沈智鵬, 王 茹

(大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 遼寧 大連 116026)

0 引 言

船舶運(yùn)動(dòng)控制是控制理論應(yīng)用于航海領(lǐng)域的一個(gè)重要的研究課題,船舶運(yùn)動(dòng)的目的在于提高船舶自動(dòng)化水平,進(jìn)而能夠保證船舶在航行過程中的安全性、經(jīng)濟(jì)性以及舒適性[1]。目前,海上航行的大多數(shù)船舶僅裝備螺旋槳主推進(jìn)器和舵裝置用以船舶推進(jìn)和操縱,是一類典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。欠驅(qū)動(dòng)船舶的鎮(zhèn)定控制、路徑和軌跡跟蹤控制等問題一直是不少船舶運(yùn)動(dòng)控制理論研究者關(guān)注的熱點(diǎn)。

近年來,對(duì)船舶航跡跟蹤控制問題的研究,已有諸多成果。如文獻(xiàn)[2-3]基于Lyapunov直接法和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,在保證航向角速度滿足標(biāo)準(zhǔn)持續(xù)激勵(lì)條件下,設(shè)計(jì)船舶軌跡跟蹤控制律。這些控制律的設(shè)計(jì)都必須保證船舶模型參數(shù)是已知的。此外,文獻(xiàn)[4-5]基于backstepping思想設(shè)計(jì)船舶航跡跟蹤控制律,實(shí)現(xiàn)了對(duì)船舶軌跡跟蹤的有效控制。文獻(xiàn)[6]在已知外界干擾有界的情況下,利用逆推法將船舶運(yùn)動(dòng)的控制律分解為兩個(gè)子回路進(jìn)行設(shè)計(jì),提出了一種基于干擾界已知的滑?？刂撇呗浴５遣捎脗鹘y(tǒng)的backstepping方法設(shè)計(jì)控制器存在“微分爆炸”問題,不利于工程實(shí)踐,文獻(xiàn)[7-9]采用動(dòng)態(tài)面控制(dynamic surface control,DSC)思想,在以往backstepping技術(shù)的基礎(chǔ)上加入了一階低通濾波器,避免狀態(tài)量在進(jìn)行微分計(jì)算時(shí)存在“微分爆炸”問題,簡(jiǎn)化控制律設(shè)計(jì),易于工程實(shí)踐。

然而船舶在實(shí)際航行中,除了遭受風(fēng)、浪、流等外界環(huán)境干擾外,其自身的質(zhì)量、速度、慣性矩等性能也會(huì)隨之變化,導(dǎo)致船舶模型參數(shù)也跟著發(fā)生一定的變化。為了克服船舶模型參數(shù)的不確定性和外界風(fēng)、浪、流等干擾的影響,文獻(xiàn)[10]在控制器的設(shè)計(jì)中利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近特性估計(jì)船舶動(dòng)態(tài)不確定,并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理證明船舶閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號(hào)一致最終有界。文獻(xiàn)[11]針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)船舶的路徑跟蹤問題,設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定自適應(yīng)控制器,并對(duì)風(fēng)、浪、流等外界環(huán)境干擾進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償。文獻(xiàn)[12]為實(shí)現(xiàn)在參數(shù)攝動(dòng)和外界環(huán)境干擾影響下對(duì)船舶路徑跟蹤的控制,運(yùn)用滑模和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這兩種技術(shù)設(shè)計(jì)了一種基于神經(jīng)滑模魯棒控制器。文獻(xiàn)[13]在欠驅(qū)動(dòng)船舶的路徑跟蹤問題上,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)強(qiáng)化學(xué)習(xí)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,增強(qiáng)了所設(shè)計(jì)控制器的自適應(yīng)性。文獻(xiàn)[14]針對(duì)無人水面艇的航跡跟蹤問題,在無人艇存在建模誤差以及外界干擾的情況下,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù),設(shè)計(jì)出一種自適應(yīng)徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器,該控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。不過,采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)需要在線估計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值向量,不可避免的增加了控制算法的計(jì)算負(fù)載,也就是所謂的“維數(shù)災(zāi)難”問題。這一問題可以采用最小學(xué)習(xí)參數(shù)(minimal learning parameter,MLP)方法[15]予以解決。MLP法是通過在線估計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量范數(shù),從而使得所提出的自適應(yīng)律不依賴于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)。文獻(xiàn)[16]在對(duì)大氣變化非常敏感的超音速飛行器中,采用DSC和MLP結(jié)合起來設(shè)計(jì)控制器,利用簡(jiǎn)單的自適應(yīng)算法就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)動(dòng)態(tài)不確定的估計(jì),在線更新計(jì)算負(fù)擔(dān)大大減少。文獻(xiàn)[17]將采用MLP代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法,應(yīng)用于三自由度欠驅(qū)動(dòng)船舶上,從而降低了該控制算法的計(jì)算負(fù)擔(dān),最后,通過Lyapunov原理證明了所設(shè)計(jì)控制律的有效性。

考慮欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤存在模型參數(shù)不確定以及在實(shí)際航行中不可避免的遭受外部環(huán)境干擾的問題,設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?。通過引入DSC技術(shù)避免傳統(tǒng)backstepping方法帶來“微分爆炸”問題,采用MLP方法用于避免“維數(shù)災(zāi)難”問題,并以單參數(shù)在線學(xué)習(xí)代替所有權(quán)值在線學(xué)習(xí),從而使其計(jì)算負(fù)載降低,更符合工程要求。利用Lyapunov穩(wěn)定性原理證明所設(shè)計(jì)控制律可使欠驅(qū)動(dòng)船舶沿期望軌跡航行,并保證欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)中軌跡跟蹤誤差信號(hào)一致最終有界,最后利用一艘“BAY CLASS”遠(yuǎn)程巡邏船的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所設(shè)計(jì)控制器的有效性進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 問題描述

考慮船舶前向、橫蕩和艏搖3個(gè)自由度的水平面運(yùn)動(dòng),則存在模型參數(shù)不確定性和外界環(huán)境干擾影響的欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型可表示為

(1)

式中

為實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡控制律的設(shè)計(jì),引入以下假設(shè)。

控制目標(biāo)：針對(duì)三自由欠驅(qū)動(dòng)船舶非線性數(shù)學(xué)模型(1),在滿足假設(shè)1和假設(shè)2的條件下,考慮船舶存在模型不確定和外界環(huán)境干擾的情況,設(shè)計(jì)前向推進(jìn)力τu和轉(zhuǎn)向力矩τr使得所設(shè)計(jì)船舶能夠沿期望軌跡航行,并保證船舶系統(tǒng)中軌跡跟蹤誤差信號(hào)一致最終有界,實(shí)現(xiàn)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤的有效控制。

2 自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制律設(shè)計(jì)

為后續(xù)設(shè)計(jì)船舶系統(tǒng)控制律的需要,定義誤差變量

(2)

式中,(xd,yd)為船舶的參考軌跡;xe、ye分別為縱向位置誤差和橫向位置誤差;ue、ve分別為前向速度誤差和橫漂速度誤差,根據(jù)船舶的參考軌跡和實(shí)際位置信息可設(shè)計(jì)虛擬控制律。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶軌跡跟蹤位置誤差趨于零,對(duì)式(2)中的xe和ye求導(dǎo)可得

(3)

并將ue和ve代入式(3)得

(4)

設(shè)計(jì)虛擬控制律，即

(5)

式中,k1、k2>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。

將式(5)代入到式(4)可得

(6)

即

(7)

由式(7)可知,當(dāng)ue、ve收斂于零時(shí)

(8)

由式(8)可知,位置誤差xe、ye將收斂于零,即實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶軌跡跟蹤的控制。

2.1 縱向推力的最小參數(shù)自適應(yīng)滑模控制律設(shè)計(jì)

(9)

式中,λ1>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。

對(duì)一階滑模面(9)求導(dǎo)可得

(10)

從式(10)可以看出,如果采用傳統(tǒng)的backstepping對(duì)虛擬控制量αu直接求導(dǎo),將會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜程度。為了解決這個(gè)問題,依據(jù)動(dòng)態(tài)面控制思想[18],對(duì)αu引入一階低通濾波器,并設(shè)新的狀態(tài)量Xu∈R為一階濾波器的輸出,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(11)

式中,T1>0為濾波時(shí)間常數(shù)。

(12)

所產(chǎn)生的濾波誤差為y1=Xu-αu。

對(duì)y1關(guān)于時(shí)間求導(dǎo),結(jié)合式(5)和式(12)得

(13)

式中,β1(·)為非線性連續(xù)函數(shù)。

(14)

式中,ε1>0,η1>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。

由于式(14)中的fu存在有船舶動(dòng)態(tài)不確定項(xiàng),不能直接用于控制律的設(shè)計(jì),故采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法對(duì)未知項(xiàng)進(jìn)行逼近。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前饋網(wǎng)絡(luò),包括輸入層、隱含層和輸出層。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自學(xué)習(xí)能力較強(qiáng),可以對(duì)任意函數(shù)進(jìn)行逼近,避免了對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論分析,簡(jiǎn)化控制結(jié)構(gòu)。圖1為多輸入單輸出的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。

圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 RBF neural networks topology architecture

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層、隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)量分別為m、n,輸出為1。x=[x1x2…xm]T∈Rm為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量,則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高斯基函數(shù)的輸出表達(dá)式為

(15)

式中,bj>0為高斯基函數(shù)的寬度,j為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的第j個(gè)節(jié)點(diǎn);cj=[c1,c2,…,cm]T∈Rm為第j個(gè)隱層神經(jīng)元的中心點(diǎn)向量值,與輸入向量x的維數(shù)相同。

對(duì)于系統(tǒng)中的含有參數(shù)不確定函數(shù)fu的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出表達(dá)式為

(16)

式中,Z=[u,v,r]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,h(Z)=[h1(Z),h2(Z),…,hj(Z)]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)輸出;Wu∈Rj×1為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值,δ1為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差,且滿足|δ1|≤δU,δU為誤差的界值。

假設(shè)用于逼近fu的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值Wu有界,即‖Wu‖≤WU,令

(17)

設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律為

(18)

式中,Γu>0,ξ1>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。根據(jù)式(17)和式(18)設(shè)計(jì)縱向推進(jìn)力控制律,即

(19)

避免參數(shù)漂移的的方法有死區(qū)法和σ-修正法等,由于采用死區(qū)法要設(shè)置死區(qū)寬度,寬度過大時(shí),會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)誤差趨于一個(gè)較大的死區(qū),影響船舶閉環(huán)系統(tǒng)的精度,故為了克服死區(qū)問題,設(shè)計(jì)帶有“σ-修正”的單參數(shù)自適應(yīng)律

(20)

式中,γ1>0，σ1>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。故縱向推進(jìn)力控制律式(16)變換為

(21)

證明定義Lyapunov函數(shù)為

(22)

對(duì)于給定的正數(shù)B0、?0,考慮如下緊集:

注意到Ωd×Ω1也是緊集,且非線性連續(xù)函數(shù)β1(·)在Ωd×Ω1緊集內(nèi)有最大值Nu。所以

(23)

式中,α1為正常數(shù)。

對(duì)式(22)求導(dǎo),并將式(10)、式(21)、式(23)代入可得

(24)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]的Young’s不等式,可得式(25)和式(26)成立

(25)

(26)

可得

(27)

(28)

將式(28)代入到式(27)可得

(29)

式中

μ1=min{(2η1-1),2(1/T1-α1,σ1}

2η1-1>0

1/T1-α1>0

(30)

證畢

2.2 轉(zhuǎn)向力矩的最小參數(shù)自適應(yīng)滑模控制律設(shè)計(jì)

(31)

對(duì)二階滑模面式(31)求導(dǎo)可得

(32)

由式(5)得

(33)

為方便后續(xù)表達(dá)式簡(jiǎn)潔,令

(34)

為防止對(duì)P直接求導(dǎo)出現(xiàn)項(xiàng)數(shù)滋升,對(duì)P引入一階低通濾波器,并設(shè)新的狀態(tài)量XP∈R為一階濾波器的輸出,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(35)

式中,T2>0為濾波時(shí)間常數(shù)。

(36)

定義濾波誤差為y2=XP-P。

(37)

故

(38)

對(duì)y2關(guān)于時(shí)間求導(dǎo),結(jié)合式(5)、式(36)得

(39)

式中,β2(·)為非線性連續(xù)函數(shù)。

與前面縱向推力的自適應(yīng)滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)類似,式(38)中存在含有動(dòng)態(tài)不確定的fr,采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近,表達(dá)式為

(40)

式中,Wr為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值;δ2為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差且|δ2|≤δR。

設(shè)計(jì)帶有“σ-修正”的參數(shù)自適應(yīng)律為

(41)

式中,γ2>0、σ2>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。

(42)

式中,ε2>0、η2>0為設(shè)計(jì)常數(shù)。

證明定義Lyapunov函數(shù):

(43)

對(duì)于給定的正數(shù)B0、?2,考慮如下緊集

注意到Ωd×Ω2也是緊集,且非線性連續(xù)函數(shù)β2(·)在Ωd×Ω2緊集內(nèi)有最大值NP。所以結(jié)合式(39)可得

(44)

式中,α2為正常數(shù)。

對(duì)式(43)求導(dǎo)并將式(38)、式(41)、式(42)、式(44)代入得

(45)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]的Young’s不等式,可得式(46)和式(47)成立

(46)

(47)

代入式(45)可得

(48)

與式(28)相同,考慮不等式：

(49)

代入式(48)得

(50)

式中

μ2=min{(2η2-1),2(1/T2-α2),σ2}

2η2-1>0

1/T2-α2>0

(51)

證畢

3 穩(wěn)定性分析

綜上所述,通過設(shè)計(jì)縱向推力控制律τu和轉(zhuǎn)向力矩控制律τr,分別滿足了式(30)和式(50)可達(dá)條件,保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可在有限時(shí)間內(nèi)趨向并保持在相應(yīng)的滑模面s1和s2,同時(shí)所設(shè)計(jì)的兩個(gè)滑模面是漸進(jìn)收斂于原點(diǎn)的。所以系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也會(huì)以指數(shù)速率收斂于原點(diǎn),即滿足

(52)

當(dāng)速度誤差ue、ve趨于0時(shí),由式(8)可知,位置誤差xe、ye也將趨于0,故船舶運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌跡能夠很好沿參考軌跡航行。

為證明船舶的艏搖角速度r是有界輸入有界輸出,定義如下Lyapunov函數(shù):

(53)

由船舶模型式(1)可知

(54)

式中,Δfr為船舶動(dòng)態(tài)未知不確定項(xiàng),其他項(xiàng)為已知項(xiàng),本文對(duì)fr進(jìn)行了逼近,故Δfr可由式(54)得到,后續(xù)證明可直接應(yīng)用Δfr。

對(duì)式(53)求導(dǎo)得

m33Δfr+br+τr]

(55)

4 仿真研究

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的帶“σ-修正”的DSC和MLP自適應(yīng)滑?？刂品椒ǖ挠行?應(yīng)用文獻(xiàn)[20]中一艘單槳單舵的遠(yuǎn)程巡邏船進(jìn)行仿真研究,該船長(zhǎng)為38 m,質(zhì)量為m=118×103kg,其他參數(shù)為m11=120×103kg,m22=177.9×103kg,m33=636×105kg,du=215×102kg/s,dv=147×103kg/s,dr=802×104kg/s,du2=0.2,du,du3=0.1,du,dv2=0.2dv,dv3=0.1dv,dr2=0.2dr,dr3=0.1dr,系統(tǒng)的不確定性部分取為

外界風(fēng)浪流產(chǎn)生的干擾力和力矩取為

應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的基于DSC和MLP的自適應(yīng)滑?？刂破鬟M(jìn)行船舶軌跡跟蹤控制,仿真結(jié)果如圖2～圖8所示。圖2表示選用兩種不同的算法欠驅(qū)動(dòng)船舶參考軌跡曲線xd、yd和實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡曲線x、y。從圖2中曲線可以看出，本文算法可以使船舶快速的跟蹤上參考軌跡,并且保持穩(wěn)定跟蹤狀態(tài),具有較好的跟蹤能力,而采用文獻(xiàn)[6]中的算法基本上能跟蹤上參考軌跡,并且所用的時(shí)間較長(zhǎng)。圖3和圖4分別為位置誤差收斂曲線和速度誤差收斂曲線,從圖3、圖4中可以看出,位置誤差和速度誤差都基本收斂于零,但采用滑?？刂扑惴ǖ奈恢谜`差xe和速度誤差ue、ve在零附近波動(dòng)較大,從位置誤差ye曲線圖可以看出采用滑?？刂扑惴ㄐ?00 s能夠跟蹤預(yù)期的軌跡,采用本文算法40 s就可以使船舶運(yùn)動(dòng)在預(yù)期軌跡上航行。

圖2 初始位置在圓內(nèi)的軌跡跟蹤控制Fig.2 Trajectory tracking control of the vessel with initial position inside the circle

圖3 位置誤差收斂曲線Fig.3 Convergence of position errors

圖4 速度誤差收斂曲線Fig.4 Convergence of speed errors

圖5 軌跡跟蹤控制輸入τu變化曲線Fig.5 Trajectory tracking control input τu curves

圖6 軌跡跟蹤控制輸入τr變化曲線Fig.6 Trajectory tracking control input τr curves

圖7 縱向動(dòng)態(tài)阻尼的逼近曲線 Fig.7 Approximation curve of surge dynamic damping

圖8 轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)阻尼的逼近曲線Fig.8 Approximation curve of yaw dynamic damping

圖5和圖6為船舶的控制輸入,表明采用本文算法轉(zhuǎn)向力矩τr在前10 s有抖振現(xiàn)象是由于船舶起始點(diǎn)偏離參考軌跡初始位置較大造成的,經(jīng)過一段時(shí)間的調(diào)節(jié)后變?yōu)楣饣那€,符合實(shí)際的控制要求。采用滑?？刂扑惴ㄊ勾跋到y(tǒng)的控制輸入出現(xiàn)抖振現(xiàn)象,而且不可消除。圖7和圖8表示不確定函數(shù)fu和fr的真實(shí)值和估計(jì)值,從圖中可以看出帶有“σ-修正”的MLP能很好地估計(jì)船舶模型參數(shù)中的動(dòng)態(tài)變量。

圖9 初始位置在圓外的軌跡跟蹤控制Fig.9 Trajectory tracking control of the vessel with initial position inside the circle

5 結(jié) 論

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)船舶存在模型參數(shù)不確定和外界環(huán)境干擾的軌跡跟蹤控制問題,提出了一種基于DSC和MLP的自適應(yīng)滑?？刂品椒?。該方法克服了文獻(xiàn)[6]模型參數(shù)先驗(yàn)知識(shí)的局限性,并消除了符號(hào)函數(shù)帶來的抖振問題。引入DSC的目的是為了避免傳統(tǒng)的backstepping方法對(duì)虛擬控制直接求導(dǎo)存在的“微分爆炸”問題,采用帶有“σ-修正”的MLP以單參數(shù)在線學(xué)習(xí)代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法中所有權(quán)值在線學(xué)習(xí),既減少控制律的計(jì)算量,避免出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)難”問題,又能防止參數(shù)漂移,易于工程實(shí)踐,仿真結(jié)果證明了該算法的有效性。

[1] FOSSEN T I. Handbook of marine craft hydrodynamics and motion control[M]. New York: Wiley,2011.

[2] JIANG Z P. Global tracking control of underactuated ships by Lyapunov’s direct method[J].Automatica,2002,38(2):301-309.

[3] DONG W J,GUO Y. Nonlinear tracking control of underactuated surface vessel[C]∥Proc.of the IEEE American Control Conference, 2005:4351-4356.

[4] GHOMMAM J,MNIF F,BENALI A,et al. Asymptotic back stepping stabilization of an underactuated surface vessel[J]. IEEE Trans.on Control Systems Technology,2006,14(6):1150-1157.

[5] S?RENSEN M E N,BJ?RNE E S,BREIVIK M. Performance comparison of backstepping-based adaptive controllers for marine surface vessels[C]∥Proc.of the IEEE Control Applications,2016:891-897.

[6] 朱齊丹,于瑞亭,夏桂華,等. 風(fēng)浪流干擾及參數(shù)不確定欠驅(qū)動(dòng)船舶航跡跟蹤的滑模魯棒控制[J]. 控制理論與應(yīng)用,2012,29(7):959-964.

ZHU Q D,YU R T,XIA G H,et al. Sliding-mode robust tracking control for underactuated surface vessels with parameter uncertainties and external disturbances[J]. Control Theory & Applications,2012,29(7):959-964.

[7] AMEZQUITA S K,YAN L,BUTT W A,et al. Dynamic surface control for a class of nonlinear feedback linearizable systems with actuator failures[J]. IEEE Trans.on Neural Networks & Learning Systems,2017,28 (9):2209-2214.

[8] 杜佳璐,楊楊,胡鑫,等. 基于動(dòng)態(tài)面控制的船舶動(dòng)力定位控制律設(shè)計(jì)[J]. 交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào),2014,14(5):36-42.

DU J L,YANG Y,HU X,et al. Control law design of dynamic positioning for ship based on dynamic surface control[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering,2014,14(5):36-42.

[9] 王昊,王丹,彭周華,等. 多自主船協(xié)同路徑跟蹤的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制[J]. 控制理論與應(yīng)用,2013,30(5):637-643.

WANG H,WANG D,PENG Z H,et al. Adaptive dynamic surface control for cooperative path following of multiple autonomous surface vessels[J]. Control Theory & Applications,2013,30(5):637-643.

[10] DU J L,HU X,LIU H B,et al. Adaptive robust output feedback control for a marine dynamic positioning system based on a high-gain observer[J]. IEEE Trans.on Neural Networks & Learning Systems,2015,26(11):2775-2786.

[11] 劉楊,郭晨,沈智鵬,等.欠驅(qū)動(dòng)船舶路徑跟蹤的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定自適應(yīng)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用,2010,27(2):169-174.

LIU Y,GUO C,SHEN Z P,et al. Stable adaptive neural network control of path following for underactuated ships[J]. Control Theory & Applications,2010,27(2):169-174.

[12] 楊震,劉繁明,王巖. 欠驅(qū)動(dòng)船舶路徑跟蹤的神經(jīng)滑模控制[J]. 中國(guó)造船,2015,56(2):45-55.

YANG Z,LIU F M,WANG Y. Path following of underactuated surface vessels based on neural sliding mode[J]. Shipbuilding of China,2015,56(2):45-55.

[13] 沈智鵬,代昌盛. 欠驅(qū)動(dòng)船舶路徑跟蹤的強(qiáng)化學(xué)習(xí)迭代滑?？刂芠J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào),2017,38(5):697-704.

SHEN Z P,DAI C S. Iterative sliding mode control based on reinforced learning and used for path tracking of underactuated ship[J].Journal of Harbin Engineering University,2017,38(5):697-704.

[14] LI C H,ZHAO Y S, WANG G F, et al. Adaptive RBF neural network control for unmanned surface vessel course tracking[C]∥IEEE International Conference on Information Science & Technology, 2016:285-290.

[15] 劉程,李鐵山,陳納新. 帶有舵機(jī)特性的船舶航向自動(dòng)舵DSC-MLP設(shè)計(jì)[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào),2012,33(1):9-14.

LIU C,LI T S,CHEN N X. Dynamic surface control and minimal learning parameter (DSC-MLP) design of a ship’s autopilot with rudder dynamics[J]. Journal of Harbin Engineering University,2012,33(1):9-14.

[16] XU B,YU L,WANG S X,et al. Neural dynamic surface hypersonic flight control using minimal-learning-parameter technique[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Unmanned Aircraft Systems,2014:960-966.

[17] ZHANG G Q,ZHANG X K. Concise robust adaptive path-following control of underactuated ships using DSC and MLP[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering,2014,39(4):685-694.

[18] SWAROOP D,HEDRICK J K,YIP P P,et al. Dynamic surface control for a class of nonlinear systems[J]. IEEE Trans.on Automatic Control,2000,45(10):1893-1899.

[19] CAI J,WEN C,SU H,et al. Adaptive backstepping control for a class of nonlinear systems with non-triangular structural uncertainties[J].IEEE Trans.on Automatic Control,2017,62(10): 5220-5226.

[20] DO K D,JIANG Z P,PAN J. Robust adaptive path following of underactuated ships[J]. Automatic,2004,40(6):929-944.