田素云

（忻州一中，山西 忻州）

板塊問題是高中物理的重要題型，是學(xué)生難以解決的問題之一，也是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通過對(duì)這類問題的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力和發(fā)散思維能力。

解決這類問題的方法很多，下面就從動(dòng)力學(xué)的角度談?wù)勥@類問題的求解思路與技巧。

1.搞清兩種位移關(guān)系

滑塊由木板的一端運(yùn)動(dòng)到另一端的過程中，若滑塊和木板同向運(yùn)動(dòng)，對(duì)地位移大小之差等于板長；反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)地位移大小之和等于板長。

2.臨界條件

要使滑塊不從木板的末端掉下來的臨界條件是滑塊到達(dá)木板末端時(shí)的速度與木板的速度恰好相等。

3.解題思路

（1）審清題意：求解時(shí)應(yīng)先仔細(xì)審題，理解題意、用隔離法對(duì)每個(gè)物體進(jìn)行受力情況分析和運(yùn)動(dòng)情況分析。

（2）求加速度：根據(jù)牛頓第二定律準(zhǔn)確求出各物體在各運(yùn)動(dòng)過程中的加速度（注意兩過程的連接處加速度可能突變）。

（3）明確關(guān)系：找出物體之間的位移（路程）關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口，求解時(shí)注意聯(lián)系兩個(gè)過程的紐帶，每一個(gè)過程的末速度是下一個(gè)過程的初速度。

4.求解板塊問題的方法技巧

（1）弄清各物體初態(tài)對(duì)地的運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)），根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）情況，確定物體間的摩擦力方向。

（2）正確地對(duì)各物體進(jìn)行受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律確定各物體的加速度，結(jié)合加速度和速度的方向關(guān)系確定物體的運(yùn)動(dòng)情況。

（3）速度相等是這類問題的臨界點(diǎn)，此時(shí)往往意味著物體間的相對(duì)位移最大，物體的受力和運(yùn)動(dòng)情況可能發(fā)生突變。

（4）難點(diǎn)：兩者共速后能否相對(duì)靜止的判斷。

假設(shè)二者相對(duì)靜止共同勻減速，用整體法求出共同運(yùn)動(dòng)的加速度a，再用隔離法求相互之間的摩擦力f，與最大靜摩擦力fm作比較得出結(jié)論（f≤fm假設(shè)成立，反之相對(duì)滑動(dòng)）。

一、有外力F作用的“板塊”模型問題1

例1．如圖所示，一質(zhì)量為m1的長木板靜板置于光滑水平面上，其上放置質(zhì)量為m2的小滑塊。木板受到隨時(shí)間t線性變化的水平拉力F作用時(shí)，用傳感器測(cè)出其加速度a，得到如圖所示的a-F圖象。最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，取 g=10 m/s2，則

A.滑塊的質(zhì)量m2=4 kg

B.木板的質(zhì)量m1=6 kg

C.當(dāng)F=8N時(shí)滑塊加速度為2 m/s2

D.滑塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1

解析：結(jié)合圖象分析其運(yùn)動(dòng)過程：F=6 N，a=1 m/s2是問題的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)F＜6 N時(shí)，兩物體相對(duì)靜止共同勻加速運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)F=6 N時(shí)，兩物體恰好具有最大共同加速度，對(duì)整體分析，由牛頓第二定律有 F=（m1＋m2）a，代入數(shù)據(jù)解得 m1＋m2=6 kg，

當(dāng)F=8 N時(shí)，兩物體發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，滑塊的最大加速度am2=1 m/s2，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；am2=μg=1 m/s2小滑塊與長木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，D正確。

例2.質(zhì)量m1=3 kg的長木板放在光滑的水平面上，在F=11 N的水平拉力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)。如圖所示，當(dāng)速度達(dá)到1 m/s時(shí)，將質(zhì)量m2=4 kg的物塊輕輕放到木板的右端。已知物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)（g=10 m/s2）。求：

（1）物塊剛放置在木板上時(shí)，物塊和木板的加速度分別為何。

（2）木板至少多長物塊才能與木板最終保持相對(duì)靜止。

（3）物塊與木板相對(duì)靜止后，物塊受到的摩擦力大小。

分析：（1）物塊輕輕放到木板的右端，說明物塊的初速度為零，而此時(shí)長木板的速度達(dá)到1 m/s，物塊相對(duì)長木板向左運(yùn)動(dòng)，物塊所受摩擦力的方向向右，長木板所受摩擦力的方向向左。由于F＞μm2g，所以長木板所受合外力方向向右，放上物塊后，物塊與長木板均向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

（2）物塊最終與木板能夠保持相對(duì)靜止，題目要求木板至少多長?！爸辽佟钡暮x是滑塊到達(dá)木板末端時(shí)的速度與木板的速度恰好相等。即速度相等時(shí)二者的對(duì)地位移大小差等于板長。

（2）當(dāng)兩物體速度相等后可保持相對(duì)靜止，故

a1t=v0+a2t，解得 t=1 s，

（3）相對(duì)靜止后，對(duì)整體有 F=（m1＋m2）a，對(duì)物塊 f=m2a，故 f=

小結(jié)：確定物體間的摩擦力方向是解決問題的關(guān)鍵；尋找速度相等時(shí)的位移關(guān)系是突破口。

二、無外力F作用的“板塊”模型問題

例3．如圖所示，質(zhì)量為m1的木板，靜止放置在粗糙水平地面上，有一個(gè)質(zhì)量為m2、可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，以某一水平初速度從左端沖上木板。從物塊沖上木板到物塊和木板達(dá)到共同速度的過程中，物塊和木板的v-t圖象分別如圖中的折線acd和bcd所示，a、b、c、d 點(diǎn)的坐標(biāo)為 a（0，10）、b（0，0）、c（4，4）、d（12，0）。根據(jù) v-t圖象，求：

（1）物塊沖上木板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小a1，木板開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小a2，達(dá)相同速度后一起勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小a3。

（2）物塊質(zhì)量m2與木板質(zhì)量m1之比。

（3）物塊相對(duì)木板滑行的距離Δx。

解析：（1）由v-t圖象可求出物塊沖上木板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小木板開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小達(dá)到同速后一起勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小

（2）對(duì)物塊m2沖上木板減速階段：μ1m2g=m2a1

對(duì)木板m1向前加速階段：

μ1m2g－μ2（m2＋m1）g=m1a2，

物塊和木板達(dá)到共同速度后向前減速階段：μ2（m2＋m1）g=（m2＋m1）a3

（3）由v-t圖可以看出，物塊相對(duì)于木板滑行的距離Δx對(duì)應(yīng)圖中△abc的面積，故

例4．（2013新課標(biāo)）一長木板在水平地面上運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的物塊輕放到木板上，以后木板運(yùn)動(dòng)的速度－時(shí)間圖象如圖所示。己知物塊與木板的質(zhì)量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度的大小g=10 m/s2。求：

（1）物塊與木板間、木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

（2）從t=0時(shí)刻到物塊與木板均停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊相對(duì)于木板的位移的大小。

分析：在t=0時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的物塊輕放到木板上，說明物塊的初速度為零，而由圖象知t=0時(shí)長木板的速度為5 m/s，此時(shí)木板受物塊給的摩擦力μ1mg和地面給的摩擦力2μ2mg，因?yàn)橄嗷プ饔梦飰K受木板給的摩擦力數(shù)值上等于μ1mg，這樣木板不斷減速，物塊不斷加速。

之后t=0.5時(shí)刻木板加速度（即圖中的斜率）發(fā)生了變化是因?yàn)槟景迮c物塊同速之后整體受地面摩擦減速時(shí)，物塊減速的原因必然是木板給的與速度反向摩擦力，那么木板相應(yīng)受到物塊給的與速度同向的摩擦力。

解：（1）從t=0時(shí)開始，木板與物塊之間的摩擦力使物塊加速，使木板減速，此過程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止。

由圖可知，在t1=0.5 s時(shí)，物塊和木板的速度相同。設(shè)t=0到t=t1時(shí)間間隔內(nèi)，物塊和木板的加速度大小分別為a1和a2，則：a1=

設(shè)物塊和木板的質(zhì)量為m，物塊和木板間、木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2，由牛頓第二定律得：

（2）在t1時(shí)刻后，假設(shè)二者相對(duì)靜止共同勻減速，將二者看成整體：

物塊與木板之間的摩擦力f=ma0=μ2mg＞μ1mg，與假設(shè)矛盾。故f=μ1mg

地面對(duì)木板的摩擦力阻礙木板運(yùn)動(dòng)，物塊與木板之間的摩擦力改變方向。設(shè)物塊和木板的加速度大小分別為a1′和a2′，則由牛頓第二定律得：

由式可知，物塊加速度的大小a1′等于a1；物塊的v-t圖象如圖中點(diǎn)畫線所示。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可推知，物塊和木板相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離分別為

物塊相對(duì)于木板的位移的大小為s=s2-s1=1.125 m

小結(jié)：

（1）解決這類問題最關(guān)鍵的是抓住運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化時(shí)物體的受力特征，如本題0.5 s時(shí)兩物體的受力情況，這是一個(gè)非常關(guān)鍵的切入點(diǎn)。

（2）二者共速后能否相對(duì)靜止，一定要通過分析判斷得出。

上例中的判斷方法是假設(shè)二者相對(duì)靜止共同勻減速，整體法求出共同運(yùn)動(dòng)的加速度a，再隔離法求相互之間的摩擦力f，與最大靜摩擦力fm作比較得出結(jié)論（f≤fm假設(shè)成立，反之相對(duì)滑動(dòng)）。也可以隔離求臨界加速度am，通過比較am與a的大小從而得出結(jié)論（a≤am假設(shè)成立，反之相對(duì)滑動(dòng)）。