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        鑲嵌:從平面到空間

        2018-03-16 18:08:33倉(cāng)萬(wàn)林
        新高考·高二數(shù)學(xué) 2017年9期
        關(guān)鍵詞:角是正三角形六邊形

        倉(cāng)萬(wàn)林

        說(shuō)起鑲嵌,大家可能都很陌生,但生活中常見(jiàn)的鋪瓷磚,就是典型的鑲嵌問(wèn)題.

        在幾何中,平面鑲嵌又稱為“平面密鋪”,指能用一種或多種幾何圖形覆蓋整個(gè)平面,且每個(gè)幾何圖形之間不存在空隙、也不重疊的幾何結(jié)構(gòu).鑲嵌的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:在每個(gè)公共頂點(diǎn)處,各角的和是360。.在平面鑲嵌中,最簡(jiǎn)單的是正鑲嵌,即由同一種正多邊形構(gòu)成的鑲嵌,只有正三角形、正方形、正六邊形3種,

        下面我們來(lái)討論,只用一類全等形鑲嵌平面.動(dòng)手操作l 用全等的任意三角形鑲嵌平面

        把一些紙整齊地疊放好,用剪刀一次即可剪出多個(gè)全等的三角形。用這些全等的三角形可鑲嵌平面.因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°,用6個(gè)全等的三角形即可鑲嵌出一個(gè)平面,如圖2.當(dāng)然,鑲嵌的方法不止一種,如圖3.動(dòng)手操作2用全等的任意四邊形鑲嵌平面仿上面的方法可剪出多個(gè)全等的四邊形,用它們可鑲嵌平面.因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是360°,用4個(gè)全等的四邊形即可鑲嵌出一個(gè)平面.

        小伙伴們不妨自己動(dòng)手嘗試一下,用全等的四邊形Q的確可以鋪滿整個(gè)平面,如圖4.

        在剛才的操作中,我們還得到了的一個(gè)命題:若平行四邊形P的邊平行且等于四邊形Q的對(duì)角線,則四邊形Q的面積=2/1×平行四邊形P的面積.有意思的是,操作中還隱含了一個(gè)“無(wú)字證明”,哈哈,好高大上呀,“無(wú)字證明”問(wèn)題起源于20世紀(jì)90年代末美國(guó)《數(shù)學(xué)雜志》(《Mathematics Magazine》)開(kāi)辟的一個(gè)專欄:沒(méi)有文字的證明(Proof Without Words),粉絲遍布全球.小小鑲嵌,還大有文章.

        更為復(fù)雜的特殊五邊形或者特殊六邊形等鑲嵌結(jié)構(gòu),請(qǐng)移步《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫(kù)》.令人驚嘆的是一位叫瑪喬里·賴斯的家庭主婦,對(duì)平面鑲嵌有很深的研究,尤其對(duì)五邊形鑲嵌提出了很多全新的結(jié)論,令許多一流的數(shù)學(xué)家也大為驚嘆,有些懸案到目前還沒(méi)有完全解決.聰明的你,好好去琢磨一下,相信你也會(huì)成為她的粉絲的.

        下面我們來(lái)點(diǎn)新鮮的,用多種正多邊形鑲嵌.

        動(dòng)手操作3用正三角形和正六邊形的組合進(jìn)行鑲嵌

        動(dòng)手之前,我們要先做一些準(zhǔn)備工作.

        先研究這樣的情形:設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有M個(gè)正三角形的角,有個(gè)正六邊形的角.因?yàn)檎切蔚拿總€(gè)角是60。,正六邊形的每個(gè)角是120。.所以有

        可見(jiàn)具有公共頂點(diǎn)的用正三角形和正六邊形鑲嵌,有兩種類型:一種是在一個(gè)頂點(diǎn)的周圍有4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形,如圖5;另一種是在一個(gè)頂點(diǎn)的周圍有2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形,如圖6.

        如果在局部正三角形和正六邊形不是圍繞公共頂點(diǎn)分布,還有其他鑲嵌方法,如圖7.小伙伴們可探究用其他兩種甚至更多種正多邊形鑲嵌的問(wèn)題.

        平面鑲嵌中,好玩的東西還真不少,如埃舍爾繪畫(如圖8)和彭羅斯飛鏢(如圖9)等.

        平面鑲嵌升級(jí)版

        看多了二維平面的鑲嵌結(jié)構(gòu)后,是不是有將問(wèn)題升級(jí)到三維空間的沖動(dòng)呢?數(shù)學(xué)家們還就是這樣想的.更多討論請(qǐng)小伙伴們查閱開(kāi)普勒猜想(Kepler's Conjecture)等相關(guān)材料.

        從平面鑲嵌到空間鑲嵌,由手工操作到科技前沿的計(jì)算機(jī)證明,數(shù)學(xué)應(yīng)用的魅力體現(xiàn)得淋漓盡致.

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