任紅軍

(遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 鞍山 114051)

引言

滾動(dòng)軸承的剛度分析是進(jìn)行軸承設(shè)計(jì)與優(yōu)化的基礎(chǔ),對(duì)于分析滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有重要意義,主要涉及滾動(dòng)體與滾道間的彈性接觸問題和軸承整體變形與平衡問題.面向工程設(shè)計(jì)需求,如何方便有效地確定軸承剛度十分重要.

Stribeck[1]首先通過大量試驗(yàn)對(duì)鋼球及滾道的彈、塑性接觸問題進(jìn)行了研究,確定球軸承的許用接觸載荷,給出了球軸承在徑向外載荷作用下滾動(dòng)體最大接觸載荷的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式.Sjovall[2]和Lundberg[3]進(jìn)行了徑向、軸向載荷以及彎矩載荷的滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體變形與載荷分布規(guī)律研究,給出了滾動(dòng)軸承在聯(lián)合載荷作用下的套圈位移及載荷分布的計(jì)算方法.此外,目前有限元方法廣泛應(yīng)用于滾動(dòng)軸承剛度分析中,包括計(jì)算軸承剛度[4]、接觸應(yīng)力[5,6]、變形[7],有限元模型中可以考慮軸承、軸以及軸承支承結(jié)構(gòu)[8,9].采用有限元法對(duì)軸承組件整體分析,存在節(jié)點(diǎn)數(shù)量與計(jì)算精度的矛盾,一般情況下計(jì)算量大且費(fèi)時(shí).對(duì)于高速運(yùn)行下的滾動(dòng)體等零件慣性力影響,其計(jì)算精度更不能滿足.

Jones[10]假定滾動(dòng)體與滾道之間的切向接觸問題符合Coulomb摩擦定律,并采用滾道控制理論作為滾動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)邊界條件.Jedrzejewski和Kwasny[11]考慮滾動(dòng)體離心力、陀螺力矩對(duì)接觸角影響,建立角接觸球軸承力學(xué)模型,分析了離心力和陀螺力矩效應(yīng)對(duì)軸承剛度及變形的影響.Noel等[12]在Jones模型基礎(chǔ)上提出五自由度角接觸球軸承剛度矩陣計(jì)算方法.Yi等[13]研究不同軸向預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速條件下角接觸球軸承剛度,并通過試驗(yàn)測(cè)量內(nèi)圈、外圈的位移驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性.趙春江等[14]研究高速條件下角接觸球軸承鋼球的陀螺力矩和外部負(fù)載以及摩擦系數(shù)的關(guān)系.

本文基于Hertz接觸理論,系統(tǒng)給出了滾動(dòng)軸承力學(xué)模型的建立方法,獲得滾動(dòng)軸承五自由度剛度模型的解析表達(dá)式,為滾動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ).

1 滾動(dòng)軸承的力學(xué)分析

滾動(dòng)軸承的力學(xué)模型如圖1所示,在該模型中,不計(jì)軸承的質(zhì)量,軸承座及其基礎(chǔ)視為剛性,軸承外圈全約束固定,內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸過盈配合.建立固定坐標(biāo)系為OXYZ,其坐標(biāo)原點(diǎn)O為固定點(diǎn),位于滾動(dòng)軸承外圈中心點(diǎn)處,X為軸向坐標(biāo),Y、Z為徑向坐標(biāo).作用在滾動(dòng)軸承上的外載荷和相應(yīng)的滾動(dòng)軸承的彈性變形分別為:

圖1 滾動(dòng)軸承簡化力學(xué)模型示意圖Fig.1 Simplified mechanical model of rolling bearing

假設(shè)滾動(dòng)軸承共有m個(gè)滾動(dòng)體(在這里指滾珠個(gè)數(shù)).每個(gè)滾珠與內(nèi)外圈接觸并相互作用,存在力平衡關(guān)系.其力學(xué)模型如圖2所示.

圖2 單個(gè)滾珠受力學(xué)模型圖Fig.2 Mechanical model of one ball

設(shè)滾珠與內(nèi)外圈的接觸滿足Hertz接觸應(yīng)力理論,第j個(gè)滾珠對(duì)軸承內(nèi)圈沿法線方向的接觸力Qj與其變形δj之間的關(guān)系為：

(1)

其中,Kn為滾珠與內(nèi)外圈之間總的載荷-變形系數(shù)(單位N/mn),n是接觸指數(shù),對(duì)于滾珠軸承可以設(shè)為n=1.5.

圖3 滾珠與內(nèi)外圈的相對(duì)變形示意圖Fig.3 Relative deformation of inner and outer raceway and ball

δxj=δx+Rj(φysinφj-φzcosφj)

(2)

δrj=δycosφj+δzsinφj

(3)

其中,Rj為內(nèi)滾道溝曲率中心軌跡半徑,φj為第j個(gè)滾珠的位置角.

圖4 第j個(gè)滾珠與內(nèi)外圈的相對(duì)變形示意圖Fig.4 Inner and outer raceway andjth ball deformation

式(1)中的滾珠與內(nèi)外圈之間總載荷-變形系數(shù)Kn,是由內(nèi)圈和外圈的載荷-變形系數(shù)Ki、Ko綜合求得,即：

(4)

其中,滾珠內(nèi)圈和外圈的載荷-變形系數(shù)Ki、Ko的計(jì)算式為

(5)

這樣,在得到式(1)中的一個(gè)滾珠與內(nèi)外圈之間的載荷-變形系數(shù)Kn和接觸變形量δj后,即可得到其彈性接觸作用力Qj.

2 滾動(dòng)軸承剛度矩陣的推導(dǎo)

滾動(dòng)軸承的整體載荷-位移關(guān)系具有如下關(guān)系.即將上面得到的任意位置角φj處的任一滾珠j的彈性接觸作用力Qj按軸承總體5個(gè)自由度方向進(jìn)行分解,得:

Fxj=Qjsinαj

Fyj=Qjcosαjcosφj

Fzj=Qjcosαjsinφj

Myj=RjQjsinαjsinφj

Mzj=-RjQjsinαjcosφj

(6)

將軸承所有滾珠的接觸力進(jìn)行求和,再根據(jù)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈的平衡條件, 即作用在軸承上的外力與所有鋼球?qū)?nèi)圈的作用力平衡,可得如下軸承整體平衡方程：

(7)

在受小載荷作用時(shí),滾珠與套圈之間的接觸變形一般是微米級(jí)的.在微小變形情況下,滾動(dòng)軸承各方向上的剛度可近似為線性剛度,即滾動(dòng)軸承的外載荷與軸承位移之間的關(guān)系可記為

F=Kq

(8)

其中K為滾動(dòng)軸承剛度矩陣,為5×5階的矩陣,其定義為:

(9)

其中Kij是剛度矩陣元素,是外載荷分量對(duì)彈性位移分量的偏導(dǎo)數(shù).若忽略交叉剛度,只考慮5個(gè)方向的主剛度,滾動(dòng)軸承剛度矩陣K可記為：

(10)

3 結(jié)果與分析

3.1 軸承參數(shù)

以71807AC角接觸球軸承為例加以分析,所采用軸承的內(nèi)外圈及滾動(dòng)體所采用的材料均為GCr15軸承鋼,軸承基本參數(shù)如表1所示.

表1 71807AC角接觸球軸承基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of angular contact ball bearings 71807AC

3.2 軸承剛度測(cè)試

滾動(dòng)軸承剛度測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)如圖5所示.被測(cè)滾動(dòng)軸承安裝在軸上,其內(nèi)圈與軸過盈配合,外圈固定在軸承支座上.加載裝置分別位于軸向和徑向兩個(gè)方向上,通過力傳感器數(shù)顯裝置讀取施加的載荷大小,數(shù)顯千分表分別位于滾動(dòng)軸承左端軸向方向和靠近軸承的轉(zhuǎn)軸水平方向,用以近似軸承的軸向和徑向位移.

圖5 滾動(dòng)軸承性能測(cè)試原理性試驗(yàn)器Fig.5 Test rig for performances of ball bearing

3.3 測(cè)試結(jié)果對(duì)比分析

將試驗(yàn)結(jié)果與仿真分析的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.圖6表示了不同軸向負(fù)荷作用下,軸承的軸向變形情況.

圖6 不同軸向載荷作用下軸承的軸向位移Fig.6 Axial displacement of ball bearing vs. axial preload

由圖6可以看出,試驗(yàn)具有很好的重復(fù)性,四次測(cè)試的結(jié)果基本一致.此外,仿真分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果在趨勢(shì)上表現(xiàn)出一致性.

軸承軸向測(cè)試剛度和仿真計(jì)算的軸承軸向剛度比較如圖7所示.

由圖7可以看出,在給定的軸向載荷范圍內(nèi)(500～3500N),試驗(yàn)所得的軸承軸向剛度出現(xiàn)波動(dòng),仿真分析結(jié)果隨著軸向載荷的增大而增大.測(cè)試所得軸向剛度較小,由于考慮了試驗(yàn)裝置中軸、軸承座和軸承的串聯(lián)后的剛度.

在固定的軸向預(yù)載(2800N)條件下,不同徑向載荷作用下,軸承的徑向位移變化規(guī)律和徑向剛度變化,分別如圖8和9所示.

圖7 不同軸向載荷作用下軸承的軸向剛度Fig.7 Axial stiffness of ball bearing vs. axial preload

圖8 不同徑向載荷作用下軸承徑向位移Fig.8 Radial displacement of ball bearing vs. radial preload

圖9 不同徑向載荷作用下軸承徑向剛度Fig.9 Radialstiffness of ball bearing vs. radial preload

由圖8可以看出,試驗(yàn)具有良好的重復(fù)性,六次測(cè)試的結(jié)果基本一致.此外,仿真分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果在趨勢(shì)上表現(xiàn)出一致性,隨著徑向載荷的增大,徑向位移均呈線性增大趨勢(shì).

由圖9可以看出,在給定的徑向載荷范圍內(nèi)(500～3000N),試驗(yàn)所得的軸承徑向剛度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì),仿真分析結(jié)果隨著軸向載荷的增大而增大.試驗(yàn)測(cè)試所得軸承剛度較小,由于該剛度為考慮了試驗(yàn)裝置中軸、軸承座和軸承的串聯(lián)后的綜合剛度.該試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與仿真分析結(jié)果在整體趨勢(shì)上表現(xiàn)出了相似性,一定程度上驗(yàn)證了仿真計(jì)算模型的有效性.

4 結(jié)論

(1)本文給出了小變形下,基于Hertz接觸理論滾動(dòng)軸承五自由度剛度矩陣的計(jì)算方法；

(2)軸承內(nèi)圈位移整體上隨著載荷的增大而呈線性增大；

(3)利用剛度模型獲得的理論分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果在趨勢(shì)上表現(xiàn)出良好的一致性.