周 通 ， 唐文獻(xiàn) ， 王緯波 ， 張 建 ，

（1.江蘇科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.中國船舶科學(xué)研究中心 船舶振動(dòng)噪聲國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082；3.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016）

0 引 言

隨著陸地礦產(chǎn)資源的逐漸枯竭，人類將石油、天然氣的開采轉(zhuǎn)向海洋。海洋石油鉆井平臺(tái)是獲取海底資源的重要裝置。海洋平臺(tái)的樁腿支撐著整個(gè)平臺(tái)的重量，同時(shí)受到洋流與風(fēng)浪的影響，樁腿的承載能力與可靠程度決定著整個(gè)平臺(tái)的性能與穩(wěn)定性。CFRP（Carbon Fiber Reinforced Plastics）型復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度大、抗疲勞與耐腐蝕性強(qiáng)等特點(diǎn)，已逐漸取代傳統(tǒng)金屬材料被廣泛應(yīng)用于航海、航空、航天等領(lǐng)域[1]。

根據(jù)歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN 1993-1-6[2]，張建等[3]通過引入多模態(tài)缺陷的方法，研究了軸壓復(fù)合材料柱形殼屈曲特性，發(fā)現(xiàn)第1階模態(tài)缺陷不一定是最差缺陷，屈曲載荷下降受缺陷形狀、幅值雙重影響。復(fù)合材料柱形殼是具有相近空間特征值的缺陷敏感性結(jié)構(gòu)，在軸壓工況下，其失穩(wěn)破壞最先發(fā)生在中部區(qū)域。為了在不改變殼體整體性的前提下提高其軸向承載能力，除了改變柱形殼的長細(xì)比L/R，還可以通過改變殼體側(cè)壁形狀對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。當(dāng)殼體承受均布外壓時(shí)，最理想的形狀應(yīng)該是球形殼體，球殼可以承受較大的均布外壓。但是，球形殼體對(duì)于缺陷較為敏感且加工難度大，很小的初始缺陷都會(huì)造成屈曲臨界載荷的極度下降。Jasion等[4-5]將球形殼與柱形殼進(jìn)行組合，研究不同形狀桶形殼的線彈性屈曲失穩(wěn)模式。雖然桶形殼省去了柱形殼中部的加強(qiáng)肋板，但是，桶形殼的母線仍為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，不可避免的帶來了缺陷敏感性問題。Blachut等[6-8]研究了軸壓與均布側(cè)壓組合條件下復(fù)合材料柱形殼與桶形殼的線彈性屈曲特性，并分析了邊界條件與初始幾何缺陷對(duì)其影響。蛋形殼體結(jié)構(gòu)不同于球形殼、柱形殼、桶形殼，初始缺陷對(duì)其承載能力影響較小，既具有桶形殼的無肋特征，又具有柱形殼軸向承載能力較高的優(yōu)勢，且可以像球形殼一樣承受較大的均布外壓。蛋殼是一種滿足正高斯曲線的多焦點(diǎn)、回轉(zhuǎn)型薄壁結(jié)構(gòu)，具有良好的重量強(qiáng)度比、跨距厚度比、流線型、美學(xué)特性、合理的材料分布等優(yōu)點(diǎn)；蛋殼滿足圓頂原理，無須額外肋骨支撐，利用最少材料即可獲得足夠的強(qiáng)度和穩(wěn)定性；在均布?jí)毫ψ饔孟拢皻た赏ㄟ^面內(nèi)壓力抵抗外載荷，表現(xiàn)出超強(qiáng)的耐壓特性。蛋殼所呈現(xiàn)的這些優(yōu)異生物特性，是其尺寸、形狀、厚度、材料等因素協(xié)同作用的結(jié)果，這些因素相互依存、相互影響。顯然，蛋殼作為一種優(yōu)異的設(shè)計(jì)原型，可為耐壓殼的設(shè)計(jì)提供有效的生物信息[9]。蛋形殼體具有抗壓能力強(qiáng)、殼內(nèi)空間利用率高、水動(dòng)力學(xué)特性好等優(yōu)點(diǎn)，便于開孔與開窗，且在低頻階段具有良好的聲學(xué)特性，在海洋裝備結(jié)構(gòu)上具有廣闊的應(yīng)用前景[10-12]。

Liang等[13]將無肋結(jié)構(gòu)球形殼進(jìn)行交接，對(duì)多球交接形殼體進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并得到連接法蘭合理的形狀與尺寸。Iwicki等[14]通過敏感性分析的方法研究了不同形式的加強(qiáng)肋對(duì)柱形殼承載能力的影響。Ross等[15]采用環(huán)氧樹脂粘合劑將固體聚氨酯塑料的扁球形封頭與多個(gè)按一定順序排列的法蘭粘結(jié)，研究了法蘭對(duì)復(fù)合材料殼體加強(qiáng)的影響。Muljowidodo等[16]采用模塊化的方法設(shè)計(jì)復(fù)合材料交接形殼體，模塊化的交接形殼體便于安裝與維護(hù)。Blachut等[17-18]在研究復(fù)合材料桶形殼屈曲特性時(shí)，將多個(gè)桶形殼通過法蘭連接首尾串接，研究其軸壓屈曲特性。

本文基于模態(tài)缺陷條件下軸壓復(fù)合材料柱形殼屈曲特性研究，結(jié)合以K函數(shù)表示的蛋形曲線，運(yùn)用等質(zhì)量與等容積兩種方法，對(duì)柱形殼進(jìn)行形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)。引入5%缺陷幅值的模態(tài)缺陷，研究復(fù)合材料蛋形殼的軸壓屈曲特性。從工程實(shí)例出發(fā)，以單立柱固定式平臺(tái)的柱形殼樁腿為例，采用分段式模塊化設(shè)計(jì)的方法，對(duì)比一般鋼結(jié)構(gòu)柱形殼樁腿、CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿和CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿，研究5%多模態(tài)缺陷條件下三種樁腿的軸壓屈曲特性。

1 問題描述

以單立柱固定式海洋平臺(tái)柱形殼樁腿為研究背景，結(jié)合軸壓復(fù)合材料柱形殼屈曲特性的研究方法，設(shè)計(jì)復(fù)合材料蛋形殼，對(duì)其進(jìn)行線彈性與非線性屈曲分析。復(fù)合材料柱形殼的內(nèi)直徑為140 mm，長度為170 mm（去除兩端加強(qiáng)圍欄后135 mm）；柱形殼由四層碳纖維鋪設(shè)而成，每層纖維厚度為0.111 mm，共 0.444 mm；四層碳纖維由環(huán)氧樹脂粘合，鋪層角為[0°/45°/-45°/0°]。 制作柱形殼與蛋形殼的材料均為CFRP環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，其屬性如表1所示，其中tc為單層纖維厚度，n為鋪層數(shù)，本文所研究復(fù)合材料柱形殼tc為0.111mm，n為4。

表1 CFRP層合板型復(fù)合材料的材料屬性Tab.1 Material properties of the CFRP composite laminate ply

對(duì)于軸壓復(fù)合材料柱形殼試驗(yàn)?zāi)Ｐ停山?jīng)典層合殼理論、軸向壓縮試驗(yàn)得到其屈曲臨界載荷解析解與試驗(yàn)值分別為27.11 kN、19.41 kN。通過網(wǎng)格收斂性檢查，選取2×2 mm的S4R殼單元對(duì)柱形殼進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并對(duì)復(fù)合材料柱形殼進(jìn)行軸壓線彈性屈曲分析，得到前50階屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式。其中，1階屈曲特征值為27.45 kN，與解析解27.11 kN相差1.25%。通過三維掃描試驗(yàn)，得到柱形殼的初始幾何缺陷為0.022 2 mm，相對(duì)柱形殼厚度0.444 mm，即為5%的缺陷幅值。將50階線彈性屈曲失穩(wěn)模式設(shè)置為初始缺陷，并引入幾何非線性，在5%缺陷幅值條件下對(duì)軸壓復(fù)合材料柱形殼進(jìn)行非線性屈曲分析，得到的衰減系數(shù)（KDF，Knock-down Factor）曲線如圖6所示。結(jié)果表明，第1階屈曲模態(tài)缺陷并非最差缺陷，臨界載荷為21.30 kN，與試驗(yàn)值19.41 kN的誤差高達(dá)9.74%；第18階模態(tài)缺陷為最差缺陷，屈曲載荷19.65 kN與試驗(yàn)值19.41 kN的誤差僅為1.24%。其中，5%缺陷幅值第18階模態(tài)缺陷條件下，軸壓復(fù)合材料柱形殼載荷—位移曲線如圖7所示。復(fù)合材料柱形殼是具有相近空間特征值的缺陷敏感性結(jié)構(gòu)，在對(duì)其進(jìn)行鋪層優(yōu)化與尺寸優(yōu)化的基礎(chǔ)上，本文結(jié)合仿生學(xué)原理，運(yùn)用蛋形結(jié)構(gòu)對(duì)柱形殼進(jìn)行形狀優(yōu)化。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 蛋形殼幾何模型

2.1.1 蛋形曲線方程

蛋殼外形是以正高斯曲線為母線旋轉(zhuǎn)而成的多焦點(diǎn)曲面，其表面每一點(diǎn)在經(jīng)線和緯線方向都有兩個(gè)曲率半徑，每個(gè)曲率半徑代表一小段圓弧，兩段圓弧相互垂直。不同鳥類、禽類的蛋殼形狀存在差異，一般采用形狀特征參數(shù)和形狀函數(shù)來描述其幾何特征。其中，蛋殼形狀特征參數(shù)包括：長軸、短軸、中徑、圓球度、表面積、體積、形狀系數(shù)、延伸率、厚度、厚度系數(shù)等，這些特征參數(shù)之間存在近似的數(shù)學(xué)關(guān)系。

在笛卡爾坐標(biāo)系下，采用K函數(shù)對(duì)復(fù)合材料蛋形殼曲線進(jìn)行擬合。如圖1所示，以K函數(shù)表示的蛋形殼母線，蛋形曲線長短軸交點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)O，長軸為x軸，方向由小端指向大端，短軸為y軸。

圖1 以K函數(shù)表示的蛋形殼曲線Fig.1 Egg-shaped curve based on K-function

蛋形曲線函數(shù)采用K函數(shù)

對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為

其中：L為蛋形殼體的長軸長度，B為蛋形殼體的短軸長度，e為偏心距（L/e=45～55）；蛋形殼體的長軸為x軸，短軸為y軸，原點(diǎn)與蛋形仿生殼體中心相距為e；蛋形系數(shù)B/L=0.62～0.76。

與柱形殼相同，采用中面來設(shè)計(jì)蛋形殼。本文以K函數(shù)為蛋形曲線，根據(jù)已知的復(fù)合材料柱形殼模型來設(shè)計(jì)復(fù)合材料蛋形殼。由大量的鵝蛋形狀測量試驗(yàn)[9]，取蛋形系數(shù)B/L=0.69，L/e=50。蛋形殼采用兩端開孔形式，開孔大小均與已知柱形殼模型直徑相同。為了與已知復(fù)合材料柱形殼形成對(duì)比，分別采用等質(zhì)量、等容積的方法來設(shè)計(jì)復(fù)合材料蛋形殼，蛋形殼采用與柱形殼相同的環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料。為了簡化計(jì)算過程，下文均以殼體中面形狀為基準(zhǔn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2.1.2 蛋形殼等質(zhì)量設(shè)計(jì)方法

等質(zhì)量的設(shè)計(jì)方法要求蛋形殼和柱形殼具有相同的質(zhì)量，對(duì)于薄殼結(jié)構(gòu)，可以近似用中面面積相等代替殼體質(zhì)量相等，且保證兩殼體厚度相同。

由蛋形方程（1），可得蛋形殼中面面積為

其中：B/L=0.69，L/e=50。

柱形殼的中面面積為

對(duì)于本文所研究的復(fù)合材料柱形殼試驗(yàn)樣本，中面半徑R0=70 mm，L0=135 mm，中面表面積S0=18 900π mm2。

其中：x1、x2為方程（5）的 2 個(gè)根，且 x1＜x2。 結(jié)合圖 1 可知，x1=-L1，x2=L2。

R0為柱形殼中面半徑。

為了得到蛋形殼的短軸長度B，需要根據(jù)柱形殼半徑R0確定蛋形殼短軸長度B的取值范圍（B/2＞R0，且B通常需要圓整），以1.1R0作為初始的B/2進(jìn)行試根。通過預(yù)設(shè)的短軸長度B解出上述方程（5）的根x1與x2，并將x1與x2代入蛋形殼中面面積S1的計(jì)算公式（3）求出S1的值，將蛋形殼中面面積S1與柱形殼中面面積S0進(jìn)行對(duì)比，并進(jìn)一步縮小B的取值范圍，以得到蛋形殼短軸長度B的合理取值。

運(yùn)用MATLAB求解上述方程與積分。當(dāng)?shù)靶螝ざ梯SB=163 mm 時(shí)，由方程（5）可得 x1=-61.732 4 mm、x2=59.253 9 mm，蛋形殼中面面積S1=18 821π mm2。從而可得，蛋形殼長軸L=236 mm，e=5 mm。與柱形殼等質(zhì)量的蛋形殼曲線如圖2所示。

圖2 等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼蛋形曲線Fig.2 Egg-shaped curve of the equalmass composite egg-shaped shell

2.1.3 蛋形殼等容積設(shè)計(jì)方法

等容積的設(shè)計(jì)方法要求蛋形殼和柱形殼具有相同的容積，對(duì)于薄殼結(jié)構(gòu)，用中面來代替殼體，且保證兩殼體厚度相同。

由蛋形方程（1），可得蛋形殼的容積為

其中：B/L=0.69，L/e=50。

柱形殼的容積為

對(duì)于本文所研究的復(fù)合材料柱形殼試驗(yàn)樣本，中面半徑R0=70 mm，L0=135 mm，容積近似以中面表示 V0=661 500π mm3。

其中：x1、x2為以下方程的 2 個(gè)根，且 x1＜x2。 結(jié)合圖 1 可知，x1=-L1，x2=L2。

R0為柱形殼中面半徑。

為了得到蛋形殼的短軸長度B，需要根據(jù)柱形殼半徑R0確定蛋形殼短軸半徑B的取值范圍（B/2＞R0，且B通常需要圓整），以1.1R0作為初始的B進(jìn)行試根。通過預(yù)設(shè)的短軸長度B解出上述方程（8）的根x1與x2，并將x1與x2代入蛋形殼中面容積V1的計(jì)算公式（6）求出V1的值，將蛋形殼中面容積V1與柱形殼中面容積V0進(jìn)行對(duì)比，并進(jìn)一步縮小B的取值范圍，以得到蛋形殼短軸長度B的合理取值。

運(yùn)用MATLAB求解上述方程與積分。當(dāng)?shù)靶螝ざ梯SB=160 mm 時(shí)，由方程（8）可得x1=-57.217 1 mm、x2=55.043 2 mm，蛋形殼中面容積S1=662 340π mm3。從而可得，蛋形殼長軸L=232 mm，e=5 mm。與柱形殼等容積的蛋形殼曲線如圖3所示。

圖3 等容積復(fù)合材料蛋形殼蛋形曲線Fig.3 Egg-shaped curve of the equal-volume composite egg-shaped shell

2.2 復(fù)合材料蛋形殼數(shù)值模型

2.2.1 理想復(fù)合材料蛋形殼數(shù)值模型

蛋形殼采用兩端開孔形式，開孔大小均與柱形殼相同。在建立復(fù)合材料蛋形殼有限元模型時(shí)，采用與柱形殼相同的網(wǎng)格屬性、材料參數(shù)和邊界條件。建立復(fù)合材料蛋形殼有限元模型，如圖4所示。選取4節(jié)點(diǎn)減縮積分殼單元S4R對(duì)蛋形殼進(jìn)行網(wǎng)格劃分，等質(zhì)量蛋形殼模型共包含13 640個(gè)S4R減縮積分殼單元與13 860個(gè)節(jié)點(diǎn)（如圖4（a）所示），等容積蛋形殼模型共包含12 540個(gè)S4R減縮積分殼單元與 12 760 個(gè)節(jié)點(diǎn)（如圖 4（b）所示）。 蛋形殼各層的纖維排布方式為[0°/45°/-45°/0°]，各層纖維材料的彈性參數(shù)與柱形殼保持一致，見表1。結(jié)合柱形殼的邊界條件，將兩端開孔蛋形殼底端（大端）完全固定，頂端（小端）以圓心為參考點(diǎn)采用剛體約束。在參考點(diǎn)施加沿軸線向下的壓縮載荷，特征值屈曲分析階段施加的軸壓載荷為1 kN，非線性屈曲分析階段施加的載荷根據(jù)其屈曲特征值確定，保證分析過程中復(fù)合材料蛋形殼的可靠失穩(wěn)。

圖4 CFRP復(fù)合材料蛋形殼有限元模型Fig.4 FEA models of CFRP composite egg-shaped shells

2.2.2 缺陷復(fù)合材料蛋形殼數(shù)值模型

結(jié)合缺陷復(fù)合材料柱形殼有限元模型，建立缺陷復(fù)合材料蛋形殼有限元模型。通過對(duì)復(fù)合材料蛋形殼進(jìn)行線彈性屈曲分析，分別得到等質(zhì)量蛋形殼與等容積蛋形殼前50階屈曲臨界載荷和失穩(wěn)模式，將這些失穩(wěn)模式設(shè)置為初始缺陷，并引入幾何非線性。以復(fù)合材料蛋形殼前50階失穩(wěn)模式為基礎(chǔ)，引入5%缺陷幅值的模態(tài)缺陷，研究模態(tài)缺陷條件下復(fù)合材料蛋形殼的軸壓屈曲特性。等質(zhì)量蛋形殼與等容積蛋形殼的厚度均為0.444 mm，對(duì)應(yīng)5%模態(tài)缺陷的真實(shí)缺陷幅值為0.022 2 mm。運(yùn)用弧長法對(duì)缺陷柱形殼進(jìn)行分析求解，采用自動(dòng)增量步，初始弧長增量步為0.1 mm，最小弧長增量步為0.000 01 mm，最大弧長增量步為0.1 mm，最大迭代次數(shù)為100。

3 結(jié)果分析與討論

3.1 蛋形殼線彈性屈曲分析結(jié)果

分別對(duì)與復(fù)合材料柱形殼等質(zhì)量、等容積的復(fù)合材料蛋形殼進(jìn)行線彈性屈曲分析，得到其前50階屈曲特征值與失穩(wěn)模式如表2與表3所示。由表2與表3，對(duì)于纖維排布為[0°/45°/-45°/0°]的CFRP復(fù)合材料蛋形殼，各階屈曲失穩(wěn)模式均為波峰與波谷按一定規(guī)律交錯(cuò)排列的對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

表2 等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼前50階軸壓屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式Tab.2 50 eigenvalues and buckling shapes of a equal-mass composite egg-shaped shell under axial compression

表3 等容積復(fù)合材料蛋形殼前50階軸壓屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式Tab.3 50 eigenvalues and buckling shapes of a equal-volume composite egg-shaped shell under axial compression

續(xù)表3

如表2所示，對(duì)于與復(fù)合材料柱形殼等質(zhì)量的復(fù)合材料蛋形殼，第1階屈曲特征值為30.338 kN，第50階屈曲特征值為32.392 kN，與第1階屈曲特征值相差6.77%。因?yàn)榇嬖诙嘟M同根值屈曲模態(tài)，所以相鄰階屈曲特征值最小偏差為0。相鄰階屈曲特征值最大偏差為0.89%，存在于第14階與第15階之間。

如表3所示，對(duì)于與復(fù)合材料柱形殼等容積的復(fù)合材料蛋形殼，第1階屈曲特征值為30.493 kN，第50階屈曲特征值為32.777 kN，與第1階屈曲特征值相差7.49%。因?yàn)榇嬖诙嘟M同根值屈曲模態(tài)，所以相鄰階屈曲特征值最小偏差為0。相鄰階屈曲特征值最大偏差為1.04%，存在于第18階與第19階之間。

等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼短軸B=163 mm，等容積復(fù)合材料蛋形殼短軸B=160 mm。對(duì)于第1階線彈性屈曲特征值，等容積復(fù)合材料蛋形殼比等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼高出0.51%。如圖5所示，為等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼與等容積復(fù)合材料蛋形殼的1階線彈性屈曲失穩(wěn)模式。屈曲特征值的相鄰偏差較小說明復(fù)合材料蛋形殼是具有相近分立特征值問題的缺陷敏感性結(jié)構(gòu)，因此，通過引入不同缺陷形狀與缺陷幅值的模態(tài)缺陷研究蛋形殼的缺陷敏感度具有很深遠(yuǎn)的意義。

圖5 CFRP復(fù)合材料蛋形殼1階線彈性屈曲失穩(wěn)模式Fig.5 1st linear buckling modes of CFRP composite egg-shaped shells

3.2 蛋形殼非線性屈曲分析結(jié)果

在5%缺陷幅值的條件下，得到復(fù)合材料柱形殼、等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼、等容積復(fù)合材料蛋形殼的前50階模態(tài)衰減系數(shù)曲線，如圖6所示。復(fù)合材料柱形殼的最差階缺陷為第18階，衰減系數(shù)為0.716，衰減系數(shù)的極差為0.144；等質(zhì)量復(fù)合材料蛋形殼的最差階缺陷為第11階與第12階，衰減系數(shù)為0.829，衰減系數(shù)的極差為0.152；等容積復(fù)合材料蛋形殼的最差階缺陷為第9階，衰減系數(shù)為0.838，衰減系數(shù)的極差為0.154。等質(zhì)量蛋形殼與等容積蛋形殼的衰減系數(shù)曲線均在復(fù)合材料柱形殼之上且高出較多，說明缺陷對(duì)蛋形殼軸向承載能力的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于對(duì)柱形殼的影響，蛋形殼對(duì)缺陷的敏感性較低。等容積蛋形殼相對(duì)等質(zhì)量蛋形殼具有更好的軸向承載能力，更低的缺陷敏感度，對(duì)于復(fù)合材料柱形殼的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)性作用。

圖6 軸壓復(fù)合材料蛋形殼與柱形殼衰減系數(shù)曲線Fig.6 Knock-down factors of composite egg-shaped shells and cylindrical shell under axial compression

如圖7所示，為5%缺陷幅值的最差階模態(tài)缺陷條件下軸壓復(fù)合材料柱形殼、等質(zhì)量與等容積復(fù)合材料蛋形殼的載荷-位移曲線。在初始階段，隨著軸向壓縮量的增大，軸向壓力呈等比例上升趨勢，上升速度為柱形殼＞等容積蛋形殼＞等質(zhì)量蛋形殼。當(dāng)軸向壓縮量為0.39 mm時(shí)，復(fù)合材料柱形殼的載荷-位移曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，最先發(fā)生失穩(wěn)，軸向壓縮載荷急劇下降，屈曲臨界載荷為19.65 kN；當(dāng)軸向壓縮量為0.79 mm時(shí)，等容積蛋形殼發(fā)生失穩(wěn)，屈曲臨界載荷為25.56 kN；當(dāng)軸向壓縮量為0.83 mm時(shí)，等質(zhì)量蛋形殼發(fā)生失穩(wěn)，屈曲臨界載荷為25.16 kN。對(duì)于非線性屈曲臨界載荷，等容積蛋形殼比柱形殼高出30.08%，比等質(zhì)量蛋形殼高出1.59%。相對(duì)于復(fù)合材料柱形殼，復(fù)合材料蛋形殼會(huì)在更大的壓縮量下發(fā)生失穩(wěn)破壞，有利于及時(shí)發(fā)現(xiàn)設(shè)備與結(jié)構(gòu)的隱患與故障，提高了結(jié)構(gòu)的安全性與可靠性。

如圖8所示，為最差階模態(tài)缺陷、5%缺陷幅值條件下，軸壓復(fù)合材料蛋形殼屈曲破壞形式。等質(zhì)量蛋形殼的最差階模態(tài)缺陷為第11階，最大位移出現(xiàn)在蛋形殼中部偏向小端區(qū)域，在環(huán)向?qū)ΨQ分布三個(gè)形狀相似的凹陷。等容積蛋形殼的最差階模態(tài)缺陷為第9階，如果不考慮軸向壓縮位移（僅考慮徑向位移）則最大位移出現(xiàn)在蛋形殼中部赤道部位，沿環(huán)向呈現(xiàn)周期性的凸出與凹陷。

圖7 軸壓復(fù)合材料蛋形殼與柱形殼載荷—位移曲線Fig.7 Load-displacement curves of composite egg-shaped and cylindrical shells under axial compression

圖8 軸壓缺陷蛋形殼非線性屈曲失穩(wěn)模式Fig.8 Nonlinear buckling shapes of imperfect egg-shaped shells under axial compression

3.3 單立柱平臺(tái)樁腿設(shè)計(jì)分析實(shí)例

3.3.1 柱形殼樁腿與多蛋交接形樁腿設(shè)計(jì)

已知柱形殼樁腿中面直徑為7 m，長度為21 m，殼體厚度根據(jù)軸壓設(shè)計(jì)載荷45 000 kN并結(jié)合線彈性屈曲分析與非線性屈曲分析得出。殼體材料有金屬材料 （本文以Q235-A型鋼為研究對(duì)象）和CFRP復(fù)合材料，金屬材料僅研究柱形殼樁腿，CFRP復(fù)合材料需研究柱形殼樁腿和多蛋交接形樁腿。根據(jù)柱形殼樁腿設(shè)計(jì)多蛋交接形樁腿時(shí)，先將柱形殼樁腿等分三段（每段長度均為7 m），根據(jù)其中一段柱形殼（直徑7 m，長度7 m）由等容積方法設(shè)計(jì)蛋形殼，將三只相同的蛋形殼串接形成多蛋交接形樁腿。等容積的設(shè)計(jì)方法要求蛋形殼和柱形殼具有相同的容積，對(duì)于薄殼結(jié)構(gòu)，用中面來代替殼體，且保證兩殼體厚度相同。

由用K函數(shù)表示的蛋形方程（1）得到蛋形殼的容積計(jì)算式（6），結(jié)合柱形殼的容積計(jì)算式（7），運(yùn)用等容積的設(shè)計(jì)方法，令蛋形殼與柱形殼的容積相等，得到蛋形殼母線與柱形殼母線的兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根x1與x2（x1＜x2），蛋形殼的蛋形系數(shù)B/L=0.69且L/e=50。對(duì)于本文所研究的復(fù)合材料柱形殼樁腿，中面半徑R0=3.5 m，長度L0=7 m，容積近似以中面表示為V0=85.75π m3。

為了得到蛋形殼的短軸長度B，需要根據(jù)柱形殼半徑R0確定蛋形殼短軸半徑B的取值范圍（B/2＞R0，且B通常需要圓整），以1.1R0作為初始的B進(jìn)行試根。通過預(yù)設(shè)的短軸長度B解出方程（8）的根x1與x2，并將x1與x2代入蛋形殼中面容積V1的計(jì)算公式（6）求出V1的值，將蛋形殼中面容積V1與柱形殼中面容積V0進(jìn)行對(duì)比，并進(jìn)一步縮小B的取值范圍，以得到蛋形殼短軸長度B的合理取值。

運(yùn)用MATLAB求解上述方程與積分。當(dāng)?shù)靶螝ざ梯SB=8 051 mm 時(shí)，由方程（8）可得 x1=-2 939.0 mm、x2=2 825.1 mm，蛋形殼中面容積V1=85.807 0π m3。從而可得，蛋形殼長軸L=11 668 mm，偏心距e=233 mm。在對(duì)蛋形殼進(jìn)行串接時(shí)，取短軸B=8 050 mm，長軸L=11 670 mm，偏心距 e=230 mm，如圖9所示。用直徑為7 m的柱形殼截取蛋形殼中間部分，依次首尾串接形成多蛋交接形樁腿，兩端連接部分為直徑7 m的柱形殼，與蛋形殼大、小端相連的長度分別為1 911 mm、1 800 mm，使整個(gè)交接形殼體樁腿的總長度仍為21 m。根據(jù)直徑7 m、長21 m的柱形殼得到的多蛋交接型樁腿如圖10所示。

圖9 等容積復(fù)合材料蛋形殼蛋形曲線Fig.9 Egg-shaped curve of the equal-volume composite egg-shaped shell

圖10 復(fù)合材料多蛋交接形樁腿Fig.10 Composite multiple intersecting egg-shaped spud leg

3.3.2 海洋平臺(tái)樁腿數(shù)值模型

（1）海洋平臺(tái)樁腿線彈性數(shù)值模型

建立柱形殼樁腿與多蛋交接形樁腿有限元模型，如圖11所示，選取4節(jié)點(diǎn)減縮積分殼單元S4R對(duì)柱形殼樁腿與多蛋交接形樁腿進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸為200。

如圖11（a）所示，柱形殼樁腿包含11 880個(gè)S4R殼單元與11 990個(gè)節(jié)點(diǎn)。將柱殼底端完全固定，頂端以圓心為參考點(diǎn)采用剛體約束，在參考點(diǎn)施加沿軸線向下的壓縮載荷。柱形殼均等劃分為三段，各段連接處需設(shè)置加強(qiáng)肋板與連接法蘭，建立有限元模型時(shí)，兩個(gè)連接處一圈的節(jié)點(diǎn)僅保留沿軸向移動(dòng)的自由度。特征值屈曲分析階段施加的軸壓載荷為1 kN，非線性屈曲分析階段施加的載荷根據(jù)其屈曲特征值確定，保證分析過程中柱形殼樁腿的可靠失穩(wěn)。

圖11 海洋平臺(tái)樁腿有限元模型Fig.11 Spud leg FEA model of ocean platform

如圖11（b）所示，多蛋交接形樁腿包含11 872個(gè)S4R殼單元與11 984個(gè)節(jié)點(diǎn)。將最下端蛋形殼與柱形殼連接處完全固定，頂端蛋形殼與柱形殼連接處以圓心為參考點(diǎn)采用剛體約束，在參考點(diǎn)施加沿軸線向下的壓縮載荷。蛋形殼連接處需設(shè)置加強(qiáng)肋板與連接法蘭，建立有限元模型時(shí)，兩個(gè)連接處一圈的節(jié)點(diǎn)僅保留沿軸向移動(dòng)的自由度。特征值屈曲分析階段施加的軸壓載荷為1 kN，非線性屈曲分析階段施加的載荷根據(jù)其線彈性屈曲特征值確定，保證分析過程中復(fù)合材料多蛋交接形樁腿的可靠失穩(wěn)。

金屬柱形殼樁腿材料選用Q235-A鋼，其彈性模量為2.1e5 MPa，泊松比為0.274，屈服強(qiáng)度為235 MPa，密度為7 860 kg/m3。復(fù)合材料柱形殼樁腿與多蛋交接形樁腿依然選用CFRP層合板型復(fù)合材料，由基質(zhì)和增強(qiáng)纖維相互纏繞而成，所研究的柱形殼各層的纖維排布方式為[0°/45°/-45°/0°]，各層纖維材料的力學(xué)屬性如表1所示。其中，復(fù)合材料層合殼體各層厚度tc將在下文給出，層數(shù)n為4。有限元分析軟件為Abaqus 6.13，使用Abaqus/Standard求解器進(jìn)行計(jì)算。

（2）海洋平臺(tái)樁腿非線性數(shù)值模型

通過對(duì)金屬柱形殼樁腿、復(fù)合材料柱形殼樁腿與多蛋交接形樁腿的軸壓線彈性屈曲分析，分別得到三種殼體的前50階屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式，以這50階失穩(wěn)模式為基礎(chǔ)，引入5%缺陷幅值的模態(tài)缺陷并考慮幾何非線性的影響，研究模態(tài)缺陷條件下三種海洋平臺(tái)的軸壓屈曲特性。

在研究三種海洋平臺(tái)樁腿的軸壓屈曲特性之前，需要確定各樁腿的厚度。本文根據(jù)設(shè)計(jì)載荷4 500 t，結(jié)合5%缺陷幅值1階模態(tài)缺陷條件下三種樁腿的軸壓屈曲分析，對(duì)一系列的殼體厚度（精度1 mm）進(jìn)行試算，當(dāng)非線性軸壓屈曲臨界載荷恰好大于設(shè)計(jì)載荷時(shí)，即為樁腿合理的設(shè)計(jì)厚度。最終可得，Q235-A鋼柱形殼樁腿厚度為9 mm，對(duì)應(yīng)的5%缺陷幅值為9×0.05=0.45 mm；CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿的厚度為20 mm（共4層，每層5 mm），對(duì)應(yīng)的5%缺陷幅值為20×0.05=1 mm；多蛋交接形樁腿厚度為20 mm（共4層，每層5 mm），對(duì)應(yīng)的5%缺陷幅值為20×0.05=1 mm。運(yùn)用弧長法對(duì)缺陷柱形殼進(jìn)行分析求解，采用自動(dòng)增量步，初始弧長增量步為0.1 mm，最小弧長增量步為0.000 01 mm，最大弧長增量步為0.1 mm，最大迭代次數(shù)為100。

3.3.3 海洋平臺(tái)樁腿結(jié)果分析與討論

（1）CFRP復(fù)合材料密度測試試驗(yàn)

采用DahoMeter直讀式電子比重計(jì)DH-300測量環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料的密度。根據(jù)ASTM D297-93、D792-00、D618、D891等標(biāo)準(zhǔn)，采用阿基米德水中置換法原理，以實(shí)際溫度下水的密度為基礎(chǔ)，經(jīng)過兩次重量測量分別得出待測樣品的質(zhì)量與體積，CFRP復(fù)合材料試樣密度測量結(jié)果為1 320 kg/m3。

在相同的承載能力、中面直徑、樁腿長度條件下，殼體的質(zhì)量通過殼體中面面積×殼體厚度近似計(jì)算。其中，多蛋交接形殼體的中面面積計(jì)算公式根據(jù)（3）式可得（9）式。

其中，B/L=0.69，L/e=50，n為交接蛋的個(gè)數(shù)。對(duì)于本文研究的三蛋交接形樁腿，B=8 050 mm，n=3，x1=-2 937.6 mm，x2=2 825.4 mm。

經(jīng)計(jì)算可得，三蛋交接形樁腿中間蛋形部分的質(zhì)量為11.05 t，兩端柱形殼部分質(zhì)量為2.15 t。三種樁腿對(duì)應(yīng)的殼體厚度、材料密度、樁腿質(zhì)量如表4所示，在相同的軸向承載能力條件下，用復(fù)合材料代替一般金屬材料可以極大地降低樁腿的質(zhì)量，降低了海洋平臺(tái)的施工難度。如將復(fù)合材料用于自升式海洋平臺(tái)的樁腿制造，有力于降低樁腿的插拔樁難度，提高作業(yè)效率和海洋平臺(tái)工作的穩(wěn)定性。

表4 海洋平臺(tái)樁腿的質(zhì)量對(duì)比Tab.4 Mass comparison of spud legs of ocean platforms

（2）樁腿線彈性屈曲結(jié)果分析與討論

分別對(duì)三種理想海洋平臺(tái)樁腿進(jìn)行線彈性屈曲分析，得到前50階屈曲特征值與失穩(wěn)模式如表5～7所示。

由表5可知，Q235-A鋼柱形殼樁腿的第1階線彈性屈曲特征值為64 222 kN，第50階線彈性屈曲特征值為65 626 kN，與第1階線彈性屈曲特征值相差2.19%。因?yàn)榇嬖诙嘟M同根值屈曲模態(tài)，所以相鄰階屈曲特征值最小偏差為0。相鄰階屈曲特征值最大偏差為0.27%，存在于第12階與第13階之間。

表5 Q235-A鋼柱形殼樁腿前50階軸壓屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式Tab.5 50 eigenvalues and buckling shapes of a Q235-A steel cylindrical spud leg under axial compression

由表6可知，CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿的第1階線彈性屈曲特征值為56 502 kN，第50階線彈性屈曲特征值為61 022 kN，與第1階線彈性屈曲特征值相差8.00%。因?yàn)榇嬖诙嘟M同根值屈曲模態(tài)，所以相鄰階屈曲特征值最小偏差為0。相鄰階屈曲特征值最大偏差為1.67%，存在于第20階與第21階之間。

表6 復(fù)合材料柱形殼樁腿前50階軸壓屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式Tab.6 50 eigenvalues and buckling shapes of a composite cylindrical spud leg under axial compression

由表7可知，CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿的第1階線彈性屈曲特征值為58 647 kN，第50階線彈性屈曲特征值為63 434 kN，與第1階線彈性屈曲特征值相差8.16%。因?yàn)榇嬖诙嘟M同根值屈曲模態(tài)，所以相鄰階屈曲特征值最小偏差為0。相鄰階屈曲特征值最大偏差為1.27%，存在于第18階與第19階之間。

表7 復(fù)合材料多蛋交接形樁腿前50階軸壓屈曲臨界載荷與失穩(wěn)模式Tab.7 50 eigenvalues and buckling shapes of a composite multiple intersecting egg-shaped spud leg under axial compression

續(xù)表7

相對(duì)于CFRP復(fù)合材料樁腿，Q235-A鋼制柱形殼樁腿的前50階線彈性屈曲特征值分散性較小且相鄰偏差較小，說明一般金屬材料柱形殼樁腿比復(fù)合材料柱形殼樁腿具有更高的缺陷敏感度，Q235-A鋼柱形殼樁腿是具有相近分立特征值問題的缺陷敏感性結(jié)構(gòu)。因此，通過引入不同缺陷形狀與缺陷幅值的模態(tài)缺陷研究Q235-A鋼柱形殼樁腿和CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿和CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿的缺陷敏感度具有很深遠(yuǎn)的意義。

（3）樁腿非線性屈曲結(jié)果分析與討論

在5%缺陷幅值的條件下，得到Q235-A鋼柱形殼樁腿、CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿、CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿的前50階模態(tài)衰減系數(shù)曲線，如圖12所示。Q235-A鋼柱形殼樁腿的最差階模態(tài)缺陷為第1階，衰減系數(shù)為0.766，衰減系數(shù)的極差為0.114；CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿的最差階模態(tài)缺陷為第23階，衰減系數(shù)為0.810，衰減系數(shù)的極差為0.112；CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿的最差階模態(tài)缺陷為第9階，衰減系數(shù)為0.913，衰減系數(shù)的極差為0.064。CFRP復(fù)合材料樁腿的衰減系數(shù)曲線均位于Q235-A鋼柱形殼樁腿之上，說明缺陷對(duì)復(fù)合材料樁腿軸向承載能力的影響較小，復(fù)合材料柱形殼對(duì)缺陷的敏感性較低。復(fù)合材料多蛋交接形樁腿相對(duì)復(fù)合材料柱形殼樁腿具有更好的軸向承載能力，更低的缺陷敏感度。

圖12 海洋平臺(tái)樁腿衰減系數(shù)曲線Fig.12 Knock-down factor curves of ocean platform spud legs

Q235-A鋼柱形殼樁腿5%缺陷幅值的1階模態(tài)缺陷屈曲臨界載荷為49 200 kN，相對(duì)于線彈性屈曲臨界載荷64 200 kN降低了23.36%；復(fù)合材料柱形樁腿5%缺陷幅值的23階模態(tài)缺陷屈曲臨界載荷為45 800 kN，相對(duì)于線彈性屈曲臨界載荷56 500 kN降低了18.94%；復(fù)合材料多蛋交接形樁腿5%缺陷幅值的1階模態(tài)缺陷屈曲臨界載荷為53 600 kN，相對(duì)于線彈性屈曲臨界載荷58 600 kN降低了8.53%。由此可得，相對(duì)一般金屬材料，缺陷對(duì)于CFRP復(fù)合材料樁腿的軸向承載能力影響較小，且CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿具有更高的軸向承載能力與更低缺陷敏感度。

如圖13所示，為5%缺陷幅值的最差階模態(tài)缺陷條件下三種海洋平臺(tái)樁腿的載荷—位移曲線，圖14為最大軸向壓縮量下各自對(duì)應(yīng)的非線性屈曲失穩(wěn)模式。在初始階段，隨著軸向壓縮量的增大，軸向壓力呈等比例上升趨勢，上升速度為Q235-A鋼柱形殼樁腿＞CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿＞CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿。當(dāng)軸向壓縮量為25.36 mm時(shí)，Q235-A鋼柱形殼樁腿載荷位移曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，最先發(fā)生失穩(wěn)，軸向壓縮載荷急劇下降，屈曲臨界載荷為49 218 kN；當(dāng)軸向壓縮量為63.55 mm時(shí)，CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿發(fā)生失穩(wěn)，屈曲臨界載荷為45 751 kN；當(dāng)軸向壓縮量為123.70 mm時(shí)，CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿發(fā)生失穩(wěn)，屈曲臨界載荷為53 554 kN。對(duì)于非線性屈曲臨界載荷，CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿比Q235-A鋼柱形殼樁腿高出8.81%，比CFRP復(fù)合材料柱形殼樁腿高出17.06%。因此，CFRP復(fù)合材料多蛋交接形樁腿具有更高的軸向承載能力、更好的穩(wěn)定性。

圖13 海洋平臺(tái)樁腿5%缺陷幅值的最差階模態(tài)缺陷載荷—位移曲線Fig.13 Load-displacement curves of ocean platform spud legs with 5%imperfection amplitude under worst mode imperfections

圖14 三種樁腿最差階模態(tài)缺陷非線性軸壓屈曲失穩(wěn)模式Fig.14 Worst mode imperfection nonlinear buckling shapes of 3-types spud legs under axial compression

4 結(jié) 論

（1）缺陷對(duì)蛋形殼軸向承載能力的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于對(duì)柱形殼的影響，蛋形殼對(duì)缺陷的敏感性較低。等容積蛋形殼相對(duì)等質(zhì)量蛋形殼具有更好的軸向承載能力，更低的缺陷敏感度，對(duì)于復(fù)合材料柱形殼的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)性作用。相對(duì)于復(fù)合材料柱形殼，復(fù)合材料蛋形殼會(huì)在更大的壓縮量下發(fā)生失穩(wěn)破壞，有利于及時(shí)發(fā)現(xiàn)設(shè)備與結(jié)構(gòu)的隱患與故障，提高了結(jié)構(gòu)的安全性與可靠性。

（2）在相同的軸向承載能力條件下，用復(fù)合材料代替一般金屬材料可以極大地降低樁腿的質(zhì)量，降低了海洋平臺(tái)的施工難度。如將復(fù)合材料用于自升式海洋平臺(tái)的樁腿制造，有利于降低樁腿的插拔樁難度，提高作業(yè)效率與海洋平臺(tái)工作的穩(wěn)定性。

（3）相對(duì)于復(fù)合材料樁腿，Q235-A鋼制柱形殼樁腿的前50階線彈性屈曲特征值分散性較小且相鄰偏差較小，說明一般金屬材料柱形殼樁腿比復(fù)合材料柱形殼樁腿具有更高的缺陷敏感度。缺陷對(duì)復(fù)合材料樁腿軸向承載能力的影響較小，復(fù)合材料柱形殼對(duì)缺陷的敏感性較低。復(fù)合材料多蛋交接形樁腿相對(duì)復(fù)合材料柱形殼樁腿具有更好的軸向承載能力，更低的缺陷敏感度與更好的穩(wěn)定性。

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