。都有一定的局限性，到目前為止還沒有適合于各種非線性規(guī)劃問題的一般算法[13]。通常求解非線性規(guī)劃問題的方法有罰函數(shù)法和近似規(guī)劃法[8]。本文采用近似規(guī)劃法進行求解:

式中：Δvmax為發(fā)動機能提供的最大速度增量，為一常值。h(X)=rIp-rtp。以雙脈沖為例X為第一次施加的速度增量和第二次施加的速度增量及其作用時間，為7個量。

具體迭代算法如下：

1) 給定初始可行點X1={(x1)1,(x2)1,…,(xn)1}，步長限制為(δj)1(j=1,2,…,n)，步長縮小系數(shù)β∈(0,1)，取0.5。允許誤差ε>0，取1×10-6,令k=1。

2) 在點Xk處，將f(X)，g(X)，h(X)按泰勒級數(shù)展開并取一階近似，得到近似線性規(guī)劃問題

(14)

3) 在上述近似線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)上增加一組限制步長的線性約束條件，因為線性近似通常只在展開點附近近似程度較高，故需要對變量的取值范圍加以限制，所以增量的約束條件為

(15)

求解該線性規(guī)劃問題，得到最優(yōu)解Xk+1。

4) 檢驗Xk+1對原約束是否可行，若Xk+1對原約束可行，則轉(zhuǎn)化為步驟5)；否則，縮小步長限制，令

(δj)k=β(δj)k(j=1,2,…，n)

(16)

返回步驟3)，重新解算當(dāng)前的線性規(guī)劃問題。

5) 判斷精度：若(δj)k<ε(j=1,2,…，n)，則點Xk+1為近似最優(yōu)解；否則令(δj)k+1=(δj)k(j=1,2,…，n)，k=k+1，返回步驟2)。

根據(jù)上述最優(yōu)軌道優(yōu)化算法，可以得出雙脈沖最優(yōu)點火時刻t1、t2以及該時刻所需要的速度增量Δv1、Δv2；但實際過程中，飛行器的推力系統(tǒng)并不能夠提供一個瞬時速度增量，而是通過速度增益導(dǎo)引方法來實現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移[10-12]，如圖2所示。

圖2 非線性最優(yōu)交會軌跡Fig.2 Optimal interception trajectory of nonlinearity

4 仿真計算分析

交會航天器包括平臺和載荷，其中載荷從平臺發(fā)射，自主變軌完成與目標(biāo)的交會。設(shè)交會時間為12 000 s，載荷所能提供的最大速度增量為2.0 km/s。初始時刻平臺與目標(biāo)航天器的參數(shù)如表1所示，目標(biāo)星為中軌衛(wèi)星，軌道高度16 000 km，三個軌道面參數(shù)如表1所示。

表1 軌道運行狀態(tài)

由表2、表3和圖3、圖4對比，可以看出，采用Lambert方法所得的結(jié)果脫靶量較大，同時消耗燃料較多，而本文采取的非線性規(guī)劃方法，不僅速度增量減少了0.08 km/s，而且精度達(dá)到85.6 m，遠(yuǎn)優(yōu)于Lambert的位置精度18 368 m，如圖5所示。

表2 雙脈沖最優(yōu)交會結(jié)果

表3 Lambert交會結(jié)果

圖3 非線性規(guī)劃彈目相對距離曲線Fig.3 Relative distance curve of missile-target based on nonlinear programming

圖4 Lambert彈目相對距離變化曲線Fig.4 Relative distance curve of missile-target based on Lambert

圖5 Lambert交會軌跡Fig.5 Interception trajectory of Lambert

5 結(jié)束語

本文對空間軌道的遠(yuǎn)距離交會進行了研究，通過迭代算法對預(yù)測交會點進行可行性預(yù)估，進而選取能量消耗和末端精度為控制變量，將軌道交會問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，采用非線性規(guī)劃的方法對軌道離散化后所轉(zhuǎn)化的非線性問題進行求解，最終得到最優(yōu)交會軌道。相比于傳統(tǒng)的軌道優(yōu)化設(shè)計，本文將時間、能量以及末端位置、速度狀態(tài)變量同時引入約束中，在節(jié)省能量的前提下，保證了交會的速度需求，極大地提高了末端交會的控制精度。

非線性規(guī)劃是解決最優(yōu)控制問題的一種有效方法，可以滿足控制中的各項約束，而且在求解過程中避免了復(fù)雜的計算[13]。通過仿真可以看出，本文所采用的非線性規(guī)劃策略大大提高了交會的控制精度，同時當(dāng)飛行時間較長時，單脈沖交會軌跡不再為最優(yōu)軌跡，在交會時間固定的前提下，非線性規(guī)劃得出的雙脈沖策略相比傳統(tǒng)Lambert軌道設(shè)計可有效降低速度增量，減小發(fā)動機燃料消耗。不過非線性規(guī)劃只是一種局部優(yōu)化方法，不能得到全局最優(yōu)解，并且隨著脈沖次數(shù)的增加，計算量較大，因此，如何在本文的研究基礎(chǔ)上，進一步對優(yōu)化算法進行改進，從而更加充分地利用有限燃料，提高對目標(biāo)的交會精度將是今后需要研究的內(nèi)容。

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