霍立寰, 廖桂生, 楊志偉

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

從20世紀60年代中期以來,隨著空間科學技術的飛速發(fā)展,空間陣列[1]在衛(wèi)星通信、空間探索、地球觀測等方面得到廣泛應用?？臻g陣列沿軌道運行時,遭遇的周期性冷熱交變和較大的溫度梯度將造成空間陣列變形,造成的陣元誤差嚴重影響雷達系統(tǒng)性能,尤其對于多通道陣列處理,明顯減弱雜波抑制效果和降低動目標檢測能力[2],因此有必要提出有效的適合空間陣列的誤差校正算法。

目前,針對空間陣列形變誤差的研究主要集中在形變陣列的方向圖分析[3-7]、陣元位置的測量與補償[8-11]及陣列形變對信號處理影響[12-14]3個方面。文獻[9]利用衛(wèi)星上的探針天線觀測陣面,通過比較陣面形變前后的測量結(jié)果,最后對每個陣元的相位誤差進行補償;文獻[10]通過在天線板上放置多個測溫傳感器,結(jié)合地面熱真空實驗得到的大量數(shù)據(jù)來估計陣元位置誤差并進行電補償處理;美國空軍研究實驗室和噴氣推進實驗室合作開發(fā)的L波段大孔徑星載雷達,通過天線上搭建的自動校準和計量系統(tǒng),對陣元的空間位置進行持續(xù)測量[11]。

空間陣列的位置誤差校正問題本質(zhì)上為陣列誤差的校正問題,在不同的條件和背景下提出多種校正方法[15-21]。其中最典型的是文獻[15-16]基于子空間原理,提出的基于聯(lián)合迭代求解的經(jīng)典算法，簡稱WF算法。該算法實現(xiàn)簡單且不需要輔助信源,雖然具有較高的校正精度,但是容易產(chǎn)生局部收斂,并且對于線陣的估計存在模糊[22-23],在實際應用中無法達到理想的效果。針對方位依賴的陣元誤差,文獻[21]等提出陣列校正的輔助陣元法,通過引入少量精確校正的輔助陣元,實現(xiàn)陣列誤差進行無模糊聯(lián)合估計,但是由于星載系統(tǒng)的限制,輔助陣元的實現(xiàn)較困難。

針對空間陣列的位置誤差問題,提出基于形變模型的誤差估計方法。該方法首先根據(jù)初始位置采用多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法估計角度,然后通過對代價函數(shù)進行泰勒一階近似,最小化代價函數(shù)得到陣元位置初步估計;再利用形變模型,對初步估計的位置采用總體最小二乘法獲得形變模型參數(shù),并且根據(jù)形變模型對陣元位置進行優(yōu)化,更新陣元位置繼續(xù)迭代直到代價函數(shù)收斂。本文算法具有快速收斂和高精度的優(yōu)點,并且在低信噪比情況下仍具有良好的穩(wěn)健性。

1 信號模型

在空間環(huán)境中,星載平面陣列受到各種載荷的作用發(fā)生復雜的形變?？臻g陣列由各子板構(gòu)成,復雜的形變退化到三維的拋物柱面,能夠用拋物柱面進行描述,如圖1所示。

圖1 面陣拋物柱面形變模型Fig.1 Parabolic cylindrical distortion model of the planar array

考慮由M×N個陣元組成二維陣列,并以第一個陣元(參考陣元)為坐標原點,理想陣面為XY平面建立直角坐標系。陣元(m,n)的實際坐標定義為(xmn,ymn,zmn),理想坐標定義為(xmn0,ymn0,zmn0),滿足

(xmn,ymn,zmn)=(xmn0,ymn0,zmn0)+(Δxmn,Δymn,Δzmn)

(1)

Dx、Dy分別為陣列在X軸、Y軸上孔徑長度,zmax為拋物柱面的最大形變量,因此拋物柱形變曲面上的坐標(x,y,z)滿足

(2)

假設有K個遠場窄帶信號sk(t)入射到該二維陣列,中心波長為λ,入射角為(θk,φk),其中k=1,2,…,K。方位角θk為入射信號投影到XY平面后與X軸的夾角,俯仰角φk為其與Z軸的夾角。實際陣列的輸出向量為

(3)

式中,n(t)是加性噪聲向量;a(θk,φk)是(θk,φk)方向的實際陣列導向矢量,表示為

a(θk,φk)=[1,…,e-j2πdmn,K/λ,…,e-j2πdMN,K/λ]T

(4)

式中

dmn,k=xmncosθksinφk+ymnsinθksinφk+zmncosφk

將式(3)表示成矩陣形式為

X(t)=A(θ)S(t)+n(t)

(5)

式中,A(θ)的第k列為a(θk,φk);S(t)的第k個元素為sk(t)。

實際接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(6)

對R進行特征值分解,其最小的MN-K個特征值所對應的特征向量un(n=K+1,K+2,…,MN)組成噪聲子空間Un=[uK+1,uK+2,…,uMN]。

實際中陣列協(xié)方差矩陣由有限次快拍數(shù)據(jù)來估計,即

(7)

式中,x(l)表示第l次快拍數(shù)據(jù)；L為快拍數(shù)。

2 位置誤差自校正方法

2.1 傳統(tǒng)WF方法原理

傳統(tǒng)WF算法[16]是同時估計角度和位置誤差的聯(lián)合迭代算法。該方法首先利用子空間正交原理構(gòu)造代價函數(shù)式(8);然后通過位置誤差的一階泰勒級數(shù)展開為式(9)形式,將耦合的位置誤差與來波角分離,進而根據(jù)估計的角度計算得到位置誤差;最后將角度和位置進行聯(lián)合迭代,通過最小化代價函數(shù)直至收斂得到誤差估計結(jié)果。

(8)

(9)

2.2 基于形變模型的位置誤差估計

WF求解陣元位置時,沒有利用陣面結(jié)構(gòu)約束,對空間陣列形變導致的陣元位置誤差估計結(jié)果精度較差?？紤]到空間陣列形變引起的位置誤差具有相關性,因此在每一次迭代后,所提方法對解得的位置根據(jù)形變模型進行約束,進而得到修正的陣元位置。陣元位置優(yōu)化方法如下。

依據(jù)拋物柱面形變模型,設

可得

yρ=z

(10)

考慮到陣元位置在每一維都存在位置誤差,因此利用總體最小二乘法來實現(xiàn)最優(yōu)的曲面擬合效果,ρ的總體最小二乘解為

(11)

(12)

估計出陣列形變參數(shù)后,結(jié)合形變模型對陣元位置進行修正,解決優(yōu)化問題,即

(13)

基于形變模型的陣元位置誤差估計方法步驟如下:

步驟3初始化:設迭代次數(shù)l=0,根據(jù)各個陣元的理想位置構(gòu)造空間譜為

(14)

(15)

步驟5對求得的陣元位置進行總體最小二乘擬合形變模型參數(shù),并代入式(13)進行優(yōu)化,解得修正后的陣元位置估計;

步驟6計算代價函數(shù)值Ql并判斷收斂條件是否滿足,若Ql-Ql-1>ε,則返回步驟4繼續(xù)迭代,并令l=l+1,否則結(jié)束迭代。

算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flow diagram of proposed algorithm

3 仿真實驗

3.1 驗證算法有效性實驗

通過仿真實驗,對比本文方法和傳統(tǒng)WF算法對形變陣列的誤差估計結(jié)果,驗證本文方法的有效性。采用二維平面陣,陣元數(shù)M=32,N=32,入射信號波長λ=0.3 m,理想陣面在行和列均等間隔放置,間距d=0.5λ,陣列形變最大值zmax=0.25λ。由于實際中存在微小的隨機機械誤差,因此附加上在±0.01d范圍內(nèi)均勻分布的位置擾動誤差。3個遠場窄帶信號分別θ1=30°、φ1=20°，θ2=60°、φ2=70°和θ3=100°、φ3=45°到達陣列,信噪比為20 dB,采樣數(shù)為200,迭代次數(shù)為30。

根據(jù)仿真參數(shù),對陣元位置列向取平均后的估計結(jié)果如圖3所示,代價函數(shù)隨迭代次數(shù)變化情況如圖4所示。

圖3 陣元位置估計結(jié)果Fig.3 Estimation result of the sensor positions

圖4 代價函數(shù)隨迭代次數(shù)變化Fig.4 Cost function versus iteration number

由圖3和圖4可知，傳統(tǒng)WF算法得到的陣元位置明顯有很大的偏差;基于形變模型的方法能夠得到精確的估計結(jié)果。結(jié)合圖4中兩種方法的代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化關系可知,傳統(tǒng)WF算法雖然能估計出較準確的導向矢量,但是由于沒有考慮形變陣列的結(jié)構(gòu)特點,不能得到實際位置結(jié)果估計。本文方法根據(jù)形變模型對陣元位置進行修正,能夠得到準確的陣元位置估計值。

為便于性能比較,定義平均陣元位置誤差為位置估計結(jié)果的性能指標,用符號poserror表示為

(16)

兩種方法的平均陣元位置誤差隨迭代次數(shù)的變化關系如圖5所示,兩種方法的三維空間譜估計曲線如圖6所示。

圖5 陣元位置誤差隨迭代次數(shù)變化Fig.5 Sensor position errors versus iteration number

圖6 三維空間譜比較Fig.6 Comparison of the three-dimensional spatial spectra

由圖5和圖6可知，初始的平均陣元位置誤差約為33%,利用WF算法校正時平均陣元位置誤差在30次迭代后約為25,利用本文方法校正時在12次迭代后即可收斂至0.43%(波長0.3 m時，對應0.65 mm);WF算法角度估計結(jié)果為

θ1=32.0°,φ1=20.4°

θ2=60.1°,φ2=70.4°

θ3=99.9°,φ3=45.8°

基于形變模型方法的角度估計結(jié)果為

θ1=30°,φ1=20.1°

θ2=60°,φ2=70°

θ3=100°,φ3=45°

仿真結(jié)果表明:對于形變陣列,WF算法對陣元位置和波達角不能得到正確的位置和角度估計結(jié)果;本文算法在實現(xiàn)快速收斂的同時,能夠得到正確的角度估計值和高精度陣元位置估計結(jié)果。

3.2 信噪比影響實驗

傳統(tǒng)WF算法對形變天線的誤差估計偏差較大,仿真對比輔助陣元法[21]與本文算法在低信噪比情況下的估計性能。實驗中采用列向取平均后的陣列,最大形變量zmax=0.1λ,蒙特卡羅實驗次數(shù)100,其他仿真參數(shù)與上個實驗相同,只是改變信源的信噪比。平均陣元位置估計誤差和角度估計均方根誤差隨信噪比的變化關系分別如圖7和圖8所示。

圖7 陣元位置估計誤差曲線Fig.7 Sensor position errors versus SNR

圖8 角度估計均方根誤差曲線Fig.8 RMSE of direction angles versus SNR

由圖7和圖8可知,在低信噪比的情況下,輔助陣元法性能下降嚴重;而基于模型的方法在信噪比低于5 dB時,平均陣元位置估計誤差的估計結(jié)果在5%以內(nèi),同時能夠得到高精度的角度估計,表明在低信噪比情況下,所提算法對于位置誤差和角度估計具有良好的穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

在實際工作環(huán)境中,空間陣列受熱載荷等因素的影響產(chǎn)生形變,導致陣元位置誤差嚴重影響雷達系統(tǒng)性能。提出基于形變模型的陣元位置誤差估計方法,在迭代過程中根據(jù)模型參數(shù)逐步修正估計結(jié)果。仿真結(jié)果表明該方法能夠快速收斂,并且在低信噪比情況下能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)于二十分之一波長的位置估計精度,滿足高分辨空間譜估計要求。

[1] IMBRIALE W A. Space antenna handbook[M]. New York: Wiley, 2012.

[2] MELVIN W L. A STAP overview[J]. IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2004, 19(1): 19-35.

[3] WANG H S C. Performance of phased-array antennas with mechanical errors[J]. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, 1992, 28(2): 535-545.

[4] ZAITSEV E, HOFFMAN J. Phased array flatness effects on antenna system performance[C]∥Proc.of the International Symposium on Phased Array Systems and Technology, 2010: 121-125.

[5] SONG L, DUAN B, ZHENG F, et al. Performance of planar slotted waveguide arrays with surface distortion[J]. IEEE Trans.on Antennas and Propagation, 2011, 59(9): 3218-3223.

[6] 陳杰, 周蔭清. 星載SAR相控陣天線熱變形誤差分析[J]. 北京航空航天大學學報, 2004, 30(9): 839-843.

CHEN J, ZHOU Y Q. Ambiguity performance analysis of spaceborne SAR with thermal mechanism errors in phased array antenna[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2004, 30(9): 839-843.

[7] 王從思, 康明魁, 王偉. 基于陣面變形誤差的有源相控陣天線電性能分析[J]. 電子學報, 2014, 42(12): 2520-2526.

WANG C S, KANG M K, WANG W. On coupled structural-electromagnetic model of active phased array antennas with array plane structu ral distortion errors[J]. Acta Electronica Sinica, 2014, 42(12): 2520-2526.

[8] PETERMAN D, JAMES K, GLAVAC V. Distortion measurement and compensation in a synthetic aperture radar phased-array antenna[C]∥Proc.of the International Symposium on Antenna Technology and Applied Electromagnetics and the American Electromagnetics Conference, 2010:1-5.

[9] TAKAHASHI T, NAKAMOTO N, OHTSUKA M, et al. On-board calibration methods for mechanical distortions of satellite phased array antennas[J]. IEEE Trans.on Antennas and Propagation, 2012, 60(60): 1362-1372.

[10] PITZ W, MILLER D. The TerraSAR-X satellite[J]. IEEE Trans.on Geoscience and Remote Sensing,2010,48(2):615-622.

[11] MCWATTERS D, FREEDMAN A, MICHEL T, et al. Antenna auto-calibration and metrology approach for the AFRL/JPL space based radar[C]∥Proc.of the Radar Conference,2004: 21-26.

[12] PIERRO R S, PARKER S E, SCHNEIBLE R, et al. SBR waveform and processing parameters as a function of array distortion[C]∥Proc.of the Aerospace Conference, 2006: 1-15.

[13] OSSOWSKA A, KIM J H, WIESBECK W. Influence of mechanical antenna distortions on the performance of the HRWS SAR system[C]∥Proc.of the International Geoscience and Remote Sensing Symposium,2007: 2152-2155.

[14] ZULCH P, HANCOCK R, MCKAY J. Array deformation performance impacts on a LEO L-band GMTI SBR[C]∥Proc.of the Aerospace Conference,2005: 2171-2179.

[15] WEISS A J, FRIEDLANDER B. Eigenstructure methods for direction finding with sensor gain and phase uncertainties[J]. Circuits Systems and Signal Processing, 1990, 9(3):271-300.

[16] WEISS A J, FRIEDLANDER B. Array shape calibration using eigenstructure methods[J]. Signal Processing, 1991, 22(3): 251-258.

[17] LIU A, LIAO G, ZENG C, et al. An eigenstructure method for estimating DOA and sensor gain-phase errors[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2011, 59(12): 5944-5956.

[18] LIU Z M, ZHOU Y Y. A unified framework and sparse bayesian perspective for direction-of-arrival estimation in the presence of array imperfections[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2013, 61(15): 3786-3798.

[19] 王鼎, 吳瑛. 陣元位置誤差自校正的累量域輔助陣元法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術, 2010, 32(7): 1357-1364.

WANG D, WU Y. Cumulants-based instrumental sensors method for self-calibration of sensor position errors[J]. Systems Engineering and Electronics, 2010, 32(7): 1357-1364.

[20] 楊志偉, 廖桂生. 基于最小二乘的陣元位置誤差校正及性能分析[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術, 2007, 29(2): 167-169.

YANG Z W, LIAO G S. Linear array position calibration based on least squares fitting and performance analysis[J]. Systems Engineering and Electronics, 2007, 29(2): 167-169.

[21] 王布宏, 王永良, 陳輝, 等. 方位依賴陣元幅相誤差校正的輔助陣元法[J]. 中國科學:技術科學, 2004, 34(8): 906-918.

WANG B H, WANG Y L, CHEN H, et al. Array calibration of angularly dependent gain and phase uncertainties with carry-on instrumental sensors[J].Science in China (Series E), 2004,34(8):906-918.

[22] HUNG E K L. A critical study of a self-calibrating direction-finding method for arrays[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 1994, 42(2): 471-474.

[23] PIERRE J, KAVEH M. Experimental performance of calibration and direction-finding algorithms[C]∥Proc.of the Acoustics,Speech and Signal Processing, 1991:1365-1368.