☉遼寧省沈陽市第四中學 孫玉才

若題設出現與導數有關的不等式，或題設給出“雙變量”不等式恒成立，則往往可通過構造函數，借助導數知識獲得簡捷、明了的解答.請看以下歸類解析.

一、考慮移項作差，構造函數

評注：本題構造函數之后，需要先利用導數研究函數的單調性，再利用所得函數的單調性求解不等式.

變式訓練：已知函數f（x）的定義域為R，滿足f（-2）=2018，且對任意x∈R，都有f′（x）＞2x成立，則不等式f（x）＞x2+2014的解集為________.

簡解：令函數F（x）=f（x）-x2-2014，則F′（x）=f′（x）-2x＞0，所以F（x）在R上為增函數.又可求得F（-2）=0，所以f（x）＞x2+2014?F（x）＞0=F（-2）?x＞-2.故所求不等式的解集為（-2，+∞）.

二、直接考慮導數運算法則，構造函數

故所求不等式的解集為（1，+∞）.

評注：本題求解的關鍵是根據不等式f（x）＞xf′（x），考慮導數的運算法則，靈活構造函數；構造函數之后，應充分利用函數的性質求解目標問題.

變式訓練：已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf′（x）+f（x）≤0.對任意正數a，b，若a＜b，則必有（ ）.

（A）af（b）≤bf（a）

（B）bf（a）≤af（b）

（C）af（a）≤f（b）

（D）bf（b）≤f（a）

簡解：令函數y=xf（x），x∈（0，+∞）.由于xf′（x）+f（x）≤0，故函數y=xf（x）單調遞減或為常數函數.所以，必有af（a）≥bf（b）.又根據f（x）≥0，且0＜a＜b，可得af（a）≤bf（a），af（b）≤bf（b）.綜上，af（b）≤bf（b）≤af（a）≤bf（a）.故選A.

三、結合特殊的指數函數y=ex，考慮導數運算法則，構造函數

例3已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）＞f′（x），則（）.

（A）f（2）＞e2·f（0），f（100）＞e100·f（0）

（B）f（2）＜e2·f（0），f（100）＞e100·f（0）

（C）f（2）＞e2·f（0），f（100）＜e100·f（0）

（D）f（2）＜e2·f（0），f（100）＜e100·f（0）

解析：因為（fx）＞f（′x），考慮特殊的指數函數y=ex，可構造函數，則，所以函數F（x）為（-∞，+∞）上的減函數.

變式訓練：設函數（fx）的定義域為R，且對任意x∈R，f（′x）+（fx）＞0，則對任意正數a，必有（ ）.

簡解：令函數F（x）=exf（x），則F′（x）=ex［f′（x）+f（x）］＞0，故F（x）在R上單調遞增.又a＞0，所以F（a）＞F（0），即eaf（a）＞e0f（0），所以.故選C.

四、考慮外在結構特征，構造函數

例4設函數f（x）=x3-11x，若對任意a，b∈（2m，m+1），且b＞a，有不等式恒成立，則實數m的取值范圍是_________.

構造函數h（x）=f（x）-x=x3-12x，

則h（x）在（2m，m+1）上單調遞減.

又由h′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）知，

函數h（x）的單調遞減區(qū)間為（-2，2）.

故實數m的取值范圍是［-1，1）.

評注：本題切入點的探求具有一定的隱蔽性，需要靈活變形.構造函數之后，要注意借助定義、導數均可分析函數的單調性，并活用之解題.

綜上，構造函數是一種創(chuàng)新思維，對能力的要求較高，需要我們在解題實踐中不斷積累經驗，且學且悟且應用.