☉浙江省湖州市第二中學(xué) 羅展華

☉浙江省湖州市第二中學(xué) 沈 恒

眾所周知，復(fù)習(xí)教學(xué)相比新知教學(xué)要更難演繹，究其原因首先是復(fù)習(xí)教學(xué)知識點多且散亂、不宜找到重點；其次復(fù)習(xí)教學(xué)如何調(diào)動學(xué)生的積極性、開發(fā)學(xué)生的思維是難點；最后作為公開課，需要有一定的示范性和前瞻性，既鑄造了自身復(fù)習(xí)教學(xué)特色的烙印，也給學(xué)生留下了新的思考、新的啟發(fā).筆者在一線教學(xué)多年，也對復(fù)習(xí)課教學(xué)情有獨鐘.近期筆者在本地區(qū)給年輕教師示范一堂數(shù)列復(fù)習(xí)課，授課之余筆者也頗有些想法與讀者交流.

筆者以為，學(xué)習(xí)和習(xí)武是相通的，試想：一代宗師都是從“扎馬步”開始，學(xué)習(xí)“基本招式”；在不斷的學(xué)習(xí)中“改進招式”；在不斷的改進中青出于藍而勝于藍的“創(chuàng)造招式”；最后達到參悟“武學(xué)意境”的頂峰.我們的教學(xué)何嘗不是如此，從全新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心素養(yǎng)來看，掌握基本知識——善用基本技能——創(chuàng)造改編問題——參悟知識，不恰恰是如此嗎？筆者將習(xí)武的認知與數(shù)列復(fù)習(xí)教學(xué)結(jié)合起來，較為創(chuàng)新的開設(shè)數(shù)列求和復(fù)習(xí)課，從某一個點進行深入和發(fā)散，將學(xué)科素養(yǎng)呈現(xiàn)其中，現(xiàn)將課堂教學(xué)實錄與大家分享，請讀者批評指正.

一、教學(xué)實錄

師：同學(xué)們大家好.和同學(xué)們一樣，在成長道路上我拜讀過很多武俠名著，書中習(xí)武之人都有“基本招式”——“改進招式”——“創(chuàng)造招式”——“武學(xué)意境”這樣的習(xí)武歷程，那么同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有這樣的感悟心得吧？

生1：我想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該也是如此，首先應(yīng)該是扎實的基本功，進而是解決新的問題，再次是思考創(chuàng)造一些新的問題，最后思考從這樣的學(xué)習(xí)過程中得到的一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗和總結(jié).

設(shè)計意圖：拉近學(xué)生之間的心理距離，從學(xué)生感興趣的認知和學(xué)情出發(fā)，設(shè)計“習(xí)武”與“學(xué)習(xí)”的感悟?qū)Ρ?，通過回顧以往數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中如何形成知識的螺旋式上升，給課的走勢定下基本基調(diào).

1.基本招式

條件：已知數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足：an=2n，bn=3n-1（n∈N*）.

問題1：記｛an｝前n項和為An，記｛bn｝前n項和為Bn，求An和Bn；

問題3：若cn=log3bn+1，求｛cn｝前n項和Tn；

問題4：若cn=a·nbn，求｛cn｝前n項和Tn；

師：請同學(xué)們思考，上述問題如何解決？

生2：問題1是最基本的等差、等比數(shù)列求和，運用基本公式法就可以！

生4：問題3代入化簡，可以得到cn=log3bn+1=9n-1+n，典型的分組求和！

生5：問題4cn=a·nbn是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的典型模型，應(yīng)該使用錯位相減解決！

生6：觀察問題5的結(jié)論，讓我想起了學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時所提到的S=1+2+…+100，高斯用倒序相加的想法輕松地解決了問題.所以我從（fn）+（f1-n）這一角度入手思考，通過簡單的運算，我發(fā)現(xiàn)只要自變量之和為這樣問題就輕松解決了！

師：同學(xué)們說得很好！看來大家對數(shù)列求和的基本招式掌握得都比較扎實，我們用二十個字總結(jié)數(shù)列求和的基本招式：“公式求和+裂項相消+分組求和+錯位相減+倒序相加”，這是數(shù)列求和最基本的解決招式！特別是問題5，同學(xué)們用類比的數(shù)學(xué)思想將倒序相加很好的表述了，我們進一步在基本招式的基礎(chǔ)上研究改進招式！

設(shè)計意圖：首先問題的背景都是同一總條件，這樣的設(shè)計好處在于節(jié)省了復(fù)習(xí)教學(xué)在審查題意上的時間、提高教學(xué)效率；其次，數(shù)列求和并不是采用一一羅列知識點的傳統(tǒng)復(fù)習(xí)方式，而是以問題為載體的復(fù)習(xí)提煉，具備知識點與問題情境的融合統(tǒng)一；再者復(fù)習(xí)教學(xué)從一開始就積極引導(dǎo)學(xué)生積極參與，讓課堂成為教師主設(shè)計、學(xué)生主參與的學(xué)習(xí)陣地.

2.改進招式

師：在基本招式的問題上，我們先來看看老師給出的改進招式：

問題6：若cn=|10-an|，求｛cn｝前n項和Tn.

師：請同學(xué)們想一想，在等差數(shù)列通項上帶有絕對值，如何借助基本招式來破解呢？

生7：我覺得首先必須借助分類討論，將問題分解成兩部分解決.不妨記Pn=10-2n，記｛Pn｝前n項和為Sn，則易得Sn=9n-n2. 當(dāng)1≤n≤5時，Tn=Sn=9n-n2，當(dāng)n≥6時，Tn=2S5-Sn=n2-9n+40，因此

設(shè)計意圖：本題的改進緣自2013年浙江高考文科數(shù)列解答題，基于絕對值等差數(shù)列的基本研究方式需要依仗分類討論的數(shù)學(xué)思想，將問題在基本等差數(shù)列的基礎(chǔ)上進行了加強，既感受了這是基本招式上的深化，也深刻體會了高考問題緣自基本試題不經(jīng)意的轉(zhuǎn)變.

問題7：將｛an｝、｛bn｝中各項按a1、b1、a2、b2、a3、b3…排成一個新數(shù)列｛cn｝，求cn及｛cn｝前n項和Tn.

師：將問題按照穿插進行改進，請大家思考如何求解cn的通項公式及其前n項的和？

生8：a1、b1、a2、b2、a3、b3…依次為2、30、4、31、6、32…，通過研究數(shù)列各項的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)是如何書寫嚴(yán)密的求解過程還沒想好.

師：從項數(shù)角度思考，我們發(fā)現(xiàn)an位于數(shù)列cn中的奇數(shù)位置，其每一項在cn中位置分別為第1、3、5…，an中的第n個數(shù)恰為cn中的第項，因此當(dāng)n為奇數(shù)時，cn=2+；bn位于數(shù)列cn中的偶數(shù)位置，其每一項在cn中位置分別為第2、4、6…，bn中的第n個數(shù)恰為cn中的第項，因此當(dāng)n為偶數(shù)時進一步考慮｛cn｝前n項和Tn.

生9：需要分類，可以先求解n為偶數(shù)時｛cn｝前n項和Tn，考慮到n為偶數(shù)時，cn中的項來自an和bn中的項各占一半，因此當(dāng)n為奇數(shù)時，我們可以借助已經(jīng)得到的偶數(shù)項的結(jié)論進行求解，，所以

設(shè)計意圖：將問題進行穿插融合，不難發(fā)現(xiàn)簡單的等比、等差數(shù)列也可以產(chǎn)生大問題，從項數(shù)角度進行分析，特別是關(guān)注原數(shù)列在新數(shù)列中所處的位置是解決問題的關(guān)鍵，也是學(xué)生重要的易錯點.從基本招式進行的項數(shù)角度的改進，從學(xué)生最懼怕數(shù)列的視角——（無限的）項數(shù)突破，進而提高復(fù)習(xí)針對性.

設(shè)計意圖：本題的設(shè)計是為教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)向做準(zhǔn)備和鋪墊的，筆者在數(shù)列求和的復(fù)習(xí)中進一步引入了與之相關(guān)的最值問題求解，進一步拓展了“改進招式”，以期待學(xué)生在“創(chuàng)造招式”能有更為廣泛的思路.

3.創(chuàng)造招式

給學(xué)生一定的探究時間，請學(xué)生板演其“創(chuàng)造的招式”，下面的問題全部出自學(xué)生的命制：

學(xué)生創(chuàng)造招式1：若cn=3an+2bn，求｛cn｝前n項和Tn.

學(xué)生創(chuàng)造招式2：若cn=a2n+2bn+1，求｛cn｝前n項和Tn.

學(xué)生創(chuàng)造招式4：若2an=Sn·Sn+1，求Sn.

學(xué)生創(chuàng)造招式5：若cn=abn，求｛cn｝前n項和Tn.

這是五位學(xué)生在課堂中自己創(chuàng)編的問題，筆者驚嘆學(xué)生在有限的時間內(nèi)學(xué)生的創(chuàng)造力，與學(xué)生一起對學(xué)生創(chuàng)編的問題簡單做出了剖析：

學(xué)生自我剖析1：與問題3類似，利用分組求和解決.

學(xué)生自我剖析3：與問題4類似，利用錯位相減解決.

學(xué)生自我剖析4：這是學(xué)生命制的一道很有想法的、研究數(shù)列通項的問題，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在進行問題命制的時候，首先其通過特殊值的方式研究數(shù)列Sn前幾項，進而通過隔項成等比的方式進行求解.

學(xué)生自我剖析5：學(xué)生較有創(chuàng)意的將數(shù)列下標(biāo)引入到通項公式中，進而從兩者結(jié)合的角度進行了分組求和.

設(shè)計意圖：從學(xué)生的視角體會哪些數(shù)列求和以及相關(guān)問題是學(xué)生比較關(guān)注的，讓所有學(xué)生參與的創(chuàng)編以及自主解決這些創(chuàng)編，真正做到了在課堂教學(xué)中“以學(xué)生為主體”的教學(xué)設(shè)計，從而開發(fā)學(xué)生如何將數(shù)學(xué)知識自我整合的思維和能力，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)運用的綜合能力.

4.學(xué)習(xí)意境

限于課堂教學(xué)時間有限，筆者給出了教師層面對于問題的進一步開放創(chuàng)編，供學(xué)生課后進一步對數(shù)列相關(guān)知識在綜合性問題中的整合性考查展開研究：

問題14：若cn=an·bn，問｛cn｝中有無連續(xù)三項成等比？請說明理由（.由cn-·1cn+1=c2n顯然不成立，故不存在）

問題15：若cn=a2bn-1，問b·kbk+（1k∈N*）是否為｛c2n｝中的項？請說明理由（.b·kbk+1=32k-1為奇數(shù)，而cn=4·3n-1-2為偶數(shù)，故不可能為｛cn｝中的項.）

問題16：將數(shù)列｛bn｝中的第三項、第六項、第九項…劃去，得到一個新數(shù)列｛cn｝，求｛cn｝前2n項的和T2n.

問題17：若，求｛cn｝前n項和Tn的取值范圍.（由，由裂項相消得結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知

設(shè)計意圖：在學(xué)生親身感受了問題的創(chuàng)編之后，教師給出了各種具備聯(lián)系其他綜合性知識的問題儲備，尤其以問題9、10、12、13從函數(shù)視角研究數(shù)列，是體現(xiàn)數(shù)列作為具備函數(shù)特征最好的本質(zhì)體現(xiàn).從這一系列問題的給出，我們不難發(fā)現(xiàn)，從數(shù)列基本求和出發(fā)（基本招式）——絕對值數(shù)列與奇偶項數(shù)列求和的研究（改進招式）——學(xué)生創(chuàng)編問題（創(chuàng)造招式）——數(shù)列求和演變綜合性問題思考（學(xué)習(xí)意境），螺旋式上升的體現(xiàn)了課堂教學(xué)設(shè)計的主體與發(fā)散，有效的提高了數(shù)列求和復(fù)習(xí)的深度和廣度.

師：讓我們對數(shù)列求和進行課堂小結(jié).

生11：回顧了求和的基本知識，以及含有絕對值的數(shù)列求和以及奇偶項的分類求和等等.

師：從知識層面來說，同學(xué)們總結(jié)的非常好.我們用下面的圖示結(jié)構(gòu)展示今天所學(xué)：

設(shè)計意圖：參透學(xué)習(xí)的境界，正是將武俠小說中“如何習(xí)武”與數(shù)列學(xué)習(xí)中“如何復(fù)習(xí)”緊密的連線，層層遞進、螺旋上升，既有濃郁的文化氣息，又不失數(shù)學(xué)形式化的味道，兩者具備共性的本質(zhì)聯(lián)系讓課堂教學(xué)達到頂峰.從學(xué)科素養(yǎng)的角度來說，學(xué)習(xí)本課的主要目的，在于管窺學(xué)習(xí)的一個過程，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的一類方式是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，以此滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)科素養(yǎng).

二、教學(xué)反思

1.生本意識，立足可動

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣，力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”可以這么說，沒有學(xué)生參與的課堂教學(xué)是低效的、無能的，而學(xué)生能否真正參與進來，立足兩點：其一教師肯不肯在教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)為學(xué)生設(shè)計探究時間，合理的設(shè)計可以保障探究的有效性.其二課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中問題選擇的合理性，從心理學(xué)角度來說，適合學(xué)情的問題設(shè)計是學(xué)生積極參與探究的關(guān)鍵.

本課筆者為學(xué)生的“動”設(shè)計了兩個平臺.其一，在“基本招式”環(huán)節(jié)，通過問題設(shè)計、學(xué)生自主回顧求和基本方法為整個課堂定下積極參與、主動探求的基調(diào).其二，在問題創(chuàng)編環(huán)節(jié)，發(fā)揮學(xué)生無限創(chuàng)造力，感同身受的體會熱點問題考查就在我們身邊，只要積極思考、發(fā)展思維品質(zhì)，真正地做到課堂屬于學(xué)生、問題來自自我思考，恰如愛因斯坦說的：提出一個問題往往比解決一個問題更重要！

2.建立觀念，滲透文化

借助走遍大江南北的中華武俠文化，本課合理地整合了武俠精神和學(xué)生學(xué)情，將武俠文化與數(shù)學(xué)教學(xué)進行了有效的融合，通過問題研究的不斷提高、螺旋上升，促進學(xué)生復(fù)習(xí)視角的延伸和知識整合角度的思考，既建立了如何讓學(xué)習(xí)不斷進步的良好觀念，也感受了蘊含在武俠小說中的人生之道.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.”數(shù)學(xué)之美，低端欣賞在于視頻、圖片等“美觀”層次；數(shù)學(xué)美的“高端”欣賞在于和人文意境的溝通，本課融入武俠中的“習(xí)武”悟性，更多屬于意境的溝通與升華，不斷在向?qū)W生滲透人生感悟、讓學(xué)生懂得欣賞數(shù)學(xué)中的生活哲理，用數(shù)學(xué)的眼光來感受生活.

3.注重細節(jié)，精益求精

課后筆者也對細節(jié)進行了全面的剖析與點評，認為在某些方面存在改進的空間：

（1）問題8的設(shè)計是敗筆，本課在問題6、7后達到課堂教學(xué)的頂峰，若此時讓學(xué)生介入試題命制更能讓課堂達到思維的高峰，此處的問題8畫蛇添足，反而降低了課堂的精彩程度.

（2）問題7的教師引導(dǎo)過程稍顯抽象，特別是如何闡述奇偶項在原數(shù)列中所處的位置，教師的引導(dǎo)、分解還需要細化：若能以換元思想介入，如則教學(xué)過程顯得更為完美.

（3）問題8、問題17的表述還需要進一步完善，考慮到數(shù)列中的項是不連續(xù)的，因此“求｛cn｝前n項和Tn的取值范圍”的表述不夠精準(zhǔn)，改為“求證”更為恰當(dāng).

（4）點評環(huán)節(jié)設(shè)計不足，既然學(xué)生積極參與問題的編制，在后期學(xué)生解決、點評環(huán)節(jié)更需要學(xué)生的積極參與，可以設(shè)計諸如：“你最喜歡哪些同學(xué)創(chuàng)編的問題？”“為什么呢？”等等，讓參與過程做到更為自然、讓學(xué)生的交流更水到渠成.

4.反思感悟，凸顯真經(jīng)

本課所采用的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計以問題條件共背景的形態(tài)展開、以多達十七個問題串的形式給出（部分問題課后繼續(xù)探究），采用探究和講授結(jié)合的教學(xué)方式，在課堂教學(xué)過程中，頗有“百家爭鳴”的味道！于大而已，有春秋戰(zhàn)國的百家爭鳴，于小而已，有今天好聲音舞臺上的歌者呈現(xiàn)不同曲風(fēng)的嘗試，都在做一些多元化的探索.筆者認為，若將本課用連堂課的模式進行，效果會更佳！也可以采用陶行知先生提出的“小先生制”做一次探索嘗試，讓復(fù)習(xí)課教學(xué)呈現(xiàn)多元化的嘗試和思考.

多年的教學(xué)經(jīng)驗告誡筆者：課堂教學(xué)不僅在于應(yīng)試，更要有高一層次的境界追求，這也是教師專業(yè)化發(fā)展對于教師課堂教學(xué)水平、教學(xué)藝術(shù)的一種提煉，讓課堂既要腳踏實地、也需仰望星空，這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)才讓學(xué)生的思維有“悠然見南山”的成長！因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中多嘗試一些不同教學(xué)理念的滲透、文化的融合，將其運用到教學(xué)實踐中，讓復(fù)習(xí)課關(guān)注高效、讓探究講求真實、讓教法選擇自然、讓復(fù)習(xí)課堂注重深度和廣度，使課堂教學(xué)能夠達到一種自然而不做作的教學(xué)意境.

1.羅展華.東臨碣石以觀滄?！淮握f題活動的嘗試與感受［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（9.

2.吳成海.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計應(yīng)著力于思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（8）.

3.沈恒.課堂教學(xué)行走在“兩極”之間［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（5）.