丁海錦，賀文濤

(北京遙感設備研究所 隨動控制研究室，北京 100854)

0 引言

伺服系統(tǒng)廣泛應用于軍事和工業(yè)生產(chǎn)中，可以通過閉環(huán)控制使被控對象準確、快速復現(xiàn)輸入信號的指令。

伺服系統(tǒng)角位置通過傳感器測得，并通過角位置編碼器將測得的位置信號反饋到控制器中。因此，傳感器的測量精度對伺服系統(tǒng)的整體性能有重要的影響。常用的角度測量元件有電位計、差動變壓器、自整角機、旋轉(zhuǎn)變壓器和感應同步器等，其中旋轉(zhuǎn)變壓器因其體積小、穩(wěn)定性好、壽命長等優(yōu)點廣泛應用于伺服系統(tǒng)中。旋轉(zhuǎn)變壓器同普通變壓器一樣具有一次側(cè)和二次側(cè)，當在一次側(cè)施加一定頻率和幅值的交變電壓時，二次側(cè)產(chǎn)生的電壓信號與定子、轉(zhuǎn)子的相對角位置有關，利用此原理可以進行角度的測量。

一般而言，角度測量元件的價格與其測量精度成正比，傳感器測量精度越高，伺服系統(tǒng)的整體價格也會相應提高。而角度傳感器的測量誤差由兩部分構成，一是傳感器的固定誤差，二是測量的隨機誤差。通過對傳感器的位置精度進行多次測量，對固定誤差部分進行建模和描述，尋找大致的誤差函數(shù)，并對角度測量值進行補償，可以在不增加成本的情況下提高傳感器的測量精度[1-2]。

1 旋轉(zhuǎn)變壓器測角原理

圖1所示為典型的單軸伺服系統(tǒng)的控制框圖，其中包括控制器、功率放大、電機輸出、角位置測量等環(huán)節(jié)[3-6]。

旋轉(zhuǎn)變壓器利用輸出電壓隨轉(zhuǎn)子機械轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律來進行角度的測量。如圖2所示，轉(zhuǎn)子繞組輸入的激磁電壓為

圖1 典型伺服系統(tǒng)結(jié)構Fig.1 Structure of classical servo system

圖2 旋轉(zhuǎn)變壓器測角原理Fig.2 Diagram of measuring principle of resolver

(1)

兩定子繞著輸出的正、余弦電壓為

us=Umsin(ωt)sin(Pθ)，

(2)

uc=Umsin(ωt)cos(Pθ)，

(3)

式中：Um為正、余弦繞著感應交流電壓的幅值；θ為轉(zhuǎn)子機械角；P為極對數(shù)。由此可求得θ

(4)

2 旋轉(zhuǎn)變壓器測角誤差分析

旋轉(zhuǎn)變壓器的測量誤差主要由2部分構成，即制造工藝水平引起的誤差和硬件解碼方式造成的誤差。其中旋轉(zhuǎn)變壓器轉(zhuǎn)子兩相繞組在槽內(nèi)的位置不對稱、兩相繞組線圈電阻的差異，都會導致正、余弦兩相繞組輸出電壓幅值存在差異；鐵芯的齒槽分度不好、制造工藝水平有限，會導致正、余弦兩相繞組存在非正交性。

實際中，若正弦繞組的輸出電壓為

us=Umsin(ωt)sin(Pθ),

(5)

余弦繞組的輸出電壓可表示為

uc=(Um+ΔU)sin(ωt)cos(Pθ+Δθ)

，

(6)

式中：ΔU為輸出信號電壓偏差值；Δθ為兩相繞組正交偏差角。

如圖3所示為旋轉(zhuǎn)變壓器的角度跟蹤模型，其中Pθ′=Pθ+ΔΩ，θ′為旋轉(zhuǎn)變壓器的實際輸出角，ΔΩ為輸出信號幅值不對稱及空間兩相繞組正交偏差所引起的電氣誤差。在閉環(huán)反饋條件下，當跟蹤穩(wěn)定時可得

圖3 角度跟蹤模型Fig.3 Angle tracking model of resolver

(7)

代入：Pθ′=Pθ+ΔΩ,得

Umsin(Pθ)cos(Pθ+ΔΩ)-(Um+
ΔU)cos(Pθ+Δθ)sin(Pθ+ΔΩ)=0,

(8)

式中：ΔΩ由2部分組成，一部分為ΔU引起的變壓比均衡性誤差ΔΩp，另一部分為Δθ引起的交軸誤差ΔΩq。

令Δθ=0，得

Umsin(Pθ)cos(Pθ+ΔΩp)-(Um+
ΔU)cos(Pθ)sin(Pθ+ΔΩp)=0,

(9)

解得

(10)

(11)

由此可見，輸出信號幅值不對稱引起的電氣誤差為2P次諧波誤差。

令ΔU=0，得

Umsin(Pθ)cos(Pθ+ΔΩq)-
Umcos(Pθ+Δθ)sin(Pθ+ΔΩq)=0

,

(12)

解得

(13)

簡化得

(14)

由此可見，輸出繞組非正交引起的交軸誤差ΔΩq也是2P次諧波。

綜上知，旋轉(zhuǎn)變壓器的測量誤差主要為2P次諧波[7]。

3 伺服系統(tǒng)傳感器精度的測量

精度是傳感器測量中準確度和精密度的綜合表征，光電伺服系統(tǒng)中的角度測量元件采用旋轉(zhuǎn)變壓器，可靠性高，能夠適應高溫、潮濕等惡劣環(huán)境。通過在實驗條件下，在原有的控制算法基礎上，通過對伺服系統(tǒng)等間隔地輸入不同的指令角，測量其實際輸出角，通過多次測量，統(tǒng)計旋轉(zhuǎn)變壓器的測量誤差。當測量范圍為[-12°,12°]時，測量結(jié)果如圖4所示。

圖4 旋轉(zhuǎn)變壓器誤差測量曲線 Fig.4 Error curve of resolver

從伺服系統(tǒng)誤差多次測量結(jié)果可以看出，旋轉(zhuǎn)變壓器測量的固定誤差具有明顯的規(guī)律性，根據(jù)測量結(jié)果，適當?shù)貙刂屏窟M行補償，可以彌補傳感器的測量固定誤差，提高伺服系統(tǒng)的控制精度。由于誤差曲線具有明顯的三角函數(shù)特征，可以通過多項式擬合和傅里葉分解等方法進行補償。工程上為了縮短計算時間，提高伺服系統(tǒng)的快速性，可以通過查表法對角度控制量進行補償。

4 利用插值—多項式擬合對傳感器精度進行補償

4.1 常用的插值方法

在實際測量中，通過對光電伺服系統(tǒng)輸入不同的角度測量值，測量其實際輸出值。對測量數(shù)據(jù)進行插值，常用的插值方法有拉格朗日插值、牛頓多項式插值和樣條插值等方法。

其中，樣條插值的離散化數(shù)據(jù)來源包括以下3種：

(1) 根據(jù)原始曲線方程計算出坐標點；

(2) 由實驗方式取得；

(3) 由測繪方法取得。

若函數(shù)S(x)∈C2[a,b]，且在每個小區(qū)間[xj,xj+1]上是三次多項式，其中a=x0

S(xj)=yj,j=0,1,…,n,

則稱S(x)為三次樣條函數(shù)。

若S(x)在區(qū)間[a,b]上四階導數(shù)連續(xù)，則S(x)為五次樣條函數(shù)。

4.2 對旋轉(zhuǎn)變壓器角度測量數(shù)據(jù)進行樣條插值，比較補償效果

在多項式擬合中，由于傳感器誤差測量中輸入指令角的間隔為1°，可以對誤差測量結(jié)果進行樣條插值和多項式擬合，實現(xiàn)補償效果。當插值間隔為0.25°，多項式次數(shù)為五次時的補償效果如圖5所示。

圖5 N=5,d=0.25時誤差補償效果Fig.5 Error compensation results when N=5, d=0.25

5 基于查表法對傳感器精度進行補償

查表法因其方法簡單、計算量小，廣泛地應用于工程實踐中，具有較好的效果。在伺服系統(tǒng)的改進中，對不同指令角范圍內(nèi)的誤差進行量化，計算出該范圍內(nèi)對應的誤差補償值，設計誤差補償表，在實際工作中通過查表的方法對旋轉(zhuǎn)變壓器的測量誤差進行補償。

基于多項式擬合的補償結(jié)果，對各離散的測量值之間進行一次線性插值，可以求得各區(qū)間內(nèi)的一次補償函數(shù)：

xi=-12,-11,…,0,1,2,…,12,i=1,2,…,25.

當xi≤x≤xi+1時，補償量為

(15)

由于查表法基于多項式擬合的補償結(jié)果，不改變在測量整數(shù)值處的補償效果。將五次多項式插值轉(zhuǎn)化為分段一次線性插值，在伺服系統(tǒng)實際控制中，采用查表的方法，對控制指令所在區(qū)間內(nèi)用一次函數(shù)進行補償，在保證補償精度的同時，計算量大大簡化，執(zhí)行周期數(shù)遠少于多項式插值補償。

6 基于傅里葉分解對方位通道進行補償

由于誤差測量結(jié)果具有三角函數(shù)的變化規(guī)律，故可以通過傅里葉分解的方法求得傳感器誤差的主要部分，并將其作為補償量對控制量進行補償。

6.1 理想條件下運用傅里葉分解法對傳感器誤差進行補償

對于如圖4所示的傳感器誤差測量曲線，具有明顯的正弦曲線特性(如圖6所示)，利用Matlab軟件對其進行傅里葉分解，求解出其低頻的傅里葉分量為

y=a0+a1cosω+b1sinω+a2cos 2ω+

b2sin 2ω+a3cos 3ω+b3sin 3ω.

用此函數(shù)對測量誤差進行補償，結(jié)果如圖7所示。

如圖8所示，如果測量誤差具有典型的正弦函數(shù)特性，原始誤差為[-2°,+2°]的傳感器經(jīng)過傅里葉分解的方法進行補償后，測量誤差大幅減小，理想條件下具有很好的補償效果[8-15]。

6.2 利用傅里葉分解法對光電伺服系統(tǒng)進行位置補償

如圖9所示，在實際中應用傅里葉分解法對光電伺服系統(tǒng)的傳感器進行補償，也能達到一定的補償效果。

圖6 理想條件下誤差曲線Fig.6 Error curve in ideal condition

圖7 利用傅里葉分解求得補償曲線Fig.7 Error compensation curve using Fourier progressional dissolution

圖8 補償后的誤差曲線Fig.8 Error curve after compensating

圖9 利用傅里葉分解對傳感器補償后的測量誤差曲線Fig.9 Error compensation results using Fourier progressional dissolution

7 不同補償方法比較

通過應用不同階次、不同插值間隔的多項式擬合方法、查表法和傅里葉分解法對光電伺服系統(tǒng)的傳感器測量精度進行補償，發(fā)現(xiàn)各種補償方法在補償準確度和計算時間等方面具有較大的差異，現(xiàn)比較如表1所示。

表1 不同方法補償效果對比表

8 結(jié)束語

綜上所述，采用多項式擬合、查表法和傅里葉分解等方法都能實現(xiàn)傳感器測量精度補償。其中，采用多項式擬合的執(zhí)行周期數(shù)隨著擬合函數(shù)階數(shù)的增加而增加，采用不同的插值間隔也會影響補償效果，綜合這2個因素的影響，當N=5，D=0.25時的補償效果最優(yōu)。采用傅里葉分解的方法也能達到一定的補償效果，但由于傳感器的測量誤差曲線與理想情況相差較遠，實際的補償效果有限，而且該方法的執(zhí)行周期數(shù)遠高于多項式擬合。查表法基于最優(yōu)的多項式補償效果，能夠保證補償后的測量精度，同時執(zhí)行周期數(shù)也遠低于其他方法，具有很好的工程實用性。

[1] Robert W Mitchell,Jay Marchetti.Improved Position Accuracies of Multi-Axis Motion Test Simulators[R].AIAA 2006-6361.

[2] 孫華麗，張政治，胡思才.五次樣條插值在GPS衛(wèi)星軌道標準化中的應用[J].大地測量與地球動力學，2012，32(1):76-79. SUN Hua-li,ZHANG Zheng-zhi,HU Si-cai.Application of Quintic Spline Interpolation to GPS Satellite Orbit Standardization[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2012，32(1):76-79.

[3] 李明.導引頭捷聯(lián)穩(wěn)定技術的研究及應用[D].北京：中國航天科工集團公司二院，2010：25-30. LI Ming.Study on the Stabilization of Seeker Servo System[D]. Beijing:The Second Academy of CASIC,2010：25-30.

[4] 陳國棟.雙T濾波器在導引頭伺服系統(tǒng)中的應用技術研究[D].北京：中國航天科工集團公司二院，2014:80-81. CHEN Guo-dong.Study on the Application of Notch Filter in Seeker Servo System[D].Beijing:The Second Academy of CASIC,2014:80-81.

[5] 賀文濤.結(jié)構非線性對伺服系統(tǒng)性能影響的研究[D].北京：中國航天科工集團公司二院，2012:78-79. HE Wen-tao.Study on the Influence of Structural Nonlinear on Mechanical Servo System[D].Beijing:The Second Academy of CASIC,2012:78-79.

[6] 文哲.捷聯(lián)伺服系統(tǒng)穩(wěn)定與跟蹤技術的研究[D].北京：中國航天科工集團公司二院，2013：2-4. WEN Zhe.Study on the Stabilization and Tracking Technology of Mechanical Servo[D].Beijing:The Second Academy of CASIC,2013:2-4.

[7] 帥浩.基于旋轉(zhuǎn)變壓器的角位移測量技術研究[D].太原：中北大學，2015. SHUAI Hao.Study on Angular Displacement Measurement Technology Based on Resolver[D].Taiyuan:North University of China,2015.

[8] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學出版社,2008. LI Qing-yang,WANG Neng-chao,YI Da-yi.Numerical Analysis[M].Beijing:Tsinghua University Press,2008.

[9] Robert W Mitchell,Jay Marchetti.Improved Position Accuracies of Multi-Axis Motion Test Simulators[C]∥AIAA Modeling and Simulation Technologies Conference and Exhibit 21-24,AIAA 2006-6361,August 2006.

[10] Michael A Warden,Robin Hauser,Peter Hofstetter,et al.Keeping up with Dynamics of Next Generation Missiles[C]∥SPIE Vol 6942,694203,2008.

[11] 潘承洞.Spline函數(shù)的理論及其應用[J].數(shù)學的實踐與認識，1975(3):64-75. PAN Cheng-dong.Theory and Application Spline Function[J].Mathematics in Practice and Theory,1975(3):64-75.

[12] 廖良闖，徐大林，程蜀煒，等.一種提高全數(shù)字式RDC系統(tǒng)輸出實時性的方法[C]∥2008江蘇自動化學會學術年會論文集. LIAO Liang-chuang,XU Da-lin,CHEN Shu-wei,et al.A Method of Enhanced Real-Time Characteristic about Output of Complete-Digital RDC System[C]∥Jiangsu Automation Research Institute of CSIC,2008.

[13] Louis A DeMore,Paul R Mackin,Michael Swamp,et al.Improvements in Flight Table Dynamic Transparency for Hardware-in-the-Loop Facilities[C]∥Proceedings of SPIE,2000,4027,0277-786X:101-112.

[14] Michael Swamp,Colin Stevens,Peter Hoffstetter.Improvements in Transient Fidelity of HWIL Flight Tables Using Acceleration Feedback[C]∥Preceedings of SPIE,2002,4717,0277-786X:32-45.

[15] RUDIN R T.Strapdown Stabilization for Imaging Seekers[R].AIAA-93-2660,1993.