曹 旭,沈云中

(同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

在GNSS測(cè)量工程應(yīng)用中經(jīng)常需要進(jìn)行三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換[1]。根據(jù)旋轉(zhuǎn)與尺度參考點(diǎn)的不同定義，三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型：Bursa-Wolf模型、Molodensky模型及武測(cè)模型等[2]。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型只考慮了公共點(diǎn)的一套坐標(biāo)誤差，對(duì)另一套坐標(biāo)誤差不予考慮，利用線性或非線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行解算[3-7]。同時(shí)，諸多學(xué)者也對(duì)整體最小二乘的解法進(jìn)行了研究[8-10]。文獻(xiàn)[11]提出顧及兩套坐標(biāo)誤差的Bursa模型坐標(biāo)變換方法，基于公共點(diǎn)兩套坐標(biāo)改正數(shù)加權(quán)平方和最小為準(zhǔn)則解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，根據(jù)公共點(diǎn)與轉(zhuǎn)換點(diǎn)間的互協(xié)方差陣，利用公共點(diǎn)坐標(biāo)的改正數(shù)推估出轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)的改正數(shù)，顯著提高了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。文獻(xiàn)[12]提出無縫三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型，同時(shí)考慮公共點(diǎn)的兩套坐標(biāo)誤差和轉(zhuǎn)換點(diǎn)的坐標(biāo)誤差，將計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)和變換轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)合處理，坐標(biāo)精度得到進(jìn)一步改善。文獻(xiàn)[13]針對(duì)常規(guī)控制網(wǎng)平面和高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的特點(diǎn)，利用過渡坐標(biāo)系改進(jìn)了三維坐標(biāo)變換模型，并不需要三維已知點(diǎn)，分別利用常規(guī)控制網(wǎng)的平面坐標(biāo)和高程解算7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)。

本文基于平面和高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的實(shí)際情況，同時(shí)顧及兩套坐標(biāo)都存在誤差，導(dǎo)出相應(yīng)的基準(zhǔn)變換參數(shù)解算模型，并用算例說明了本文模型的優(yōu)點(diǎn)。

1 三維基準(zhǔn)變換模型

當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角是小角度時(shí)，三維基準(zhǔn)變換的Bursa模型[14]：

(1)

其中，TX，TY和TZ為三個(gè)平移參數(shù)，ωX，ωY和ωZ是三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，k為尺度參數(shù)；[XiYiZi]T為第i點(diǎn)的三維坐標(biāo)，上標(biāo)I和II表示兩套坐標(biāo)系。

當(dāng)旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)相對(duì)于參考點(diǎn)K時(shí)，稱為Molodensky模型[13]，其變換為

(2)

其中，[ΔXKiΔYKiΔZKi]T=[Xi-XKYi-YKZi-ZK]T。

文獻(xiàn)[13]提出將原有的坐標(biāo)系先繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Li角，再繞Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°+Bi角，最后Z軸反向，得到過渡坐標(biāo)系O-xyz，其中，Li和Bi為平面坐標(biāo)與高程分開的那個(gè)坐標(biāo)系的第i點(diǎn)的經(jīng)度與緯度。變換的旋轉(zhuǎn)矩陣：

在式(2)兩邊同時(shí)左乘Ri，可得

(3)

(4)

其向量和矩陣形式為

(5)

Ai=

對(duì)于平面控制點(diǎn)，只選取式(4)中的前兩個(gè)方程；對(duì)于高程控制點(diǎn)，只選取式(4)中的第三個(gè)方程。

2 基準(zhǔn)變換參數(shù)的解算模型

如果有n個(gè)公共點(diǎn)，其編號(hào)從1～n，則其誤差方程為

VII-RVI=Aξ-(LII-RLI).

(6)

2ST(VII-RVI-Aξ+LII-RLI)=min.

(7)

其中，S為聯(lián)系數(shù)向量，Q11,I為公共點(diǎn)的GNSS控制網(wǎng)坐標(biāo)系下的協(xié)因數(shù)陣，Q11,II為平面與高程分開布設(shè)的公共點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)控制網(wǎng)坐標(biāo)系下的協(xié)因數(shù)陣。分別對(duì)殘差向量VI，VII和參數(shù)向量ξ求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得

(8)

由式(8)前兩式得

RVI=-RQ11,IRTS，VII=Q11,IIS.

(9)

兩式相減得

VII-RVI=(RQ11,IRT+Q11,II)S.

(10)

將其代入式(6)，得

S=(RQ11,IRT+Q11,II)-1

(Aξ-LII+RLI).

(11)

將式(11)代入式(8)中第三個(gè)方程，得

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1Aξ=

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

(12)

所以，平面與高程分開布設(shè)的顧及兩套坐標(biāo)誤差的三維基準(zhǔn)變換的轉(zhuǎn)換參數(shù)解為

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

(13)

由式(13)可以解出轉(zhuǎn)換參數(shù)后，代入式(11)計(jì)算聯(lián)系數(shù)向量S后，再由式(9)計(jì)算改正數(shù)向量VI和VII。因R是正交矩陣，式(9)的左式也可表示為

VI=-Q11,IRTS.

(14)

V2,I=Q21,I(Q11,I)-1VI.

(15)

利用式(15)對(duì)第一套GNSS控制網(wǎng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行改正，并用得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)轉(zhuǎn)換改正后的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，得到轉(zhuǎn)換點(diǎn)在另一套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，即常規(guī)控制網(wǎng)坐標(biāo)。

3 算例分析

先模擬18個(gè)點(diǎn)的一套GNSS坐標(biāo)，給定一組轉(zhuǎn)換參數(shù)ξ=[1 000 m 2 000 m 3 000 m 6.43″ 5.12″ 4.89″ 1.000 01]，參考點(diǎn)K的坐標(biāo)為(-1 240 000.000，4 990 000.000，3 760 000.000)，采用Molodensky模型計(jì)算出18個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換前后的部分坐標(biāo)如表1所示，再按克拉索夫斯基橢球參數(shù)，中央子午線104°投影得到平面坐標(biāo)和大地高，利用EGM2008模型計(jì)算出高程異常后求得18個(gè)點(diǎn)的正常高。為了說明本文變換模型的優(yōu)越性，選取1～8號(hào)點(diǎn)作為公共點(diǎn)，其中1～3號(hào)點(diǎn)為常規(guī)平面控制網(wǎng)，4～8號(hào)點(diǎn)為常規(guī)高程控制網(wǎng)。

表1 公共點(diǎn)與轉(zhuǎn)換點(diǎn)的坐標(biāo) m

續(xù)表1

對(duì)于常規(guī)控制網(wǎng)的平面網(wǎng)，其平面坐標(biāo)x和y均模擬標(biāo)準(zhǔn)差為5 mm，相關(guān)系數(shù)為0.3的隨機(jī)誤差，不同點(diǎn)之間誤差的相關(guān)系數(shù)為0.2；高程模擬5 mm的誤差，不同點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)也是0.2。對(duì)于轉(zhuǎn)換前的坐標(biāo)(通常是GNSS控制網(wǎng)的坐標(biāo))，其X,Y,Z坐標(biāo)均模擬8 mm的誤差，且各坐標(biāo)分量的相關(guān)系數(shù)為0.3，不同點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)為0.15。比較本文三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型與傳統(tǒng)模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果，設(shè)計(jì)兩種方案：

方案一：對(duì)于傳統(tǒng)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的矩陣形式

l-el=Aξ.

采用傳統(tǒng)方法，即基準(zhǔn)變換模型只考慮公共點(diǎn)的第二套坐標(biāo)誤差。此時(shí)，根據(jù)間接平差原理，可解得轉(zhuǎn)換參數(shù)為

(16)

再由此參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)換點(diǎn)進(jìn)行變換；

方案二：采用本文平面與高程點(diǎn)不同時(shí)的嚴(yán)密三維基準(zhǔn)變換方法。

(17)

以及轉(zhuǎn)換點(diǎn)的平面精度

(18)

模擬數(shù)據(jù)計(jì)算1 000次，得到兩種方案轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)變換精度如圖1和圖2所示。方案一4個(gè)平面點(diǎn)(912號(hào)點(diǎn))的平均平面變換精度為5.0 mm，方案二為4.2 mm；方案一6個(gè)高程點(diǎn)(1318號(hào)點(diǎn))的平均高程變換精度為5.4 mm,方案二為3.9 mm。結(jié)果表明：采用本文平面與高程點(diǎn)不同時(shí)的嚴(yán)密三維基準(zhǔn)變換方法能夠改善坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

圖1 方案一(虛線)與方案二(實(shí)線)的平面變換精度比較

圖2 方案一(虛線)與方案二(實(shí)線)的高程變換精度比較

4 結(jié) 論

本文的基準(zhǔn)變換方法適用于常規(guī)控制網(wǎng)的高程與平面網(wǎng)分開布設(shè)的情況，同時(shí)考慮到兩套坐標(biāo)都含有誤差，利用分離的平面坐標(biāo)和高程值直接解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，對(duì)轉(zhuǎn)換點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行改正，模擬數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，本文方法能夠有效地提高轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度，實(shí)現(xiàn)與GNSS三維控制網(wǎng)的基準(zhǔn)變換，得到結(jié)論：

1)當(dāng)常規(guī)控制網(wǎng)的平面控制點(diǎn)沒有高程值或高程控制點(diǎn)沒有平面坐標(biāo)時(shí)，采用本文方法可以直接解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，不需要計(jì)算獲得控制點(diǎn)完整的三維坐標(biāo)，避免出現(xiàn)誤差傳遞，提高解算精度。

2)與傳統(tǒng)基準(zhǔn)變換模型相比，本文方法考慮兩套坐標(biāo)誤差的影響，對(duì)轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行改正，提高基準(zhǔn)變換的精度。

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