趙金波 任成亞

（吉林省永吉實(shí)驗(yàn)高中，吉林 永吉）

一、問題特點(diǎn)

統(tǒng)觀近幾年數(shù)學(xué)高考試題，創(chuàng)新題頻繁出現(xiàn)。主要以新運(yùn)算、新概念和新背景形式給出命題。要求學(xué)生不僅有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，還要有較強(qiáng)的閱讀能力、分析轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力、抽象概括能力和良好的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。由于試題新穎對(duì)每個(gè)考生公平、公正有利于選拔優(yōu)秀人才。

二、常見問題

1.新運(yùn)算：所指通過數(shù)學(xué)中符號(hào)語言、圖形語音、文字語言給出新的運(yùn)算模型，要求考生根據(jù)模型結(jié)合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)、方法和數(shù)學(xué)思想去探究，求解結(jié)論。

例 1.2015浙江（理 6）設(shè) A，B 是有限集，定義 d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中 card（A）表示有限集 A 中的元素個(gè)數(shù)

命題①：對(duì)任意有限集 A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要條件；

命題②：對(duì)任意有限集 A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C），A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立，命題②不成立 D.命題①不成立，命題②成立

試題解析：命題①顯然正確，通過右圖可知a（A，C）表示的區(qū)域不大于 d（A，B）+d（B，C）的區(qū)域，所以命題②也正確，故選A

例2.2013湖北（理14）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為記第 n個(gè) k邊形數(shù)為 N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

……可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算 N（10，24）= 。

試題解析：觀察n2和n前面的系數(shù)，可知一個(gè)成遞增的等差數(shù)列另一個(gè)成遞減的等差數(shù)列，故 N（n，24）=11n2-10n，∴N（10，24）=1000

點(diǎn)評(píng)：從上述例題可以得出此類問題的研究。首先根據(jù)運(yùn)算模型把問題轉(zhuǎn)化為集合、向量、數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，再利用恒等代入、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想等方法去解決實(shí)際問題。

2.新概念：是指利用數(shù)學(xué)問題的表述形式在一定限制條件下，給出一個(gè)問題新的定義，從而要求考生探究新概念下問題屬性。

例1.2017全國(guó)I（理12）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們退出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是 （ ）

A.440 B.330 C.220 D.110

例 2.2016 四川（理 15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng) P（x，y）不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為當(dāng) P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)“為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”?，F(xiàn)有下列命題：

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線。

其中的真命題是_____（寫出所有真命題的序列）。

試題解析：

解法二：由定義可知p（x，y）伴隨點(diǎn)p（′x′，y′）應(yīng)滿足x′2+y′2=所以①④錯(cuò)誤，②③正確。

點(diǎn)評(píng)：從前面問題可以總結(jié)出探究此類問題，首要細(xì)致理解定義，把握住限制條件，再確定所用知識(shí)點(diǎn)如數(shù)列、圓錐曲線，然后結(jié)合本知識(shí)點(diǎn)研究問題的方法，適當(dāng)合理選用方法去解決問題。

三、總結(jié)梳理

針對(duì)創(chuàng)新問題研究策略，筆者認(rèn)為，首先應(yīng)掌握運(yùn)算模型、理解定義，分析出新背景下含義，把問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與方法上，再構(gòu)建恰當(dāng)模型后求解結(jié)論。應(yīng)注意從正反兩個(gè)角度分析探究問題，創(chuàng)新問題。不僅對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)方法、思想和能力做全面考查，而且對(duì)數(shù)學(xué)文化作一定的考查，能達(dá)到讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。