周素娟

【關(guān)鍵詞】認知起點；學科本質(zhì)；分數(shù)模型；數(shù)學思考；深度學習

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）09-0062-04

分數(shù)概念是小學階段最難的學習任務(wù)之一，是一道“營養(yǎng)豐富但又不太好吃”的數(shù)學大餐?！罢J識一個整體的幾分之一”是蘇教版小學數(shù)學三年級下冊的內(nèi)容，兒童在掌握這部分知識后，既可以實現(xiàn)由一個物體（圖形）到一些物體（一個整體）的數(shù)學抽象，也可以實現(xiàn)由分數(shù)的“面積模型”到“集合模型”的思維過渡。在教學中，如何正確把握分數(shù)的本質(zhì)特征，建構(gòu)分數(shù)的模型，為今后整體建構(gòu)分數(shù)的意義奠定基礎(chǔ)？如何基于兒童立場實施教學，讓學習真正發(fā)生？這些都需要我們不斷思考和追問。

一、叩問：兒童的認知起點在哪里？

朱永新教授說過：“要想把學生引到你需要的地方，你得知道學生現(xiàn)在在哪里?！贝_定了學生學習的起點，了解了學生學習的前概念，再通過多種形式的操作和體驗，不斷強化、完善、豐富他們對分數(shù)概念的正確認識，就形成了教學的主環(huán)節(jié)，教學的重難點就體現(xiàn)在其中。事實上，我們的學情分析往往基于教師自身的教學經(jīng)驗，但基于教師經(jīng)驗的學情分析是否準確呢？筆者決定在兩個班級進行前測，以期更深入、更準確地了解學情，改進教學方案。

（一）第一題

1.前測內(nèi)容：

下面涂色部分可以用哪個分數(shù)表示？

2.數(shù)據(jù)分析：按兩個班級共117人合并統(tǒng)計，第1小題做對的有109人，正確率為93.16%。第2小題做對的有108人，正確率為92.31%。第3小題做對的有34人，正確率為29.06%。對比發(fā)現(xiàn)，同為本節(jié)課要學習的新內(nèi)容，第2小題的正確率極高，而第3小題的正確率很低，說明學生的認知“卡”在了這里。

（二）第二題

1.前測內(nèi)容：

在圖中用豎線分一分并涂色表示分數(shù)。

2.數(shù)據(jù)分析：同樣，按兩個班級合并統(tǒng)計，第1小題分對、涂對的有50人，正確率為42.74%；分局部或沒分、涂對的有67人，占57.26%。第2小題分對、涂對的有42人，正確率為35.90%；分局部或沒分、涂對的有49人，占41.88%；分錯或涂錯的有26人，占22.22%。

分析數(shù)據(jù)可知，對于“認識一個整體的幾分之一”這個知識，當圖中“具體的數(shù)”（數(shù)量）和“關(guān)系的數(shù)”（份數(shù)）相一致時，學生理解起來沒有問題，他們可由舊知遷移得到答案；當“具體的數(shù)”（數(shù)量）和“關(guān)系的數(shù)”（份數(shù)）不一致時，學生的認知困難就產(chǎn)生了。因此，造成學生新知學習障礙的原因，既與學生對直觀材料“怎么看”“如何分”密切相關(guān)，也與他們能否讀懂每一幅圖所蘊含的數(shù)學語言，是否具備透過表面看到內(nèi)隱關(guān)系的能力有關(guān)，更與他們能否厘清“具體的數(shù)”（數(shù)量）和“關(guān)系的數(shù)”（份數(shù)）的本質(zhì)區(qū)別高度關(guān)聯(lián)。

二、慎思：如何讓兒童對分數(shù)概念的重構(gòu)順暢而深刻？

瑞士心理學家皮亞杰的認知建構(gòu)主義理論認為，新概念的獲得過程并不總是一個在原有概念結(jié)構(gòu)上豐富的過程，有時候新概念的獲得需要從根本上進行原有知識的重構(gòu)，而學生總是試圖將新概念吸收到原有知識框架之中，這就容易產(chǎn)生認知障礙。通過對前測情況的深層次分析和思考，筆者重新定位了本節(jié)課的三個核心認知：

1.建立整體觀念：從具體事物走向整體事件。

建立對事物認知的整體觀念，即排除具體數(shù)量的干擾，把一些物體看成一個整體，這是每一個學生在其個人“認數(shù)”學習史上的一個飛躍；幫助學生逐步實現(xiàn)由一個具體事物轉(zhuǎn)向一個事件的思維方式轉(zhuǎn)變，這是分數(shù)認知的一個重要支點。要引導(dǎo)學生體會到，不管數(shù)學素材里面的物體有多少個，在畫上集合圈之后，它就不再是生活中的具體事物，而成了研究數(shù)量關(guān)系的對象。

2.經(jīng)歷均分過程：從隱性感知走向顯性表征。

學生的認知是內(nèi)隱的、無意識的，能真正讀懂“圖的語言”和理解意義的不多。這一學情對我們進行教學設(shè)計有著重要的參考價值。由于分數(shù)是由“分”而生的數(shù)，起源于“分”，分數(shù)的概念本身就直觀而生動地表示了它的特征——是一個動態(tài)的過程。因此，我們不能僅僅滿足于學生做出判斷，教學設(shè)計應(yīng)著力于引導(dǎo)學生經(jīng)歷“分”的過程，從隱性感知走向顯性表征，幫助他們透過表面看到內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系。

3.運用數(shù)學處理：從直觀思維走向邏輯抽象。

本節(jié)課要讓學生正確理解分數(shù)這個數(shù)學符號的意義，就要在“平均分”的基礎(chǔ)上建立分數(shù)的“份數(shù)模型”，引導(dǎo)學生對直觀材料進行數(shù)學化處理，再通過深入領(lǐng)悟“一份”與“總份數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，理解分數(shù)是“先分后數(shù)”產(chǎn)生的數(shù)，是一種運用數(shù)學手段“創(chuàng)造”出來的數(shù)。學生自此在數(shù)的抽象能力方面有了質(zhì)的提升，可以將目光聚焦到如何對研究對象進行數(shù)學處理上來，一步一步脫離整數(shù)背景下的思維束縛，形成新的數(shù)學素養(yǎng)和能力。

三、實踐：聆聽兒童數(shù)學思考的真實聲音

基于前測分析、兒童立場和數(shù)學學科本質(zhì)，筆者進行了如下教學實踐：

環(huán)節(jié)一：課前交流，經(jīng)驗再現(xiàn)

交流：課前，大家用自己喜歡的方式表示出了1/2，現(xiàn)在我們一起來交流一下。

大部分學生畫餅，畫各種圖形，愛美的女生畫一個蝴蝶結(jié)，將其中的一半涂色。當然，畫出的都是一個物體（圖形）的1/2。

環(huán)節(jié)二：聚焦疑點，思維碰撞

師：小宇和小亮的1/2是這樣畫的（如下圖1和圖2所示），大家同意他倆的畫法嗎？

有一些學生同意，覺得這樣表示好像也有一定的道理。但也有一些學生明確反對。

生1：我不同意，我認為他們畫的應(yīng)該用2/4和4/8來表示。

師（追問生1）：你是怎么想的？

生1：我是通過數(shù)一數(shù)得到的。一共4條魚，涂色部分有2條，這個分數(shù)就應(yīng)該是2/4。

生2：我也認為這兩幅圖不能用1/2來表示，兩幅圖中的數(shù)量都不一樣，你們看，（他舉起自己和同桌的作品），雖然我倆一個畫圓形，一個畫長方形，但我們畫的圖形的數(shù)量是一樣的呀。所以我們畫的才能用1/2來表示。

生3：我要請問小宇同學，你畫的明明是4個和2個。那么，分母的2和分子的1是從哪里來的？

師：聽明白了，你們都是通過數(shù)物體的個數(shù)得到分數(shù)的，是嗎？

師（轉(zhuǎn)向小宇和小亮）：你們的想法呢？為什么認為自己畫的是1/2？

小宇：我不是一個一個看的，我把這兩個看成一組（手指在前兩條魚上面畫一個圈），一共有兩組。所以，2和1就是這么來的。

有不少學生投去贊同的目光。

小亮：我也沒有數(shù)個數(shù)，我想的是關(guān)系，看涂色的這一部分和全部之間的關(guān)系，它們是1份和2份的關(guān)系。

師（給予肯定）：你們沒有數(shù)具體數(shù)量，而是把它們看成“部分”和“全部”之間的關(guān)系，從而得到分數(shù)。確實厲害！數(shù)學眼光獨特！

師（追問）：可是光你們這樣想還不行，這個“部分”和“全部”怎么來表示才能讓大家都看得明白呢？

學生嘗試用個性化的方式來表示。

經(jīng)過討論、交流，大家達成一致意見：可以使用簡潔的數(shù)學符號來表示某種特定意義。從而很自然地引出集合圈和分隔線這兩個數(shù)學符號。

再次明確：沒有“大圓圈”（集合圈），這是4條魚，看到的是“4”，有了“大圓圈”（集合圈），就不再是“4”，而是“1”，一個整體。

環(huán)節(jié)三：對比辨析，建構(gòu)模型

1.出示教材例1，先獨立完成再交流。

2.思考：桃的總個數(shù)不同，每份的個數(shù)也不同，為什么都可以用1/2來表示？

3.完成教材例2，再次思考：都是把6個桃平均分，為什么一次用1/2來表示，一次用1/2來表示？

4.出示一組總數(shù)、平均分的份數(shù)分別變化的問題，引發(fā)學生思考、質(zhì)疑。

環(huán)節(jié)四：練習鞏固，拓展提升（略）

四、再思：與兒童攜手向深度學習漫溯

在教學過程中，教師只有準確分析和精準把握數(shù)學學科的核心內(nèi)容和本質(zhì)，觸及數(shù)學知識的核心，才能幫助學生在數(shù)學知識的本源處、內(nèi)核處和關(guān)鍵處探尋、體驗、感受，給他們一個有根有據(jù)、有趣有味的數(shù)學，使數(shù)學教學從“數(shù)人”走向“樹人”。

1.把握起點，搭建兒童上行的斜坡。

皮亞杰認為：由兒童去認識自己原有觀點的錯誤所在，能夠激起兒童的求知欲，強化其學習動機，促進其認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。本節(jié)課中，兒童知識經(jīng)驗的“遠點”是“平均分”，“近點”是“對一個物體的幾分之幾的理解和掌握”，這兩方面構(gòu)成了兒童學習的“原點”。再從兒童的認知特點來分析，小學三年級學生的元認知水平還比較低，在學習分數(shù)之初往往會依賴“直覺思維”來認識分數(shù)，這也是前面學習所積累的經(jīng)驗，這種經(jīng)驗既是他們學習的基礎(chǔ)也是阻礙。教師要讀懂兒童的困惑，努力搭建兒童上行的斜坡，打通他們向上生長的通道。

2.體驗過程，點燃兒童思維的火把。

基于兒童立場的教學觀告訴我們，研究兒童是教學工作的核心。雖然“認識一個整體的幾分之一”必須從幾何直觀開始，但要通過數(shù)學抽象來最終實現(xiàn)學習任務(wù)，需要經(jīng)歷觀察、分析、抽象和概括等思維活動過程。即從觀察一些物體出發(fā)，運用畫一畫、分一分、數(shù)一數(shù)等數(shù)學手段和數(shù)學符號，逐步深入地探究一個整體中部分量與總量的關(guān)系，用“份數(shù)模型”重新認識直觀材料并建構(gòu)分數(shù)意義。在教學中，要緊緊抓住兒童認知發(fā)生沖突的有利契機，引導(dǎo)他們從直覺觀察走向符號處理，從符號處理走向數(shù)學思考，建構(gòu)起全新的、穩(wěn)固的分數(shù)認知結(jié)構(gòu)。

3.回歸本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學認知的躍升。

兒童的數(shù)學概念學習可以概括為經(jīng)驗、語言、圖像和符號四個基本環(huán)節(jié)。其中，最高層級的符號環(huán)節(jié)是指經(jīng)過一定程度的抽象概括，兒童能夠掌握和運用數(shù)學符號來刻畫客觀世界。本節(jié)課的核心數(shù)學符號有四個，即集合圈、分隔線、份數(shù)和分數(shù)，核心認知是分數(shù)概念的本質(zhì)特征。其中，集合圈、分隔線是對直觀材料進行數(shù)學處理的顯性標識，更是深刻認知的前提和基礎(chǔ)，兒童只有充分領(lǐng)悟顯性標識的數(shù)學意義，才能向更高層級的抽象概括躍升，實現(xiàn)從學科知識到數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展目標。

通過分數(shù)概念的教學，筆者深刻體會到，小學數(shù)學教學必須從兒童的認知出發(fā)，從學科本質(zhì)入手，由內(nèi)而外實施。只要讓兒童感受樂趣、經(jīng)歷過程、自主探究和體驗成功，分數(shù)的學習就會成為“一道好吃而又營養(yǎng)豐富的數(shù)學美食”。

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學教育集團鹽瀆校區(qū)）