董文凱 張智勇,? 芮筱亭 陳予恕 靳玉林
(1.南京理工大學 理學院,南京 210094) (2.南京理工大學 發(fā)射動力學研究所,南京 210094)(3.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院,哈爾濱 150001) (4.四川大學 空天科學與工程學院,成都 610065)
滾動軸承作為旋轉機械中轉子系統(tǒng)核心支承部件,在工業(yè)部門中廣泛應用.隨著國民經(jīng)濟的增長以及國防事業(yè)的發(fā)展,旋轉機械正在向高速、重載和自動化方向發(fā)展,對軸承-轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性、安全性提出了更高的要求.滾動軸承內(nèi)圈一般與轉軸是過盈配合的,滾動體在自轉的同時隨著保持架在滾道繞轉軸公轉.在各個滾動體公轉進入和離開承載區(qū)域過程中,軸承的剛度是時變的,時變剛度誘發(fā)的振動通常稱為變?nèi)岫?varying compliance,VC)振動[1-3].滾動軸承的時變剛度特性是轉子-軸承系統(tǒng)的不可避免的參激源,已經(jīng)有大量研究指出滾動軸承的VC振動具有復雜的滯后共振響應特性[4-9].然而,迄今有關軸承非線性時變剛度特性對系統(tǒng)VC共振及其分岔行為影響的專門研究尚少.
針對滾動軸承VC振動問題,Sunnersj?[10]較早分析了考慮慣性力的線彈性圓柱滾子軸承模型,發(fā)現(xiàn)VC振動可以給系統(tǒng)帶來周期運動和不規(guī)則的非周期運動.Fukata等[1]進一步研究了考慮赫茲接觸非線性的經(jīng)典兩自由度軸承模型,指出JIS6306球軸承VC振動在軸承共振頻率區(qū)間具有拍振(其中包括準周期運動行為)和類混沌(chaos-like)運動行為,并且發(fā)現(xiàn)在一階臨界轉速附近系統(tǒng)存在VC亞諧振動.Rahnejat和Gohar[11]研究指出在考慮潤滑的情況下鋼球數(shù)量和徑向游隙對深溝球軸承VC振動的影響依然顯著.Mevel和Guyader[2,12]通過數(shù)值計算和實驗討論了JIS6306球軸承VC振動通向混沌的道路,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在倍周期分岔和準周期運動進入混沌的形式,其中倍周期分岔主要發(fā)生在一階臨界轉速范圍.Sankaravelu等[4]把打靶法與同倫延拓法相結合,發(fā)現(xiàn)滾動軸承VC振動響應曲線具有滯后行為. Tiwari和Gupta[3,13]研究了平衡、不平衡剛性轉子-滾動軸承系統(tǒng)的VC振動,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)共振幅頻響應區(qū)間具有突跳失穩(wěn)和陣發(fā)性混沌振動特征.白長青、許慶余等[14]研究了深溝球軸承VC振動的穩(wěn)定性,指出VC周期運動幅頻響應的不穩(wěn)定區(qū)間的個數(shù)隨軸承徑向間隙的增加而增多.崔立和王黎欽等[15]建立了一種擬動力學球軸承模型,發(fā)現(xiàn)軸承非線性可使支承剛性轉子系統(tǒng)的周期運動發(fā)生突跳、倍化以及混沌振動等非線性行為.鄧四二等[16]理論和實驗證實軸承間隙對轉子系統(tǒng)的支承剛度、運行穩(wěn)定性有顯著影響.
傳統(tǒng)上,滾動軸承被稱為滾動接觸軸承[17,18],這是針對滾動體與滾道之間的接觸變形關系而言的,且二者接觸變形一般認為滿足赫茲接觸理論假設:(1)材質均質;(2)接觸區(qū)域尺寸遠小于接觸體尺寸;(3)不考慮接觸區(qū)摩擦,且作用力垂直于接觸面;(4)變形屬于彈性變形.接觸共振是指接觸非線性系統(tǒng)在線性等效共振頻率區(qū)間內(nèi)的共振特性,Nayak[20]比較早地采用諧波平衡法分析了單自由度赫茲接觸系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應特征,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在接觸主共振區(qū)間幅頻響應曲線向左偏,即系統(tǒng)具有軟的動力學滯后共振行為.Rigaud和Perret-Liaudet[21]明確指出只有采用接觸非線性模型才可能準確地預測系統(tǒng)的響應特性.球軸承受載過程中,將在滾珠和滾動之間產(chǎn)生赫茲接觸變形[19].張智勇、陳予恕等[7,8]采用諧波平衡-頻時轉換(HB-AFT)方法結合Floquet理論研究了球軸承VC振動的赫茲接觸共振特性及其參數(shù)影響規(guī)律,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有軟的滯后主共振行為,并被隨后實驗證實[9].
就滾動軸承-轉子動力學而言,學者們更加關注滾動軸承的支承特性和時變激勵特征對軸承及整個轉子系統(tǒng)的振動特性和運動穩(wěn)定性等方面的影響[19,22-24],有大量工作[25-27]對滾動軸承動態(tài)時變剛度的計算方法和影響因素進行了研究.Harris[19]明確指出由于滾珠與滾動體之間的非線性受力-變形關系,軸承支承剛度具有時變特性且與轉軸轉速有關,而研究球軸承動態(tài)剛度特性及其對VC振動的影響具有基礎理論意義.本文將以HB-AFT方法和數(shù)值積分方法為主要分析手段,對球軸承的非線性動態(tài)剛度特性及其復雜共振行為展開研究,擬探究系統(tǒng)動態(tài)剛度特性與主共振區(qū)間復雜運動分岔行為的內(nèi)在關聯(lián).
在研究考慮軸承徑向間隙、軸承時變剛度和赫茲接觸力等非線性因素的球軸承VC振動時,采用如圖1所示的2自由度深溝球軸承模型就可得較好的定性和定量的結果[3,8,12].
圖1 經(jīng)典兩自由度深溝球軸承模型及其徑向位移變形關系Fig.1 Classical 2-DOF deep groove ball bearings and its displacement-deformation relationship in radical direction
第i個滾動體的瞬時角位置為:
θi=2π(i-1)/Nb+Ωt
(1)
式中,Nb為滾動體個數(shù);Ω為保持架轉速(rad/s).
其中Ω與轉軸轉速ωs、軸承內(nèi)圈半徑ri以及外圈半徑ro的關系為:
(2)
在小變形條件下,第i個滾動體與軸承套圈的接觸變形表示為:
δi=xcosθi+ysinθi-δ0
(3)
這里2δ0為軸承的徑向游隙.
對于球軸承,不考慮潤滑條件下鋼球與滾道之間的位移變形關系滿足赫茲點接觸,則軸承恢復力滿足:
(4)
式中,Cb為軸承的赫茲接觸剛度(N/m3/2);G[·]為Heavisde函數(shù).
球軸承-剛性Jeffott轉子系統(tǒng)的運動微分方程為:
(5)
式中,m為轉子系統(tǒng)等效質量(m);c為軸承等效阻尼(Ns/m);W為軸承內(nèi)圈承受重力(N).
球軸承在承載后,將在滾珠和滾動之間產(chǎn)生赫茲接觸變形,由于滾珠與滾動體之間的非線性受力-變形關系,軸承支承剛度是與系統(tǒng)參數(shù)相關的時變量.根據(jù)恢復力(4)式,可求得系統(tǒng)線性化動態(tài)剛度為[2,23]:
(6)
則球軸承的時變固有頻率為:
(7)
就VC振動而言,滾珠通過頻率激起的VC周期1運動是系統(tǒng)的基本運動形式,系統(tǒng)(5)式VC參激頻率為:
ΩVC=Nb·Ω
(8)
則系統(tǒng)VC周期1運動在x方向或y方向發(fā)生參激主共振的條件為:
(9)
對于球軸承-剛性轉子系統(tǒng),其支承力僅在滾珠和滾道之間引起赫茲接觸變形,則(9)式所表示的共振本質上是由赫茲非線性引起的參激接觸主共振.
本文采用HB-AFT方法求解系統(tǒng)VC周期響應,并采用Floquet理論對解的穩(wěn)定性進行分析.首先,進行式(5)的位移和非線性力的諧波平衡化過程:
(10)
(11)
把式(10)、(11)代入方程(5),諧波平衡可得:
g(P,Q)=0
(12)
其中P、Q分別表示位移和非線性力諧波系數(shù).
把Q記為已知,可采用Newton-Raphson迭代求解不動點P:
J(i)(P(i+1)-P(i))+g(i)=0
(13)
其中,迭代Jacobian矩陣:
J=dg(P,Q)/dP
=?g(P,Q)/?P+?g(P,Q)/?Q·dQ/dP
(14)
迭代過程中,采用AFT轉換給出式(14)中dQ/dP的關系.然后,對所得周期解進行Floquet穩(wěn)定性分析[8].
對于如表1所示的JIS6306深溝球軸承-轉子系統(tǒng),取軸承游隙為δ0=1.0μm時,如圖2所示系統(tǒng)在Ω=180rad/s、200rad/s和220rad/s時的動態(tài)剛度都是周期性時變的,而且與已有文獻[19,27]結果一致,系統(tǒng)的VC特性是隨轉速變化的.另外,由式(7)可知,系統(tǒng)的動態(tài)固有頻率同樣隨轉速變化的.滾動軸承VC振動是由滾動體公轉引起的一種不可避免的時變剛度參激振動,下面分析JIS6306球軸承系統(tǒng)隨轉速的全局周期響應特性.
表1 JIS6306軸承-轉子系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Specifications and parameters of JIS6306 ball bearing-rotor system
圖2 當 δ0=1.0μm時,系統(tǒng)在Ω 取180rad/s、200rad/s和220rad/s時的動態(tài)剛度,其中τ = Ω tFig.2 For δ0 = 1.0 μm,the system dynamic stiffness when Ω takes 180 rad/s,200 rad/s and 220 rad/s,here τ = Ω t
圖3 當δ0 = 1.0 μm時,(a) x (黑線)、y (紅線)方向穩(wěn)定(實線)和不穩(wěn)定(虛線)的VC周期解頻響峰峰值曲線,為系統(tǒng)動態(tài)等效固有頻率隨Ω的變化值Fig.3 For δ0 = 1.0 μm,(a) stable (solid) and unstable (dashed) VC periodic frequency-response peak to peak curves, c=200 Ns/m inx (black line) and y (red line) directions respectively,(b) and are the system equivalent dynamic natural frequencies varying with Ω
已有研究表明較大間隙可以給系統(tǒng)帶來復雜的非線性響應行為[28],而軸承游隙δ0是系統(tǒng)的基本參數(shù)之一.取δ0=6.0μm,采用嵌入弧長延拓的HB-AFT方法結合Floquet理論分析系統(tǒng)x方向主共振區(qū)間的周期運動及其分岔行為.如圖4所示,隨著控制參數(shù)Ω的變化,穩(wěn)定的VC周期1解分枝的Floquet乘子在A1(見表2)、A2點通過-1離開單位圓,由亞臨界倍周期分岔失穩(wěn)產(chǎn)生的VC周期2解分枝依然包含多個失穩(wěn)區(qū)間,這與圖5(a)的數(shù)值分岔圖結果是吻合的,其中不穩(wěn)定周期2解A1-A2段是在A1、A2點由二次Hopf分岔失穩(wěn)產(chǎn)生的.
圖4 當δ0=6.0μm時,(a) x方向、(b) y方向穩(wěn)定(實線)和不穩(wěn)定(虛線)的周期解頻響峰峰值曲線Fig.4 For δ0=6.0 μm,stable (solid) and unstable (dashed) periodic frequency-response peak to peak curves in (a) x direction and (b) y direction
表2 周期1分支在轉向點A1附近的 Floquet 乘子λmTable 2 Floquet multipliers λm of period-1 branch around the turning point A1
圖5 當δ0=6.0μm時,(a) x(t)的數(shù)值分岔圖,其中黑點、紅點分別為向上、向下掃頻的數(shù)值積分結果,(b)系統(tǒng)動態(tài)等效固有頻率隨Ω的變化值Fig.5 For δ0=6.0 μm,(a) bifurcation diagram of x(t) calculated by numerical integrations when Ω sweeping up (black dots) and down (red dots),and (b) the system equivalent dynamic natural frequencies and varying with Ω
圖6 當δ0 = 6.0 μm時,系統(tǒng)在Ω 取180 rad/s、200 rad/s和220 rad/s時的動態(tài)剛度,其中τ = Ω tFig.6 For δ0 = 6.0 μm,the system dynamic stiffness when Ω takes 180 rad/s,200 rad/s and 220 rad/s,here τ = Ω t
圖7 當δ0 = 6.0 μm時,系統(tǒng)在Ω取(a)225 rad/s、(b)226 rad/s、(c)226.5 rad/s和(d)227 rad/s時響應的Poincare映射Fig.7 For δ0 = 6.0 μm,Poincare maps of the response for Ω at (a)225 rad/s,(b)226 rad/s,(c)226.5 rad/s and (d)227 rad/s
球軸承非線性因素帶來的滯后共振行為會給軸承-轉子系統(tǒng)帶來突跳、沖擊作用,進而可對轉子的運行穩(wěn)定性和安全性帶來影響.因此,分析此非線性系統(tǒng)的動態(tài)剛度特性,對于預測乃至避開系統(tǒng)的VC接觸共振區(qū)間具有重要意義.在本文中,針對軸承非線性時變剛度特性對系統(tǒng)VC共振及其分岔行為影響的專門研究尚少的情況,采用理論和數(shù)值方法相結合,深入探討了系統(tǒng)動態(tài)剛度特性與主共振區(qū)間復雜運動分岔行為的內(nèi)在關聯(lián).研究指出非共振區(qū)間的動態(tài)等效固有頻率對于預測系統(tǒng)VC接觸共振位置具有一定的參考價值.另外,發(fā)現(xiàn)當系統(tǒng)不同自由度方向上的固有頻率值接近1∶2比例關系時,系統(tǒng)可能產(chǎn)生強烈的內(nèi)共振,進而誘發(fā)響應的周期倍化分岔甚至準周期、混沌振動.該研究對球軸承復雜共振響應的控制具有潛在的理論意義和工程價值.