葛淑梅

（焦作大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)系，河南 焦作 454003）

對(duì)于連續(xù)的奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上二重積分的簡(jiǎn)化計(jì)算早有討論，但當(dāng)函數(shù)不具備奇偶性或不考慮函數(shù)的奇偶性，遇到對(duì)稱區(qū)域上的二重積分時(shí)，有沒有較好的計(jì)算方法呢？這里我們由一元連續(xù)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上定積分的一種計(jì)算方法，類推出二元連續(xù)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上二重積分計(jì)算的一種方法，使用一般方法難于計(jì)算（或計(jì)算量較大）的二重積分得以簡(jiǎn)化計(jì)算。

對(duì)稱區(qū)間上定積分的計(jì)算有下面的命題成立。

若 f(x)是定義在區(qū)間[-a，a]上的連續(xù)函數(shù)，則有下式成立。

此式是高等數(shù)學(xué)在討論對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分計(jì)算時(shí)證明成立的，它的成立表示一元連續(xù)函數(shù)f(x)在關(guān)于y軸對(duì)稱區(qū)間上的定積分等于f(x)+f(-x)在一半?yún)^(qū)間上的定積分。借助該式可以使一些定積分的計(jì)算化難為易，化繁為簡(jiǎn)。

解：注意到積分區(qū)間的對(duì)稱性，由（1）式可得

由此例可見，被積函數(shù)不具備奇偶性，直接計(jì)算又相當(dāng)困難，但借助于（1）式轉(zhuǎn)換后被積函數(shù)就變得很容易積分了，可見此方法運(yùn)用得好，能起到簡(jiǎn)化計(jì)算的重要作用。那么，計(jì)算二重積分時(shí)，若積分區(qū)域具有某種對(duì)稱性，是否也有相應(yīng)的結(jié)論成立呢？請(qǐng)看下面的分析討論。

(1)設(shè) D 是關(guān)于 y 軸的對(duì)稱區(qū)域，f（x，y)為 D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D被y軸分割所得的一半?yún)^(qū)域，習(xí)慣將D1視為y軸右側(cè)區(qū)域，即x≥0部分。

因?yàn)榇藭r(shí)區(qū)域D用不等式組可表示為

顯然區(qū)域D是關(guān)于y軸對(duì)稱的區(qū)域，由（2）式可得

同理，我們可以得出二重積分在對(duì)稱區(qū)域上計(jì)算的一系列結(jié)論。

（2）設(shè) D 是關(guān)于 x 軸的對(duì)稱區(qū)域，f(x，y)為 D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D被x軸分割所得的一半?yún)^(qū)域，習(xí)慣將D1視為x軸上側(cè)區(qū)域，即y≥0部分。

區(qū)域D是關(guān)于x軸對(duì)稱的區(qū)域，由（3）式可得

（3）設(shè) D 是關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱區(qū)域，f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的一半?yún)^(qū)域。

解：區(qū)域D1

區(qū)域D2

D是D1與D2的和，且D1與D2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，由（4）式可得

（4）設(shè)D是既關(guān)于x軸同時(shí)又關(guān)于y軸對(duì)稱的區(qū)域，f(x，y)為 D 上的連續(xù)函數(shù)，則

其中 D1是D被x軸、y軸分割所得的四分之一區(qū)域，習(xí)慣將D1視為第一象限的區(qū)域，即x≥0，y≥0部分

（5）設(shè) D是關(guān)于直線 y=x的對(duì)稱區(qū)域，f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D關(guān)于直線y=x對(duì)稱的一半?yún)^(qū)域

顯然D是關(guān)于直y=x對(duì)稱的區(qū)域，所以由（6）式可得

由以上討論可知，對(duì)稱區(qū)域上二重積分的計(jì)算，即使二元連續(xù)函數(shù) f(x，y)不是關(guān)于 x和 y（或 x和y）的奇或偶函數(shù)，也有較簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，并且包含了具有奇偶性的函數(shù)對(duì)稱區(qū)域上二重積分的簡(jiǎn)化算法。比如當(dāng)f(x，y)是關(guān)于x的奇函數(shù)時(shí)，即 f(-x，y)=-f(x，y)時(shí)，當(dāng)積分區(qū)域 D 是關(guān)于 y軸的對(duì)稱區(qū)域時(shí)，代入（2）式同樣可得成立。所以應(yīng)用本文給出的方法計(jì)算二重積分時(shí)，無需考慮二元連續(xù)函數(shù)的奇偶性，只要關(guān)注積分區(qū)域的對(duì)稱性就可以了。當(dāng)然，不是遇到所有對(duì)稱區(qū)域上的二重積分計(jì)算時(shí)，都可以不加思索地盲目應(yīng)用這里的計(jì)算方法。大家從以上例題可以看出，本文的方法主要起到了化簡(jiǎn)被積函數(shù)的作用，即通過函數(shù)相加計(jì)算后，使得被積函數(shù)更容易積分了，才能起到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。所以遇到對(duì)稱區(qū)域上的二重積分計(jì)算時(shí)，先觀察分析一下，如果此法把被積函數(shù)變得更難于積分了，該法就不可取?？傊鲜龇椒☉?yīng)用得好，對(duì)于對(duì)稱區(qū)域上二重積分的計(jì)算就會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的重要作用，大大提高計(jì)算的速度和正確率。

[1]薛利敏.高等數(shù)學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016:124.