趙馨妍（重慶市育才中學(xué)校高2019級(jí)，重慶）

一、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)

在目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用非常廣泛，同時(shí)也是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。橢圓方程的運(yùn)用經(jīng)常與其他內(nèi)容綜合考查，要求學(xué)生要深入理解橢圓方程的意義和推導(dǎo)過(guò)程。只有掌握了為什么，才知道怎么做。對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)有很多方法，例如可以運(yùn)用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，借助等差數(shù)列的方法，三角換元的方法等來(lái)求。下面我們具體的對(duì)坐標(biāo)系法推導(dǎo)橢圓軌跡方程的辦法進(jìn)行了闡述，希望能幫助大家理解，更好的在實(shí)踐中運(yùn)用。

如圖，建立直角坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2，并且點(diǎn)O與線段F1F2的中點(diǎn)重合。

設(shè) M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為 2C（C＞0），那么焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（-C，0）（C，0）.

又設(shè)點(diǎn)M與F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)

由定義可知橢圓就是集合

將這個(gè)方程移項(xiàng)后兩邊平方，得

上式兩邊再平方得=a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

整理得（a2-c2）x2+a2y2=a（2a2-c2）

由橢圓的定義知 2a＞2c，a2-c2＞0

令a2-c2，代入上式得b2x2+a2y2=a2b2

這個(gè)方程就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓焦點(diǎn)在x軸上。

二、橢圓面積公式推導(dǎo)

橢圓面積公式在高中數(shù)學(xué)中也是橢圓部分運(yùn)用公式之一，其定理：如果一條固定直線被甲乙兩個(gè)封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。橢圓面積公式的推導(dǎo)可以采用三角代換法、參數(shù)方程法、極坐標(biāo)法、分部積分法等方法。橢圓面積公式的推導(dǎo)方法很多，下面我們選取了比較簡(jiǎn)單的一種方法來(lái)具體闡述。

推導(dǎo)：分析可知，在一個(gè)圓柱上作一斜截面可得一橢圓面

設(shè)圓柱oo1的底面直徑AB′=2b，斜截面橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)AB=2a，橢圓面M′與圓柱底面M所成角為，將橢圓圓周n+1等分，設(shè)其分點(diǎn)分別為 P′1、P′2、…、P′i、P′1+i、…、P′n、P′1+n，在底面圓周上的射影分別為 P1、P2、…、Pi、P1+i、…、Pn、P1+n，分別連結(jié)點(diǎn) A、P′1、P′2；A、P′2、P′3；、…；A、P′i、P′1+i；…；A、P′n、P′1+n及點(diǎn) A、P1、P2；A、P2、P3；…；A、Pi、P1+i；…；A、Pn、P1+n。設(shè)橢圓面的面積及圓柱底面面積分別為S′、S，因?yàn)閳A柱底面面積 S′=πb2.

且b=acosa，則仿定理2（若一平面圖形M′是另一凸平面圖形M的射影，且凸平面圖形M與射影平面圖形M′所成角為a，則射影平面圖形M′的面積與凸平面圖形M的面積比為cosa.）可證

因此橢圓的面積公式為S=πab.（其中a、b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)）.

三、橢圓焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式推導(dǎo)

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式指直線與圓錐曲線相交所得弦長(zhǎng)d的公式。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是平面解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)，反復(fù)考查。直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題、弦的相關(guān)問(wèn)題（弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題、垂直問(wèn)題、定比分點(diǎn)問(wèn)題等）、對(duì)稱問(wèn)題、最值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等都是高考考查的熱點(diǎn)，掌握焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程有助于幫助大家加深理解和認(rèn)識(shí)，在各種考察點(diǎn)中靈活運(yùn)用，提高解題的效率，為高考奠定基礎(chǔ)。下面我們以一個(gè)例題開始對(duì)橢圓焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

直線直線L過(guò)右焦點(diǎn)，則可以假設(shè)直線為：x=my+c（m不等于0）

代入上式得：（b2m2+a2）+2mcb2y+b2c2-a2b2=0

整理得（b2m2+a2）y2+2mcb2y-b4=0

（2）若=90°，則 m=0，

當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)最短

橢圓部分有很多的定理和公式，其中有的更是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)橢圓公式的推導(dǎo)，希望能幫助大家更好地掌握橢圓性質(zhì)和定理，在解題中能夠更加靈活的運(yùn)用。