郭致遠(yuǎn), 姚曉先, 張 鑫

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引 言

火箭彈大多是尾翼穩(wěn)定的低速旋轉(zhuǎn)彈,具有反應(yīng)時(shí)間短、火力猛、威力大等優(yōu)勢(shì),然而,其散布隨射程成倍增加。在常規(guī)彈藥制導(dǎo)化的發(fā)展趨勢(shì)下,火箭彈的低成本、簡(jiǎn)易控制受到了越來(lái)越多的關(guān)注[1]。無(wú)控火箭彈的落點(diǎn)散布主要取決于主動(dòng)段的擾動(dòng)[2]?；鸺龔椵^難控制的一個(gè)原因在于其模型的時(shí)變特性和不確定性。對(duì)于無(wú)動(dòng)力飛行段,與傳統(tǒng)導(dǎo)彈類似,速度和空氣密度都是對(duì)模型影響較大的因素;而對(duì)于續(xù)航段而言,盡管推力可以近似保持速度恒定,然而實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)所提供的推力也是變化的,此外,發(fā)動(dòng)機(jī)提供推力的同時(shí)也會(huì)引起質(zhì)量、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等的變化。

目前的研究多集中在無(wú)動(dòng)力飛行,發(fā)動(dòng)機(jī)推力的存在會(huì)加劇火箭彈數(shù)學(xué)模型的不確定性和時(shí)變性。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別基于狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠?state-dependent Riccati equation, SDRE)和智能特征結(jié)構(gòu)配置方法(intelligent eigenstructure assignment, IEA)設(shè)計(jì)了火箭彈的姿態(tài)控制器,這類控制器的設(shè)計(jì)均依賴于狀態(tài)反饋,但是,在火箭彈的飛行過(guò)程中,部分狀態(tài)變量難以測(cè)量和估計(jì)。文獻(xiàn)[5]基于推力矢量控制(thrust vector control, TVC),使用反饋線性化和SDRE設(shè)計(jì)了火箭彈的姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[6]通過(guò)離散自適應(yīng)滑模設(shè)計(jì)了制導(dǎo)炸彈的解耦控制器。文獻(xiàn)[7]基于魯棒非線性反演控制方法設(shè)計(jì)了應(yīng)對(duì)高靈敏度空空導(dǎo)彈強(qiáng)非線性和不確定性的控制器,然而該控制器的實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜。

增益調(diào)度控制是應(yīng)對(duì)被控系統(tǒng)時(shí)變特性常見的控制器設(shè)計(jì)方案[8-9]。首先，將被控對(duì)象在各個(gè)工作點(diǎn)處線性化,將非線性、參數(shù)攝動(dòng)、不確定性動(dòng)力學(xué)作為模型不確定性,通過(guò)線性控制器綜合方法設(shè)計(jì)各點(diǎn)的控制器,然后通過(guò)插值或其他方式將獨(dú)立控制器綜合起來(lái),得到全局控制器,最后通過(guò)仿真驗(yàn)證控制器的穩(wěn)定性和性能。文獻(xiàn)[10]將高度作為調(diào)度變量,結(jié)合傳統(tǒng)頻域控制理論設(shè)計(jì)了用于末制導(dǎo)的火箭彈自動(dòng)駕駛儀。文獻(xiàn)[11]將時(shí)間作為調(diào)度變量,結(jié)合協(xié)同進(jìn)化增廣拉格朗日方法得到優(yōu)化的控制器參數(shù)。文獻(xiàn)[12]將速度和高度作為調(diào)度變量,使用魯棒增益調(diào)度方法設(shè)計(jì)了炮彈的自動(dòng)駕駛儀,控制器具有比例-積分的結(jié)構(gòu),易于在工程應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)。

本文以122 mm單室雙推力火箭彈作為研究對(duì)象,使用常規(guī)線性鴨舵作為執(zhí)行機(jī)構(gòu),建立了該火箭彈包含參數(shù)攝動(dòng)的以線性分式變換(linear fractional transformation, LFT)描述的線性變參數(shù)(linear parameter varying, LPV)模型。對(duì)該火箭彈使用魯棒增益調(diào)度技術(shù)設(shè)計(jì)了具有固定控制器結(jié)構(gòu)的自動(dòng)駕駛儀,利用定高飛行的設(shè)計(jì)目標(biāo)在續(xù)航段將調(diào)度空間簡(jiǎn)化為時(shí)間-速度域,在無(wú)動(dòng)力飛行段將調(diào)度空間簡(jiǎn)化為速度域,通過(guò)結(jié)構(gòu)奇異值(structure singular value, SSV)分析了閉環(huán)系統(tǒng)在各特征點(diǎn)參數(shù)攝動(dòng)情況下的魯棒穩(wěn)定性,并仿真驗(yàn)證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。

1 火箭彈動(dòng)力學(xué)建模

本文所研究的火箭彈是軸對(duì)稱型,具有兩對(duì)線性鴨舵,呈“十”字布局,因此在滾轉(zhuǎn)通道不可控。依據(jù)文獻(xiàn)[13]中建立低速旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)模型所用的坐標(biāo)系統(tǒng),建立了火箭彈的動(dòng)力學(xué)模型,其中,火箭彈法向加速度表達(dá)式在彈道坐標(biāo)系下為

(1)

其中

(2)

為了簡(jiǎn)化分析,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中忽略重力和馬格努斯力,在式(1)的平衡點(diǎn)處做雅可比線性化處理,可以得到狀態(tài)方程為

(3)

其中

輸出方程為

(4)

其中

D11=cosγV,D12=sinγV

D21=sinγV,D22=-cosγV

選擇狀態(tài)變量、控制輸入和量測(cè)輸出分別如式(5)所示,可以得到線性化的火箭彈動(dòng)力學(xué)模型為

(5)

在式(3)和式(4)中,由于在火箭彈飛行過(guò)程中,各參數(shù)依賴于飛行的平衡點(diǎn),具有時(shí)變的特性,具體為

圖1 火箭彈動(dòng)力學(xué)模型的上LFT描述Fig.1 Upper-LFT description of the dynamics model of the rocket

圖中

G=Fu(H,Δ)

(6)

Δ=

(7)

2 控制器設(shè)計(jì)

為了使加入控制器以后的閉環(huán)系統(tǒng)盡量具有期望的響應(yīng),并且對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)具有魯棒性,采用H∞混合靈敏度設(shè)計(jì)方法。然而,傳統(tǒng)的H∞混合靈敏度方法得到的控制器階次通常比較高。文獻(xiàn)[14]提出了具有固定結(jié)構(gòu)的控制器,在已有的控制器結(jié)構(gòu)框架下,通過(guò)H∞設(shè)計(jì)離線得到優(yōu)化的控制參數(shù),對(duì)于控制器本身沒有更高的要求,可以兼顧實(shí)現(xiàn)難度和閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

2.1 線性控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于時(shí)變域中的任一點(diǎn)λ0∈Γλ,基于H∞的S/KS/T/M混合靈敏度設(shè)計(jì)方法的框圖如圖2所示。

圖2 綜合混合靈敏度設(shè)計(jì)框圖Fig.2 Mixed-sensitivity controller synthesis block diagram

‖Twz(s)‖∞=‖F(xiàn)l[P(s,λ0)K(s,λ0)]‖∞<γ,γ>0

(8)

(9)

其中

傳統(tǒng)的H∞控制方法所得到的控制器K(s,λ0)的階次與增廣系統(tǒng)的階次一致,通常較高,而且在用于包含耦合的多變量控制時(shí),容易造成保守性,并增加計(jì)算難度。對(duì)于火箭彈來(lái)說(shuō),希望控制器包含盡可能少的參數(shù)和微分,這樣更易于控制器在嵌入式系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)。自動(dòng)駕駛儀控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是希望火箭彈加速度盡可能準(zhǔn)確、迅速地跟隨加速度指令,因此在誤差控制部分應(yīng)具有積分效應(yīng),其余控制部分取最簡(jiǎn)單的比例控制。

最簡(jiǎn)控制器的結(jié)構(gòu)為

(10)

其中,Kroll-off(s)是滾降濾波器,選擇為一階慣性環(huán)節(jié),帶寬取執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬的一半，本文模型中未考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。其余控制器包含可調(diào)整參數(shù),分別為

KS(s,λ0)=

考慮到俯仰、偏航方向動(dòng)力學(xué)的對(duì)稱性,需要優(yōu)化參數(shù),按照式(11)簡(jiǎn)化為6個(gè)。簡(jiǎn)化方式為

(11)

混合靈敏度的權(quán)值函數(shù)參照文獻(xiàn)[12]中的選取方式。假設(shè)期望的參考模型形式為

(12)

其余的權(quán)值函數(shù)可以根據(jù)參考模型的參數(shù)來(lái)選擇。

靈敏度的權(quán)值濾波器為

(13)

控制輸入權(quán)值濾波器為

(14)

互補(bǔ)靈敏度函數(shù)的權(quán)值濾波器為

(15)

(16)

結(jié)構(gòu)化H∞控制器綜合是在附加控制器結(jié)構(gòu)約束的條件下解決H∞綜合問(wèn)題[14-15]。對(duì)于有約束的控制器,通過(guò)李雅普諾夫方法可以列寫雙線性矩陣不等式(bilinear matrix inequality, BMI),然而這種方法屬于非確定性多項(xiàng)式(non-deterministic polynomial, NP)困難問(wèn)題,難以求解。文獻(xiàn)[16]提出非光滑優(yōu)化方法,通過(guò)廣義梯度和束方法得到優(yōu)化的控制器參數(shù),并且對(duì)于高階模型具有通用性。但是,通過(guò)該方法得到的控制器是局部最優(yōu)的,為了使局部最優(yōu)更接近于全局最優(yōu),應(yīng)當(dāng)選擇多個(gè)不同的起始點(diǎn)開始優(yōu)化,該方法目前已經(jīng)集成在Matlab的Robust Control Toolbox中。

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

根據(jù)第2.1節(jié)的方法可以求得λ0處的控制器,其在參數(shù)攝動(dòng)情況下的魯棒穩(wěn)定性可以通過(guò)結(jié)構(gòu)奇異值進(jìn)行分析。加控制器后,魯棒穩(wěn)定性(robust stability, RS)分析圖如圖3所示。

圖3 魯棒穩(wěn)定性分析圖Fig.3 Structure for robust stability analysis

其關(guān)系式為

(17)

式中,NΔ(s,λ0)=Fl[PΔ(s,λ0),K(s,λ0)]。

根據(jù)文獻(xiàn)[17],系統(tǒng)在參數(shù)攝動(dòng)條件下的RS條件可以表示為

(18)

其中,結(jié)構(gòu)奇異值μΔ(M)為在某一頻率下使得矩陣I-MΔΔ奇異的具有最小結(jié)構(gòu)的Δ的最大奇異值的倒數(shù)[17]，即

(19)

2.3 全局控制器

在參數(shù)空間內(nèi)選擇若干特征點(diǎn),計(jì)算得到火箭彈的控制器參數(shù),依照參數(shù)空間進(jìn)行插值,即可得到全局控制器。特征點(diǎn)的選擇需要盡量地覆蓋所有可能出現(xiàn)的飛行狀態(tài),這樣計(jì)算得到的控制器才能更好地適應(yīng)各種飛行情況。具體的選擇方式是:在續(xù)航段將速度和時(shí)間作為調(diào)度變量來(lái)設(shè)計(jì)控制器,在無(wú)動(dòng)力飛行段,完全通過(guò)速度特征點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)控制器。在計(jì)算完若干個(gè)孤立控制點(diǎn)后,根據(jù)當(dāng)前的飛行狀態(tài)使用插值的方式計(jì)算實(shí)時(shí)控制器參數(shù),構(gòu)造全局控制器。然而,對(duì)于全局閉環(huán)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),由于系統(tǒng)是時(shí)變的,因此在所有特征點(diǎn)的局部穩(wěn)定性并非是全局穩(wěn)定性的充分條件。對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)來(lái)說(shuō),其穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)通過(guò)多次仿真來(lái)驗(yàn)證。

3 仿真

仿真分為3個(gè)部分:第1部分是設(shè)計(jì)某一特征點(diǎn)的控制器并分析特征點(diǎn)下的穩(wěn)定性和性能;第2部分是設(shè)計(jì)全局控制器,分析局部穩(wěn)定性;第3部分加入高度控制外環(huán),分析不同指令下的全局穩(wěn)定性。

本文使用122 mm火箭彈作為仿真模型。發(fā)動(dòng)機(jī)為單室雙推力,助推段工作約3 s,將火箭彈加速至約2.5個(gè)馬赫數(shù),續(xù)航發(fā)動(dòng)機(jī)開始工作,其推力主要用于平衡阻力,使火箭彈在續(xù)航段維持大致穩(wěn)定的速度?；鸺龔椩诎l(fā)射后5 s開始控制,續(xù)航發(fā)動(dòng)機(jī)在發(fā)射后14.24 s結(jié)束工作?；鸺龔椀闹饕獏?shù)如表 1所示。

表1 火箭彈的主要參數(shù)

各氣動(dòng)數(shù)據(jù)不確定性根據(jù)氣動(dòng)數(shù)據(jù)表給出,推力不確定性取10 %,轉(zhuǎn)速不確定性取10 %。下面以馬赫數(shù)為2.5時(shí)的升力系數(shù)為例說(shuō)明氣動(dòng)數(shù)據(jù)標(biāo)稱值和不確定性的計(jì)算方式。

升力系數(shù)在兩條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線范圍內(nèi)變化，如圖4所示。

因此,升力系數(shù)對(duì)準(zhǔn)攻角的導(dǎo)數(shù)，即圖中直線的斜率為

(20)

3.1 特征點(diǎn)下的控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

選擇特征點(diǎn)λ0=[850,5]T,期望的帶寬和阻尼分別為5 rad/s和0.8,在2%誤差帶條件下,使得期望的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.75 s,按照第2節(jié)的方式設(shè)計(jì)控制器,對(duì)照選擇為基于LMI設(shè)計(jì)的全階控制器和對(duì)全階控制器通過(guò)Hankel降階至與式(10)相同階次的控制器,使用3種控制器的閉環(huán)系統(tǒng)從擾動(dòng)輸入到性能輸出的H∞范數(shù)如表2所示。

表2 3種控制器對(duì)比

3種控制器的性能對(duì)照如圖5所示,對(duì)于靈敏度函數(shù)S(s),低頻下小增益可以保證跟蹤性能,中頻時(shí)小峰值可以保證魯棒性。從控制信號(hào)K(s)S(s)可以看出執(zhí)行機(jī)構(gòu)的余量。對(duì)于互補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s),低頻時(shí)的單位增益可以保證跟蹤性能,中頻段小峰值可以保證對(duì)多種不確定性的魯棒性和對(duì)噪聲的低敏感性。對(duì)于模型匹配性能M(s),中頻段的小值可以保證較好的模型匹配效果[18]。

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)性能目標(biāo)和實(shí)際性能對(duì)比Fig.5 Closed-loop target and shaped performance

由圖5可知,基于H∞設(shè)計(jì)的全階控制器性能是最好的;具有固定結(jié)構(gòu)的控制器較全階控制器在性能上相差較小;基于Hankel奇異值降階的控制器性能指標(biāo)為無(wú)窮大,將直接導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)散?？紤]到控制器的工程可實(shí)現(xiàn)難易度與控制器階次相關(guān),而全階控制器比固定結(jié)構(gòu)的控制器高34階,因此,在3種控制器中,具有固定結(jié)構(gòu)的控制器最具優(yōu)勢(shì)。

通過(guò)SSV來(lái)分析閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)攝動(dòng)的穩(wěn)定性,用于分析魯棒穩(wěn)定裕度的結(jié)構(gòu)奇異值上下界曲線，如圖6所示。

由圖6可知,SSV始終小于1。因此,閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)攝動(dòng)的參數(shù)具有魯棒穩(wěn)定性。

在參數(shù)攝動(dòng)范圍內(nèi)隨機(jī)取100個(gè)點(diǎn),得到閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線與參考模型階躍響應(yīng)曲線的對(duì)比，如圖7所示。

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig.7 Closed-loop step responses of the uncertain system

由圖7可知,閉環(huán)系統(tǒng)基本上可以按照參照模型來(lái)跟蹤輸入指令。

3.2 全局控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

將續(xù)航段的特征點(diǎn)選擇為按照0.3 s時(shí)間和25 m/s速度所劃分的網(wǎng)格,時(shí)間和速度范圍分別是5～14.24 s和800～925 m/s;將無(wú)動(dòng)力飛行段的特征點(diǎn)選擇為在525～900 m/s按照25 m/s所劃分的節(jié)點(diǎn)。按照上述特征點(diǎn)選擇方法,多次重復(fù)第3.1節(jié)的過(guò)程,得到增益調(diào)度控制器。各特征點(diǎn)處的最大結(jié)構(gòu)奇異值如圖8所示。

由圖8可知,在各特征點(diǎn)處,閉環(huán)系統(tǒng)均是局部魯棒穩(wěn)定的。

在設(shè)計(jì)過(guò)程中引入不確定性的目的在于應(yīng)對(duì)火箭彈飛行過(guò)程中各參數(shù)的時(shí)變性和非線性,從本節(jié)開始直接使用火箭彈6自由度非線性時(shí)變模型作為被控對(duì)象,仿真在9°發(fā)射高低角、0°發(fā)射方向角下進(jìn)行,初始俯仰角速度為-0.1 rad/s,按照5 m/s2、幅值5 s、周期50%占空比的方波給出縱向、側(cè)向加速度指令,兩通道指令具有不同的相位,過(guò)載自動(dòng)駕駛儀對(duì)方波指令的響應(yīng)情況如圖9所示。由于孤立特征點(diǎn)的性能并不能完整體現(xiàn)閉環(huán)全局系統(tǒng)的性能,因此在全局閉環(huán)系統(tǒng)中出現(xiàn)控制效果存在較大超調(diào)量的時(shí)刻。

圖8 各特征點(diǎn)的SSV最大值Fig.8 Maximum SSV values of the scheduling points

圖9 閉環(huán)系統(tǒng)非線性仿真曲線Fig.9 Non-linear simulation of the closed-loop system

等效舵偏角曲線如圖10所示。

圖10 仿真中等效舵偏角隨時(shí)間變化曲線Fig.10 Equivalent canard deflection during the simulation

由圖10可知,在推力消失后,速度下降導(dǎo)致提供同樣過(guò)載所需的等效舵偏角增大。

3.3 平飛控制

火箭彈的設(shè)計(jì)目標(biāo)是平飛控制,平飛高度100 m,參照文獻(xiàn)[19]基于線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection control, LADRC)分別設(shè)計(jì)縱向和側(cè)向的位置控制器,以縱向?yàn)槔?線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(linear extended state observer, LESO)帶寬為6 rad/s,控制器帶寬為1.3 rad/s,控制結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 高度控制框圖Fig.11 Closed-loop height control system block diagram

在9°發(fā)射高低角,0°發(fā)射方向角的情況下,初始俯仰角速度為-0.1 rad/s,平飛控制結(jié)果如圖12所示。

圖12 高度和側(cè)偏隨時(shí)間變化曲線Fig.12 Height and offset vesus time

這種情況下，自動(dòng)駕駛儀指令與響應(yīng)曲線如圖13所示。

若發(fā)射角高低角和偏角均有0.03°的誤差,初始速度有2 m/s的擾動(dòng),空間彈道及其在側(cè)向平面的投影如圖14所示。

圖13 自動(dòng)駕駛儀指令與響應(yīng)隨時(shí)間變化曲線Fig.13 Command and response of the autopilot

圖14 擾動(dòng)下的空間彈道曲線Fig.14 3-D trajectories under perturbation

由圖14可知,閉環(huán)系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況,說(shuō)明在當(dāng)前仿真條件下,閉環(huán)系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

4 結(jié) 論

基于雅可比線性化推導(dǎo)了火箭彈的俯仰、偏航動(dòng)力學(xué)的線性化模型,使用魯棒增益調(diào)度分別設(shè)計(jì)了針對(duì)火箭彈續(xù)航段和無(wú)動(dòng)力飛行段的自動(dòng)駕駛儀,設(shè)計(jì)中考慮了模型的時(shí)變特性和飛行狀態(tài)中的參數(shù)不確定性。在續(xù)航段將速度、時(shí)間作為調(diào)度變量,在無(wú)動(dòng)力飛行段將速度作為調(diào)度變量,將其他參數(shù)的攝動(dòng)作為不確定性。通過(guò)SSV檢驗(yàn)了各特征點(diǎn)下的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:通過(guò)本文方法設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀可以實(shí)現(xiàn)俯仰和偏航通道的解耦,同時(shí)能按照參考模型近似跟蹤輸入指令;附加較簡(jiǎn)單的位置控制回路可以實(shí)現(xiàn)定高平飛控制,對(duì)發(fā)射偏差具有魯棒性。

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