韓易龍

摘 要：氫原子問題和黑體輻射能譜問題催生了上個世紀(jì)舊量子論的發(fā)展[1]，至索末菲提出量子化條件，所有的周期性運(yùn)動均在舊量子論的體系下得到初步解釋，但結(jié)果時好時壞。本論文試圖總結(jié)索末菲量子化條件應(yīng)用到氫原子問題，諧振子問題，勢阱問題中的結(jié)果，并對結(jié)果做出探討和解釋。這為理解和使用索末菲量子化條件以及舊量子論的有效性和局限性提供基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：索末菲量子化條件；周期性運(yùn)動；氫原子；光譜；勢阱

中圖分類號：G807 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）03-0228-01

索末菲量子化條件（以下簡稱索條件）∮pdq=（n+D）h[2]從提出到完善至今已有百年左右，其在氫原子問題中的應(yīng)用廣為人知，在諧振子問題，方勢阱問題等問題中的應(yīng)用尚未引起足夠的關(guān)注，對索條件的正確性與適用性及其在一般性周期性運(yùn)動中的應(yīng)用的探討不夠深入。本文將針對幾個具體的物理問題利用索條件求解其能級，并對索條件在一般性周期性運(yùn)動中的應(yīng)用進(jìn)行抽象和總結(jié)。

1 氫原子問題

按經(jīng)典電磁學(xué)理論，氫原子中的電子最終因變加速運(yùn)動向外輻射電磁波而墜落到原子核，這是氫原子的穩(wěn)定性問題。氫原子光譜問題是指，實(shí)驗(yàn)上測到氫原子的吸收譜有很多獨(dú)立的吸收峰。這兩個問題最初無法得到很好的解釋。本文將利用索條件對氫原子電子繞核周期性運(yùn)動進(jìn)行量子化，從而解決氫原子問題。

將索條件應(yīng)用到氫原子問題中（取常數(shù)D為0）：

結(jié)合氫原子中靜電吸引提供向心力，可得到ke2=mernvn2。

因此軌道半徑為rn=，進(jìn)而可以得到氫原子的能級：

這些結(jié)果對應(yīng)著波爾三條假設(shè)的定態(tài)假設(shè)，也即電子位于特定軌道上，由于存在能量最低的軌道（n=1），所以氫原子是穩(wěn)定的。根據(jù)波爾的躍遷假設(shè)，電子從n躍遷到m（n

同時我們可以驗(yàn)證波爾的對應(yīng)原理，可以使用上述結(jié)果驗(yàn)證當(dāng)n很大時，相鄰能級之間的躍遷頻率和電子軌道的運(yùn)動頻率一致。另一方面，經(jīng)典電磁理論預(yù)言輻射電磁波頻率和電子運(yùn)動頻率相同。這說明在n很大時，量子力學(xué)的結(jié)果趨向于經(jīng)典運(yùn)動的結(jié)果。還可以做一個有趣的類比，將上述結(jié)果應(yīng)用于天體運(yùn)動中（只需要做替換ke2 GMm），但此結(jié)果物理意義不大。

2 諧振子問題和分子光譜

不同于原子光譜，分子光譜在近紅外波段也有吸收峰，這些吸收峰實(shí)際上來源于分子的振動能級[3]。以CO為例，碳氧間的相互作用可等效為諧振子勢V=mω2x2，原子間相對運(yùn)動是周期性簡諧運(yùn)動。運(yùn)用索條件對該運(yùn)動進(jìn)行量子化：

得到軌道An=和能級 。當(dāng)然，索條件無法指出常數(shù)D的值，根據(jù)薛定諤方程的結(jié)果，取D=即為正確的諧振子能級。

依據(jù)上述結(jié)果結(jié)合原子質(zhì)量和原子間相互作用強(qiáng)度可估算振動頻率在10-13s-1附近，對應(yīng)波長10μm左右，屬近紅外波段，和實(shí)驗(yàn)結(jié)果在數(shù)量級上吻合。

諧振子勢應(yīng)用十分廣泛，原則上在平衡點(diǎn)附近的小振動基本可以利用諧振子勢描述其運(yùn)動，尤其值得指出，電子在磁場中的圓周運(yùn)動也可轉(zhuǎn)化為諧振子問題，最終得到朗道能級。但如果利用索條件對該運(yùn)動量子化，得出的能級結(jié)果和朗道能級相差一個系數(shù)，這說明索條件具有一定的局限性。

3 勢阱問題

勢阱問題在物理學(xué)中也十分常見，金屬中的自由電子，封閉空間內(nèi)部的理想氣體所受到的勢都可以模擬成無限深勢阱。在這里我們利用索條件對一維無限深方勢阱（V（x）=0，0a）中的周期性運(yùn)動進(jìn)行量子化，∮pdq=2mvna=（n+D）h，得到能級（取D=0）。

這是單粒子的能級結(jié)果，考慮宏觀系統(tǒng)中約有1023個粒子，原則上可以利用能量加和的辦法（忽略粒子間相互作用）得到整個系統(tǒng)的能級。結(jié)合統(tǒng)計力學(xué)的方法，可以得到系統(tǒng)（包括自由電子氣，理想氣體，光子氣體）的熱力學(xué)性質(zhì)。

一維勢阱問題原則上都可以利用索條件進(jìn)行量子化?？紤]一個有趣的物理情形，自由落體的彈性小球撞擊地面后反彈，其勢能曲線為V（x）=mgx，x>0；V（x）=+∞，x<0。依據(jù)索條件我們計算軌道和能級：

∮pdq=（n+D）h=2，

能級為En=mgHn=。

4 一般性周期性運(yùn)動

原則上，索條件可以運(yùn)用于任意周期性運(yùn)動。對于一般的一維勢，我們可以利用相空間和相曲線的概念簡化我們的求解過程。能量守恒要求運(yùn)動過程中是一個定值，因此在（q，p）形成的二維相空間中，能量的等高線給出了運(yùn)動的相曲線E（q，p）=E。周期性運(yùn)動對應(yīng)的相曲線是閉合的，索條件中積分∮pdq的含義是相曲線在相空間中的內(nèi)部面積，另一方面，每一條相曲線和能量一一對應(yīng)，因此，索條件實(shí)際上是挑選出來一系列符合該條件的相曲線和相應(yīng)能級。對于二維甚至高維周期性運(yùn)動，如果通過一定的方法將之分解為多個自由度上的一維周期性運(yùn)動，即可利用以上討論的方法量子化該運(yùn)動，如果運(yùn)動不能分解，我們可以回到先求解運(yùn)動軌跡再量子化的方法。

周期性運(yùn)動對應(yīng)的軌道是閉合的，這意味著運(yùn)動狀態(tài)屬于束縛態(tài)，利用索條件求解的結(jié)果為束縛態(tài)能級。針對非束縛態(tài)，索條件中的積分一般是發(fā)散的，同時運(yùn)動也是非周期的，這意味著非束縛態(tài)的能級是連續(xù)的，而不像束縛態(tài)情況下求解出來的分立的能級。

5 結(jié)語

本文討論了索條件在各種周期性運(yùn)動中應(yīng)用的結(jié)果，并對一般周期性運(yùn)動的求解過程進(jìn)行了討論?？梢钥闯隼盟鳁l件對周期性運(yùn)動進(jìn)行量子化，過程簡單，結(jié)果通常不錯，但是也有一定的局限性。一是索條件沒有辦法給出常數(shù)D的取值，二是索條件在某些情況下（如電子在磁場中的圓周運(yùn)動）給出來的結(jié)果會和正確結(jié)果相差一個系數(shù)因子。這些優(yōu)點(diǎn)和不足提醒我們在使用索條件時要謹(jǐn)慎小心。

參考文獻(xiàn)

[1]劉乃湯.量子力學(xué)的歷史回顧[J].物理通報，1999，09：44-45.

[2]朗道.量子力學(xué)（非相對論理論）[M].北京：高等教育出版社，2011：157-162.

[3]褚圣麟.原子物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1979：256-259.