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        理解性學(xué)習(xí)理論下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)
        ——以“雙曲線”為例

        2018-03-12 09:00:11浙江省杭州市余杭中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年3期
        關(guān)鍵詞:定義經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)

        ☉浙江省杭州市余杭中學(xué) 楊 勁

        數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)一直以來都是教育研究的熱點(diǎn)問題.所謂數(shù)學(xué)理解,就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行有效的加工,并通過數(shù)學(xué)語言描述學(xué)習(xí)結(jié)果的過程;理解性學(xué)習(xí)就是建立在數(shù)學(xué)理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)過程,就是學(xué)習(xí)者運(yùn)用先前的知識(shí),在新的情境下進(jìn)行個(gè)體心智運(yùn)作和社會(huì)文化中介的交互的意義建構(gòu),并不斷獲得理解的探索和發(fā)展過程[1].從概念構(gòu)建的角度來看,概念本身又是理解學(xué)習(xí)的產(chǎn)物,是學(xué)生關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)觀念的濃縮.因此,理解性學(xué)習(xí)的理論對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義.下面筆者就以“雙曲線”為例,立足理解性學(xué)習(xí)的不同層次,談?wù)劺斫庑詫W(xué)習(xí)理論下的概念教學(xué).

        一、立足經(jīng)驗(yàn)性理解,展現(xiàn)概念“自然”的定義過程

        經(jīng)驗(yàn)性理解是指學(xué)習(xí)者基于自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的起始性理解.這里的“自身經(jīng)驗(yàn)”一方面指的是學(xué)習(xí)者對(duì)日常生活中的真實(shí)世界與客觀對(duì)象的一種感悟與認(rèn)識(shí),即生活經(jīng)驗(yàn);另一方面指的是學(xué)習(xí)者已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),比如,已有知識(shí)、思想方法體系.

        學(xué)習(xí)雙曲線之前,學(xué)生已經(jīng)具備了以下“自身經(jīng)驗(yàn)”,如下表所示:

        自身經(jīng)驗(yàn)生活經(jīng)驗(yàn) 學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)先前內(nèi)容圓①生活中的圓周運(yùn)動(dòng);②用圓規(guī)畫圓①用圓的幾何性質(zhì)刻畫圓的定義;②用坐標(biāo)法推導(dǎo)圓的方程;③圓的幾何要素:圓心與半徑橢圓①行星運(yùn)動(dòng)軌跡;②切割圓錐得到“橢圓”;③用“繩子”畫橢圓①用橢圓的幾何性質(zhì)刻畫橢圓的定義;②中心建系,用坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓的方程;③橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程化簡原則;④橢圓的幾何要素:焦點(diǎn)與長軸;⑤離心率決定橢圓的圓扁程度

        通過對(duì)“自身經(jīng)驗(yàn)”的分析,立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解,我們就可以向?qū)W生呈現(xiàn)雙曲線“自然”的定義過程,可以通過以下問題串進(jìn)行引導(dǎo)與啟發(fā).

        問題1:圓錐曲線有幾種,它們是怎樣得到的?

        意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧切割“圓錐模型”的場景,引發(fā)對(duì)三種曲線“同源性”的思考,即學(xué)習(xí)橢圓的過程可以移植到雙曲線中.

        問題2:橢圓是如何定義的,如何畫橢圓?

        意圖:通過回顧橢圓的定義過程,明確圓錐曲線定義的原理——用幾何性質(zhì)來刻畫曲線,而幾何性質(zhì)是通過“畫圖”的方式發(fā)現(xiàn)的,為雙曲線幾何性質(zhì)的提煉提供可以借鑒的路徑.

        問題3:橢圓的定義包含了哪些關(guān)鍵幾何要素?

        意圖:由于沒有能力直接“作”雙曲線,只能先分析橢圓的幾何要素,類比橢圓的定義方式,通過“改造”橢圓定義得到雙曲線定義.

        問題4:到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓,你能對(duì)這個(gè)定義進(jìn)行改造嗎?

        意圖:由“和”想到“差”是比較自然的思維過程,在這個(gè)猜想的基礎(chǔ)上,通過動(dòng)手操作或者幾何畫板演示,從而逐步發(fā)現(xiàn)雙曲線的幾何性質(zhì),進(jìn)而提煉雙曲線的定義.

        經(jīng)驗(yàn)化理解通常發(fā)生在學(xué)習(xí)的初始階段,它是一種低層次理解,它包含諸多的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)成分,往往具有模糊、易錯(cuò)的特點(diǎn),比如,上述設(shè)計(jì)中,“雙曲線”幾何性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過程中,不可否認(rèn),把“和”變成“差”存在著“運(yùn)氣”的成分,如果運(yùn)氣不好,就很難達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo),所以必須要把經(jīng)驗(yàn)性理解上升到形式化理解.

        二、立足形式化理解,構(gòu)建概念“系統(tǒng)”的獲得路徑

        形式化理解意味著學(xué)習(xí)者對(duì)自身知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的一種抽象性的整理、組織、概括與重新表征,能對(duì)數(shù)學(xué)的形式化符號(hào)與語言進(jìn)行簡明深刻的本質(zhì)化認(rèn)識(shí)[2].

        【操作驗(yàn)證1】旦德林雙球模型(圖1)

        圖1

        因?yàn)镻M與PF′分別與球面相切,切點(diǎn)分別是M與F′,所以PM=PF′,同理可得PQ=PF.

        則PF′-PF=PM-PQ=QM(定值).

        【操作驗(yàn)證2】折紙游戲

        第一步:在矩形的白紙上,畫一個(gè)圓,圓心記作F1.

        第二步:在圓F1外任取一定點(diǎn)F2.

        第三步:在圓F1上任取一點(diǎn)P1,然后將紙片對(duì)折,使得點(diǎn)P1與點(diǎn)F2重合,并且留下一條折痕,為了看清楚,可以把折痕畫出來(如圖2所示).

        圖2

        圖3

        第四步:再在圓F1上任取其他的點(diǎn),然后重復(fù)步驟三.這樣繼續(xù)下去,得到很多折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓,它們形成何種曲線.

        證明:如圖3所示,曲線上的點(diǎn)是由折痕和P1F1相交而得到的,不妨設(shè)為M.根據(jù)折紙?jiān)?,折痕其?shí)就是垂直平分線,可知|MF2|=|MP1|.所以|MF2|-|MF1|=|MP1|-|MF1|=R(圓的半徑),即動(dòng)點(diǎn)M滿足到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù),符合雙曲線的定義.

        意圖:通過動(dòng)手操作,一方面進(jìn)一步驗(yàn)證“猜想”的正確性,深化對(duì)雙曲線定義的形式化理解;另一方面,能夠系統(tǒng)地獲得對(duì)圓錐曲線定義的統(tǒng)一認(rèn)知,因?yàn)橥ㄟ^旦德林雙球模型、折紙游戲同樣可以得到橢圓與拋物線.

        從經(jīng)驗(yàn)性理解上升到形式化理解直至結(jié)構(gòu)化理解,學(xué)習(xí)者在理解的層級(jí)上已經(jīng)向前邁出了一大步,但形式化理解只局限于定義的本身,無法揭示定義的外延及與其他數(shù)學(xué)對(duì)象的聯(lián)系,因而其理解的程度在豐富性、關(guān)聯(lián)性與精細(xì)化方面都顯欠缺,所以還要把形式化理解上升到結(jié)構(gòu)化理解的層面.

        三、立足結(jié)構(gòu)化理解,揭示概念“豐富”的外延體系

        結(jié)構(gòu)化理解實(shí)質(zhì)上是一種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性理解,其著眼點(diǎn)是在一種知識(shí)的關(guān)系脈絡(luò)中把握相關(guān)知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì).數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯結(jié)構(gòu)很強(qiáng)的演繹體系,但這種邏輯結(jié)構(gòu)體系往往需要學(xué)習(xí)者自己去為其賦予意義,從而在掌握數(shù)學(xué)中大大小小的結(jié)構(gòu)的同時(shí),建立一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性理解[3].

        在此之前,學(xué)生對(duì)于“雙曲線”的認(rèn)知并非一片空白,事實(shí)上,反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線,學(xué)生不禁會(huì)提出這樣的疑問:反比例函數(shù)對(duì)應(yīng)的雙曲線與圓錐曲線對(duì)應(yīng)的雙曲線是否是同一類曲線,兩者存在著什么聯(lián)系.對(duì)于這個(gè)問題,我們可以從雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)分析中找到答案.

        從定義出發(fā)容易得到推論:以兩條相交直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線方程為(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=k(k≠0).反之,曲線方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=k(k≠0)表示為以直線方程A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線.

        (未完,)

        更為復(fù)雜的二次曲線x2+xy-2y2+3y-4=0?(x+2y-1)(x-y+1)=3,它表示以x+2y-1=0,x-y+1=0為漸近線的雙曲線.

        至此,學(xué)生“雙曲線”的認(rèn)知經(jīng)歷了從形到數(shù)、再從數(shù)到結(jié)構(gòu)的飛躍.

        對(duì)某一具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而言,所關(guān)涉的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜、越精細(xì),學(xué)習(xí)者對(duì)其本質(zhì)的理解亦是越深刻、越完善.正如布魯納所言:“每一門學(xué)科都有一個(gè)結(jié)構(gòu),一個(gè)貼切的、美妙的結(jié)構(gòu).這個(gè)結(jié)構(gòu)提供有關(guān)事物的潛在的簡約性,并且,通過學(xué)習(xí)它的本質(zhì),我們就能夠達(dá)到對(duì)這個(gè)學(xué)科內(nèi)在意義的理解.”

        圖4

        如圖4所示,需要強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)理解發(fā)展不是以高一層次來取代低層次,導(dǎo)致低層次的思維形態(tài)銷聲匿跡,而是以低層次思維形態(tài)作為高層次思維形態(tài)發(fā)展基礎(chǔ);反過來,高層次思維形態(tài)的出現(xiàn)和發(fā)展又帶動(dòng)、促進(jìn)低層次思維形態(tài)不斷地由低水平向高水平的發(fā)展.因此,基于理解性學(xué)習(xí)理論下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是思維自我建構(gòu)、自我完善的過程,這是理解性學(xué)習(xí)理論的核心.

        1.沙涓.高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐與思索[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2016(36).

        2.徐彥輝.高中生對(duì)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)的因素結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2010(4).

        3.呂林海.數(shù)學(xué)教學(xué)中的理解性學(xué)習(xí)探究[M].北京:教育科學(xué)出版社,2013(10).

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