安徽省蕪湖市無為縣第二中學(xué) 安 英

眾所周知，三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是不可或缺、耳熟能詳?shù)亩魏瘮?shù)，因此，以三次函數(shù)為載體,用二次函數(shù)知識對三次函數(shù)的性質(zhì)做研究的創(chuàng)新試題，背景新穎，綜合性強，所以近年來，三次函數(shù)圖象的對稱問題是高考的熱點問題，弄清三次函數(shù)圖象對稱中心及相關(guān)性質(zhì)尤為重要。

一、提出問題，從心開始

以三次函數(shù)的對稱性為背景的創(chuàng)新試題常常出現(xiàn)在各地高考或模擬考試中，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)與方程思想,考查考生創(chuàng)新能力，考查考生熟練應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。

二、探究問題，將心注入

為了解決相關(guān)問題，弄清三次函數(shù)圖象對稱中心及相關(guān)性質(zhì)迫在眉睫。讓我們探究問題，將心注入。

三、解決問題，用心即好

（1）試用含a的代數(shù)式表示b；

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）令a=-1，設(shè)函數(shù)f(x)在處理取得極值，記點證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點。

（1）（2）兩問比較簡單，（3）問線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點，即f(x)對稱中心。理解出題者的用意，理解題目的背景，用對稱中心的性質(zhì)解決問題是個好方法，于是從三次函數(shù)圖象對稱中心開始探究。

分析：（1）（2）兩問比較簡單，（3）問要用對稱中心的性質(zhì)解決。

評注：解答（3）問，用心即好。用對稱中心的性質(zhì)解題就非常自然簡潔。掌握了三次函數(shù)的對稱中心的性質(zhì)，很多困難的問題就迎刃而解，更有助于我們提高對知識系統(tǒng)性的理解。

四、深入問題，不忘初心

進一步深入問題，不難發(fā)現(xiàn)還有很重要、很實用的引理。在解決有關(guān)問題時若不忘初心，定能另辟蹊徑。

引理：若函數(shù)y=f（x）在定義域D上可導(dǎo)，且，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點的圖象關(guān)于直線x=a對稱。

證明：由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點在 時恒成立，此時兩邊對x求導(dǎo)，得

分析：f（x）的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，可用二次函數(shù)對稱軸來解。亦可利用引理快速解決。

以三次函數(shù)的對稱性為背景的創(chuàng)新試題常常出現(xiàn)在各地高考或模擬考試中，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)與方程思想,考查考生創(chuàng)新能力，考查考生熟練應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。所以不忘初心，從心開始！