劉光明, 徐帆江

(中國科學院軟件研究所天基綜合信息系統(tǒng)重點實驗室, 北京 100190)

0 引 言

空間目標跟蹤定軌技術是空間目標監(jiān)視系統(tǒng)應用的基礎,在當今航天精確定軌領域,改進測控設備的測控精度并且提高空間目標的軌道確定精度是研究熱點[1-2]?？共钭赃m應濾波算法的處理流程為[3-4]:如果觀測值存在異常,就根據(jù)抗差估計原則對值進行處理;如果動力學模型發(fā)生誤差,則對模型的各個分量使用自適應的方法進行調(diào)節(jié),或者將模型當作整體,使用統(tǒng)一的自適應因子的方法改變模型對狀態(tài)參數(shù)的影響[5]。非線性濾波是空間目標實時跟蹤的有效方法之一[6],在實時跟蹤任務中,測量異常值(野值)的存在可能導致目標跟蹤誤差突增甚至丟失,文獻[6]討論了實時定軌的抗差估計方法,針對無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)算法在未知時變噪聲下出現(xiàn)的濾波精度下降或者發(fā)散的問題。文獻[7]在其基礎上提出了SPRHKF算法,此算法對模型的瞬時干擾誤差和不確定性具有一定的魯棒性。上述算法雖然在不同程度上改進了UKF算法的自適應能力,但是仍然存在一些不足[8-9]:算法普遍存在計算復雜并且引入其他限制條件而導致難以工程實現(xiàn)的問題,另外雖然解決了UKF算法的發(fā)散問題,但是其收斂性較差,例如對初始狀態(tài)誤差要求盡可能小[10]。對于傳統(tǒng)UKF算法在跟蹤濾波的過程中由于噪聲統(tǒng)計特性時變的影響而出現(xiàn)濾波精度下降乃至發(fā)散的問題,本文提出了新的抗差自適應UKF算法,該算法基于極大后驗估計,仿真實例結果驗證了算法在不同條件下的有效性和可行性。

1 目標觀測模型

地面站對空間非合作目標的觀測幾何如圖1所示。由于僅有一個跟蹤目標的觀測平臺,每個時刻對應的觀測方程都是非正定的。所以需要使用軌道動力學模型求解目標軌道,使用在觀測時間序列中測量的數(shù)據(jù)進行計算,實際處理時多使用基于軌道動力學的濾波算法[11]。

圖1 地面站對空間非合作目標的觀測幾何Fig.1 Observation geometry of ground station to space non cooperative target

地基光學測角跟蹤中,觀測平臺獲得空間目標的測角信息(赤經(jīng)β、赤緯ε),赤經(jīng)和赤緯可以由J2000地心慣性坐標系下目標位置矢量r=[x,y,z]T和地面站位置矢量R=[X,Y,Z]T確定[12]。

(1)

則觀測矢量Y=[β,ε]T可以表示為狀態(tài)矢量X=[rT,RT]T的非線性函數(shù)：

Y=H(X)+v

(2)

式中,v為測量噪聲矢量。

2 目標跟蹤系統(tǒng)模型

一段觀測時間序列下,構造目標狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)xk=f(xk-1),目標的角度測量序列為yk,則可建立地面站對空間非合作目標的光學測角跟蹤模型[13]為

(3)

設離散非線性隨機系統(tǒng)(3)中的wk和vk是互不相關的非零均值高斯白噪聲,且具有時變統(tǒng)計特性[14]，即

(4)

式中,Qk是非負定對稱的過程噪聲的協(xié)方差矩陣;Rk是正定對稱的觀測噪聲的協(xié)方差矩陣。

設初始狀態(tài)x0與wk、vk互不相關,服從高斯正態(tài)分布,其均值和協(xié)方差矩陣[15]為

(5)

所以要解決的問題就是在量測噪聲和系統(tǒng)噪聲的統(tǒng)計特性時變或者未知的情況下,基于角度測量值yk設計具有噪聲統(tǒng)計估計器的抗差自適應UKF算法,計算目標位置速度矢量。

3 帶時變噪聲統(tǒng)計特性估計器的抗差自適應UKF算法

定理1根據(jù)極大后驗估計理論[16],在滿足式(4)和式(5)的情況下具有時變噪聲統(tǒng)計特性的次優(yōu)極大后驗估計公式為

(6)

J=p[qk-1,Qk-1,rk,Rk,Xk|Yk]=

p[Yk|qk-1,Qk-1,rk,Rk,Xk]·

p[Xk|qk-1,Qk-1,rk,Rk]p[qk-1,Qk-1,rk,Rk]/p[Yk]

(7)

由假設知時變噪聲wk、vk相互獨立,為方便推導,不妨暫時設wk、vk具有常值統(tǒng)計特性:E[wk]=q,Cov[(wk-qk)(wj-qj)T]=Qδkj,E[vk]=r,Cov[(vk-rk)(vj-rj)T]=Rδkj,則根據(jù)條件概率分布密度的乘法定理[17],可得

A1·|P0|-1/2·|Q|-k/2·

(8)

(9)

從而,有

J=A1·A2·|P0|-1/2·|Q|-k/2·|R|-k/2·

{p[qk-1,Qk-1,rk,Rk]/p[Yk]}·

A·|Q|-k/2|R|-k/2·

(10)

式中

A=A1·A2·{p[qk-1,Qk-1,rk,Rk]/p[Yk]}·

為常數(shù)項。

J和lnJ極值相同,式(10)可改寫為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

類似地有

(18)

(19)

證畢

(20)

進而有

(21)

(22)

具體計算步驟如下:

步驟1濾波初始化

步驟2計算Sigma樣本點

式中,(P)i表示取矩陣P的第i行;

步驟3時間更新

χi,k|k-1=f(χi,k-1)

步驟4量測更新

yk|k-1=h(χj)

Kk,j=Pxkyk(Pvkvk)-1

步驟5計算抗差自適應因子βk[20]

βk=

步驟6再次進行量測更新

4 抗差自適應UKF算法流程

圖2 抗差自適應UKF算法流程圖Fig.2 Flowchart of robust adaptive UKF algorithm

5 仿真實驗與分析

設地基觀測站Station的大地坐標為:北緯40.1°、東經(jīng)116.2°、高程0.8 km,空間目標SatT的軌道根數(shù)如表1所示,星歷時間為2016年1月1日12:00:00。

表1 空間目標的軌道根數(shù)

利用STK模擬生成了作為標稱軌道的空間目標運行軌道。另外,濾波器的軌道預報模型和標稱軌道計算模型都只考慮非球形J2、J3、J4項攝動,以對比檢驗本文提出的抗差自適應UKF算法的性能。設仿真時長為Ta=5 000 s,濾波周期Ts=2 s,N表示濾波點數(shù),蒙特卡羅仿真次數(shù)取M=50次。數(shù)值實驗中,觀測數(shù)據(jù)中加入粗差,噪聲統(tǒng)計特性q、Q、r、R未知且Q時變。仿真結果評價指標采用誤差均方根(root mean square error,RMSE)、平均誤差均方根(average root mean square error,ARMSE)及收斂時間Tc。

設初始狀態(tài)誤差為[5 km 5 km 5 km 1 m 1 m 1 m],觀測數(shù)據(jù)誤差取40 μrad。其中,常值系統(tǒng)誤差為10 μrad,隨機誤差為30 μrad,則有r=[10-510-5],R=diag[9×10-109×10-10];加入的過程噪聲統(tǒng)計特性為q=[50 50 50 0 0 0],Q=diag[10210210210-610-610-6]。仿真過程中，在t=3 800 s和t=4 000 s時觀測數(shù)據(jù)中加入400 μrad的粗差,在t=3 200 s后,過程噪聲統(tǒng)計協(xié)方差陣為Q=diag[1.5×1041.5×1041.5×10410-610-610-6]。

設置初始觀測噪聲均值和協(xié)方差矩陣分別為:r0=[0 0],R0=diag[10-1010-10],過程噪聲均值和協(xié)方差矩陣分別為:q0=[0 0 0 0 0 0],Q0=diag[1 1 1 10-610-610-6]。

本文設計2個場景。場景1:Station對SatT采用普通UKF算法進行跟蹤濾波;場景2:Station對SatT采用抗差自適應UKF算法進行跟蹤濾波，引入抗差自適應因子,初值設為1,構造自適應因子采用的常量k0=1.3,k1=6.0,遺忘因子ω=0.95。仿真結果如圖3～圖6和表2所示。

圖3 位置誤差均方根的比較Fig.3 Comparison of the root mean square of position error

圖4 速度誤差均方根的比較Fig.4 Comparison of the root mean square of velocity error

圖6 抗差自適應UKF的自適應因子變化曲線(場景2)Fig.6 Adaptive factor change curve of robust adaptive UKF (Case 2)

由以上仿真結果可知:

(1) 在t=3 200 s前，即過程噪聲的協(xié)方差矩陣還沒有改變前,UKF算法的非線性濾波效果正常,但是在收斂時RMSE_R和RMSE_V曲線振蕩較大,并且收斂時間也相對較長，Tc=255 s。當過程噪聲的協(xié)方差矩陣改變后,UKF算法逐漸失效,其濾波精度的振蕩降低甚至有發(fā)散的趨勢。特別是在t=3 800 s和t=4 000 s時觀測數(shù)據(jù)中加入粗差后,振蕩幅值快速增大,RMSE_R最高達到2 900 m,RMSE_V最高達到2 m/s。盡管經(jīng)過一段時間誤差曲線的振蕩幅值逐漸收窄,但是極易受到擾動影響而出現(xiàn)發(fā)散。

(2) 抗差自適應UKF可以克服過程噪聲協(xié)方差陣時變和觀測異常的問題,其RMSE_R和RMSE_V的收斂值最終分別保持在940.22 m和0.685 m/s,并且振蕩幅值很小,具有較高的穩(wěn)定性。

(3) 由圖5可知,抗差自適應UKF在t=3 200 s后,觀測噪聲的均值的模和協(xié)方差陣的矩陣范數(shù)分別階躍到了0.7×10-4和5×10-8附近振蕩,說明抗差自適應UKF將過程噪聲協(xié)方差陣時變影響通過時變噪聲統(tǒng)計估計器傳遞到了觀測噪聲的統(tǒng)計特性估計上,提高了濾波過程中狀態(tài)向量估計的穩(wěn)定性。

(4) 由圖6可知，抗差自適應UKF的自適應因子在濾波整個階段都在頻繁調(diào)整,并且對過程噪聲協(xié)方差陣的時變性更為敏感。自適應因子在t=3 200 s時降低到0.1,調(diào)整幅值相對最大,這也在一定程度上減輕了時變噪聲統(tǒng)計估計器的工作負擔。自適應因子在觀測異常時自身幅值調(diào)整并不明顯,這與觀測粗差不算太“惡劣”有一定關系,或者說抗差自適應UKF的自適應因子主要在于整體上提高濾波對觀測異常和狀態(tài)擾動的抵制能力。

6 結 論

傳統(tǒng)UKF算法的濾波精度高于擴展卡爾曼濾波算法,但在濾波前需已知噪聲的先驗統(tǒng)計特性[21]。由于在地面站對空間非合作目標的光學測角跟蹤濾波實際應用中,噪聲先驗信息一般未知或者不準確,即使已知但卻有時變性,會使傳統(tǒng)UKF算法的濾波精度下降乃至發(fā)散。提出基于極大后驗估計的抗差自適應UKF算法,將抗差自適應因子和時變噪聲統(tǒng)計特性在線估計相結合,解決了傳統(tǒng)UKF在噪聲統(tǒng)計未知時變下濾波性能不佳的問題, 且有抵制觀測異常和模型擾動的能力。仿真結果表明，該算法可以在未知噪聲先驗統(tǒng)計的情況下,在線估計未知時變噪聲的統(tǒng)計特性,對噪聲變化具有一定的自適應能力,使用的抗差自適應因子可以控制跟蹤濾波的穩(wěn)定性。

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