秦 靜 趙恒博

(青島理工大學琴島學院，山東 青島 266106)

力學是七大基礎學科之一，力學的應用無處不在，在我們的日常生活中和國防領域以及航天航空領域有著不可替代的作用[1-3]。對于土建類專業(yè)的學生來說，力學是非常重要的專業(yè)基礎課，主要開設三大力學：理論力學、材料力學和結構力學。力學是土建類專業(yè)學生學習專業(yè)課程的基礎，也是將來解決工程實際問題的理論基礎[4]。而在三大力學中求解約束力是一個非常重要的基本內容，可以說是學生學習力學的基本功，在三大力學中都有講解求約束力的方法，各有特點和用途，在文中我們分別舉例說明求約束力的方法，并比較它們的特點和不同。

1.方法介紹與數(shù)值算例

1.1 利用靜力平衡方程求約束力

靜力平衡方程求約束力是三大力學中最基本、最常用的一種方法，當物體系統(tǒng)受平衡力系時，就可以通過列靜力平衡方程對未知的約束力進行求解。靜力平衡方程有三種，一種是投影方程，是研究對象中所受的所有力及力偶在某個方向坐標軸的投影代數(shù)和等于零；一種是力矩方程，是研究對象上所受的力及力偶對平面內某點取矩的代數(shù)和等于零；第三種是力偶矩平衡方程。在平衡的力偶系中，所有力偶的力偶矩代數(shù)和等于零[5]。此方法通俗易懂、容易掌握、求解迅速、不易出錯。下面我們舉例說明。

例：求如圖1靜定多跨梁中支座D的約束力。

圖1

解：①畫層次圖如圖2。AB桿和DE桿為基本部分，BC桿為附屬部分。

圖2 層次圖

②取BC桿受力如圖3，通過列力偶矩平衡方程求出FC。

圖3 BC桿的受力圖

③列虛功方程，結構上作用的所有的力在其位移上所做的虛功之和為零。取CE桿受力如圖4，列對E取矩的力矩方程求出 FD。

圖4 DE桿的受力圖

解得：FD=40kN(↑)

1.2 利用虛功原理求約束力

剛體系統(tǒng)的虛功原理是指：剛體體系在任意平衡力系作用下，體系上所有主動力在任一與約束條件相符合的無限小剛體位移上所做的虛功總和恒等于零，其特點是用幾何方法求解靜力學問題?，F(xiàn)舉例如下。

如圖5靜定多跨梁，試用虛功原理求支座D處的約束力。

圖5

解：①將力偶還原為兩個集中力，如圖6，A和E處的兩個大小為1KN集中力。

圖6

②解除支座B代以約束力FB，并沿約束力正向產生單位線位移，如圖7為結構的位移圖。

圖7 解除后FB的位移圖

1.3 利用影響線求約束力

影響線是指在單位移動荷載作用下，結構的約束力或內力等物理量隨荷載位置變化的規(guī)律曲線[7]。影響線在力學中一個很重要的應用就是求約束力。其求解約束力的規(guī)律如下。

（2）均布荷載作用時：FA=q·A(q 為均布荷載的荷載集度；A為均布荷載所對應的FA影響線中的面積，其面積在基線上側為正，下側為負。)

（3）集中力偶作用時：先將力偶還原為兩個等值反向的集中力，然后按照集中荷載求解約束力的方法進行求解，注意集中力方向向下為正，向上為負。

例：利用影響線求出圖8所示梁中B處的約束力。

圖8

①首先還原力偶為兩個集中力表示，如圖9所示兩個大小為6kN的集中力。

圖9

②畫出FB的影響線，如圖10所示。

圖10 FB的影響線

③利用影響線中荷載對應數(shù)值列出表達式為：

1.4 利用力法求超靜定結構的約束力

力法是以多余未知力作為基本未知量，解除多余約束代以約束力得基本體系，并根據(jù)基本體系與原體系變形協(xié)調的位移條件求解基本未知量的方法[8]?，F(xiàn)舉例如下。

例：求圖11示超靜定梁C處的約束力。

圖11

解：①解除C處的支座，代以約束力FC，得基本體系，如圖12。

圖12

②寫力法的基本方程：δ11FC+△1p=0

③作 Mp圖和圖求 δ11和△1p

Mp圖為實際荷載作用下基本體系的彎矩圖，如圖13；圖為當FC=1時單位荷載作用下基本體系的彎矩圖，如圖 14。δ11通過圖的自乘來求解，△1p通過 Mp圖和圖相乘得到。

圖13

圖14

④將δ11和△1p帶入力法的基本方程求出FC。

力法是求解超靜定結構約束力的基本方法。它解除了多余約束把超靜定結構轉化成靜定結構，利用位移條件建立方程求出約束力。

2.結論

求解約束力是三大力學中一個基本而重要的知識點，文中通過靜力平衡方程、虛功原理以及影響線求解了靜定結構的約束力。靜力平衡方程法是基本方法，通俗易掌握，學生需正確列出平衡方程進行求解；虛功原理法從功的角度列虛功方程進行求解，難點是找出各量的幾何關系；利用影響線求約束力，形象直觀，難點是需首先正確畫出結構的影響線。力法是一種求解超靜定結構約束力的方法，它將超靜定結構轉化為靜定結構進行求解，是一種行之有效的好方法。

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