李 梟 何 昕 曹雪梅

直齒錐齒輪的齒面為三維曲面，齒面修形以及機床加工中的誤差都會影響到齒輪副的嚙合性能。加工后直齒錐齒輪的齒面受到機床精度和熱處理中輪齒變形等因素的影響，與理論設計齒面存在誤差。由于實際齒面進行嚙合性能分析是齒面制造數(shù)字化的關鍵環(huán)節(jié)，為此，國內外學者對此進行研究并取得了一定進展。文獻[1]對錐齒輪仿真加工后的齒面進行NURBS曲面重構技術進行了探討；文獻[2]研究了準雙曲面齒輪齒面參數(shù)化表示的方法；文獻[3]提出了數(shù)字化齒面生成的方法。但是上述文獻僅研究了理論齒面數(shù)字化重構的方法，而設計階段所設計的理論齒面和實際加工出的齒面是有偏差的，在此基礎上后續(xù)進行的分析也是有一定誤差的，無法精確地得到實際齒面性能。

為分析加工后的齒面性能，本文通過實測齒面建立精確的齒輪三維有限元網(wǎng)格模型，在此基礎上進行相應的齒輪有限元靜力學分析，對分析直齒錐齒輪的齒面性能具有一定意義。

1.實測齒面擬合及曲率分析

1.1 實測齒面參數(shù)化擬合

通過在齒輪檢測中心測量得到直齒錐齒輪的齒面點坐標值，根據(jù)實測點，以齒面擬合數(shù)學理論為基礎，通過曲面重構技術構建錐齒輪的數(shù)字化齒面[4-5]。當曲面足夠光滑，可以由多項式函數(shù)來近似表示，隨著階數(shù)提高，函數(shù)擬合值與實際值的偏差趨于零。測得曲面上一組離散點（xi，yi，zi），i=1，2…，n 的坐標， 可通過多項式來擬合該曲面，以三階多項式為例，建立多項式過程如下。

取曲面方程為 z=f(x，y)，令 li=（xi，yi），li為曲面 上 測 得 點 坐 標 ，b（j），(l)為 擬 合 多 項 式 空 間 的 一組基。

則有：

式中 a1，a2，…，an為待定系數(shù)，擬合曲面是由取樣值和實際的坐標值的差值平方和最小原理得到，這種方法不能保證每點都在擬合曲面上，假設計算偏差平方和為E(f)，得：

要使E(f)達到最小，必須滿足：

根據(jù)高斯消元法求得待定系數(shù)ai，可得到參數(shù)化擬合方程。

1.2 數(shù)值擬合曲面二階拓撲結構分析

為了考量所設計的理論齒面在任意一點處的彎曲程度和彎曲方向，需要計算齒面的法曲率。齒輪齒面上任意一點有多個切方向，所以在任意方向上的彎曲型是不能量化的。本文通過Euler公式計算求解齒輪齒面上任意一點沿各個方向法曲率的變化規(guī)律，進而得到齒面法曲率的最大值和最小值，這個數(shù)值為齒面的主曲率。通過計算出的主曲率求出齒面的高斯曲率和平均曲率，得到齒面的拓撲結構。在參數(shù)化的齒輪齒面上任意齒面點P在任意方向(d)=du∶dv上法曲率kn為：

式(6)中，E，F(xiàn)，G 和 L，M，N 分別為曲面 S 的第一類基本變量和第二類基本變量。為計算齒面的法曲率kn的最值，設則有：

式(7)轉化為求解二次分式的極值，有：

k1，k2（k1≤k2）是式(8)的兩個根 ，由韋達定理得：

將 kn=k1，k2代入(7)，解出兩個根 λ2，λ1，得到達到最大值、最小值的方向。k1，k2之間的乘積為齒面在這一點的高斯曲率K：k=k1k2，高斯曲率的作用是描述齒面在任意一點處的彎曲程度。為了描述齒面在任意一點的平均彎曲強度，引入平均曲率H表達齒面在任意一點處平均彎曲程度。

由式(9)、(10)可以求解其值。

2.算例

2.1 齒面檢測與五階數(shù)字化重構

通過以上理論基礎，進行直齒錐齒輪實測齒面實驗，在齒輪檢測中心實測直齒錐齒輪副的齒面，直齒錐齒輪副參數(shù)如表1示。

表1 直齒錐齒輪參數(shù)

本文使用德國克林貝爾P65齒輪檢測中心對直齒錐齒輪副進行采樣分析，以得到加工后實際齒面點坐標值。這種實測齒面考慮了加工誤差及熱處理變形等因素影響下產生的誤差影響，更能實際的反映出齒面在工作中的性能。如圖1所示齒輪檢測中心[6-7]。

圖1 齒輪檢測中心

2.2 齒面擬合及擬合誤差

對得到的實測齒面點進行齒面擬合，考慮到齒面擬合過程中會產生誤差，所以在投影到同一平面中對應的點不可能完全重合。利用FORTRAN軟件編程計算得到擬合誤差，通過擬合實驗可知：齒輪齒面擬合隨著擬合階數(shù)的增加，擬合精度也不斷提高，如表2所示。在輪齒接觸分析滾檢齒面觀察其接觸區(qū)域時，齒面上涂抹的紅丹粉厚度為6.35μm，本文擬合階數(shù)達到五階時，最大誤差量為0.3μm，最大誤差滿足齒輪齒面研究精度要求，所以用五階多項式進行齒輪齒面的擬合[8-9]。

表2 擬合誤差

通過實驗室齒輪檢測中心采樣齒面上45個離散點坐標，采用五階多項式進行齒輪齒面的擬合。

擬合方程中的各階系數(shù)如表3示。

表3 各階系數(shù)

2.3 映射網(wǎng)格劃分

在齒面擬合過程中，標記點為節(jié)錐中點，這個點不是在測量齒厚的位置，為了保證齒厚，通過求解方程確保節(jié)錐線上中點錐距上y坐標為“0”，這樣測量齒厚兩個齒面節(jié)錐線上中點錐距處的點重合，再按照齒厚寬度旋轉出輪齒厚度，如圖2示。

圖2 輪齒齒厚控制圖

通過建立的齒厚控制圖，可知通過擬合齒面旋轉φ度后兩齒面節(jié)錐線上中點錐距處點重合，旋轉π/z角后生成輪齒齒厚。

2.4 有限元模型建立

根據(jù)建立的齒面擬合方程，依托旋轉投影原理，對數(shù)字化齒面進行網(wǎng)格劃分，構建精確的支持錐齒輪有限元模型[10-12]。單元類型選擇六面體八節(jié)點單元，如圖3所示，單元屬性如表4示。

圖3 實體單元SOLID45

表4 齒輪有限元單元屬性

將節(jié)點和單元信息導入到ANSYS中進行齒輪齒面應力分析[13]，如圖4所示，直齒錐齒輪大輪全齒有限元模型。

圖4 直齒錐齒輪有限元模型

考慮到整個齒輪在ANSYS中導入節(jié)點過多，彎曲應力求解花費時間過長，并且在實際嚙合過程中參與嚙合的輪齒非常少，可以用邊界條件約束來替代[14]。因此本次網(wǎng)格劃分只選用三個齒進行受力分析，并且簡化網(wǎng)格為沿著齒寬取9個節(jié)點。如圖5所示單齒有限元模型。

圖5 單齒有限元模型

將直齒錐齒輪有限元模型面和其對稱面、齒輪底面上的每一個節(jié)點限制6個自由度固定，確保齒輪完全固定。

2.5 載荷施加

齒輪在工作時，會在輪齒齒根位置產生齒根彎曲應力，在單對齒進入嚙合時，在輪齒結合點處于單對齒嚙合區(qū)最高點時，齒根所受到的彎曲應力最大。為了簡化計算，便于在輪齒上施加載荷計算齒面應力，本文將載荷作用在輪齒的齒頂[15]。如圖6所示為在三齒模型上的加載簡圖，載荷方向沿著齒頂圓法向壓力角方向。

圖6 加載簡圖

2.6 結果分析

對加載模型在ANSYS中求解，得到直齒錐齒輪大輪三齒模型的應力變形圖，如圖7所示。

圖7 應力變形圖

從應力變形圖中可以看出：輪齒有彎曲變形，在齒頂受力處等效應力最大，齒根處產生彎曲變形，齒根彎曲應力強度僅次于齒頂受力處。

3.結論

（1）對實測齒面點的擬合，擬合階數(shù)越高，擬合曲面的誤差就越小，精度越高，五階擬合的精度滿足齒輪研究的要求。

（2）對數(shù)字化齒面進行網(wǎng)格劃分，構建精確的有限元模型。將節(jié)點和單元信息導入到ANSYS中進行齒面應力分析。這種針對實測齒面的力學分析考慮了加工誤差及熱處理變形帶來的齒面誤差，對指導實際加工具有重要的意義。

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