江蘇丹陽市全州學校 吳愛國

筆者在一本數(shù)學課外書上看到一道名叫“小格涂色”的開放題。乍看題目，讓人感覺很簡單，做起來卻覺得有趣，有一種“不識廬山真面目”的感覺。學生對這道題感興趣嗎？他們會給出什么答案？筆者決定在五年級學生中做調(diào)查。

一、調(diào)查問題

小格涂色：任意選擇5個連在一起的小方格（相鄰的2個小方格之間必須有公共邊），然后將它們涂色。圖1中已畫出1種組合。你還能畫出多少種？請你將它們畫出來，限時20分鐘，盡量寫出你的思考過程。

圖1

做完題目后，請你在下面的□內(nèi)畫“√”，并回答問題。

1.你認為這道題有趣嗎？

很有趣□ 比較有趣□ 無趣□

2.做完這道題，你有什么想法？

二、調(diào)查對象

五（1）班37人，五（2）班41人，五（3）班42人，五（4）班39人，五（5）班28人，共計187人。

三、調(diào)查過程

筆者組織五年級各班學生參與調(diào)查活動過程，沒有給他們?nèi)魏谓忸}提示，他們都是獨立解題，沒有任何討論與交流，結果反映了學生們獨立思考解決這個問題的真實水平。

四、調(diào)查結果與分析

1.有關答案的統(tǒng)計與分析

經(jīng)過對調(diào)查問卷的批改與分析，除了題目中已畫的1種，學生們一共畫出了11種，具體統(tǒng)計結果見表1。

從表1中可以看出：畫出1號、2號、3號圖形的人數(shù)特別多，而畫出9號、10號、11號圖形的人數(shù)特別少。從中可以得出，大多數(shù)學生畫圖時考慮“直線形”，考慮“折線形”的學生偏少；在畫圖時，大部分學生會想到層數(shù)少的圖形，如1號只有一層，2號、3號有兩層，想到層數(shù)多的人比較少。筆者還發(fā)現(xiàn)，五（2）班學生每種圖形畫出的人數(shù)大都比其他班的人數(shù)多，可見五（2）班學生的數(shù)學整體實力較強。

表1：

表2：

因為學生們的數(shù)學能力有所不同，所以每個人畫出的圖形數(shù)量也大不相同，具體統(tǒng)計結果見表2。

從表2中可以發(fā)現(xiàn)：畫出4種、5種、6種圖形的人數(shù)特別多，而畫出9種及9種以上圖形的學生特別少；每個班畫出2種或2種以下、9種或9種以上的人數(shù)都比較少；五（2）班畫3種以下的人數(shù)是這5個班中最少的，再次印證了五（2）班學生的數(shù)學整體實力較強；五（5）班畫出4～8種圖形的人數(shù)是這5個班中最少的，說明五（5）班學生的數(shù)學能力水平兩極分化比較明顯，且令人感到奇怪的是，竟然有12個學生沒有畫出圖形。經(jīng)查閱他們的問卷后才明白，他們是因為不認真審題或理解錯了題意，導致畫出的圖形不符合要求。

2.有關有趣度的統(tǒng)計與分析

這道題有趣嗎？學生有不同的感受，具體統(tǒng)計結果見表3。

表3：

從表3中可以發(fā)現(xiàn)：選擇“很有趣”“比較有趣”的學生較多。由此可見，對這樣的開放題學生們還是比較喜歡的。有些學生覺得這道題太簡單，只適合一、二年級甚至幼兒園的小朋友做，因此認為這道題十分無趣。其實，這道題看似很簡單，很容易畫出幾種圖形，但要畫出6種以上還是有難度的（見表2）。

3.有關解題策略的統(tǒng)計與分析

從學生們的思考過程可以看出，一部分學生能有序地思考畫圖，經(jīng)分析歸類，主要有以下幾種解題策略：

（1）“層層形”

首先將5個小方格排成1行；接著將4個小方格排成1行，剩下1個小方格放在第2行進行移動；然后將3個小方格排成1行，將剩下2個小方格中的1個固定位置，移動另外那個……

下面，是一個學生使用此解題策略的思考過程：

（2）“移動形”

先固定幾個連在一起的小方格，再用剩下的小方格在此基礎上進行移動。使用此解題策略很難畫出全部答案。

下面，是兩個學生使用此解題策略的思考過程：

（3）“直線形”

用橫豎、橫橫、豎豎等組合的思考方式把5個小方格進行排列。使用這種解題策略的學生畫出的圖形都在8種以下，并且沒有畫出像，，這樣的“折線形”圖形。

下面，是一個學生使用此解題策略的思考過程：

五、調(diào)查對教學的啟示

1.做開放題要選擇合適的解題策略

引入“開放題”的學習，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力起著積極作用。在解答開放題時，學生往往會因考慮不周密、不全面而漏解。做事要講究方法，做數(shù)學題也要選擇正確、合適的解題策略?！靶「裢可边@道題應該選擇“層層形”解題策略，有序、全面地思考，一層一層考慮，一格一格移動，這樣可以找出所有答案。通過上例可以看出，有些數(shù)學問題的答案也可以是豐富多彩的，同一問題往往有多種不同的答案。教師平時要引導學生學會多角度地思考問題，分析時應當分類思考、有序列舉，自覺地去想“是否還有其他答案”，以訓練思維的深刻性。

2.教師要努力增強教學的開放性

在數(shù)學教學中引入“開放題”的教學，對于豐富教學內(nèi)容、拓寬教學思路是十分有益的。但有些教師僅僅將開放題作為一種題型（或數(shù)學知識）來教，就題論題，學生開放性解決問題的思維習慣并沒有在頭腦里真正建立起來。那么，怎樣才能喚醒學生的求異思維和開放意識呢？教師應該給學生留下更大的空間，而不是將學生的思維活動局限于一個事先劃定的狹小范圍。教師除了有機結合教學內(nèi)容設計好開放題外，關鍵是要確立“開放性教學”理念，學會開放性地引導、激勵、評價等，促進教師“開放性”教學水平的提高。

3.平時要適當增加開放題的練習

調(diào)查結果顯示，大部分學生覺得這道題有趣，并喜歡這道題。有些學生在問卷上寫道：“這道題讓我充滿想象力！”“這題很考驗我們的智力，太有趣了?！币虼?，教師要給學生出一些類似的開放題，以培養(yǎng)學生數(shù)學學習的興趣，提高學生的數(shù)學能力。教師要靈活運用“一題多問、一題多變、一題多解”等策略，使學生經(jīng)歷由“多思”向“多解”層面發(fā)展，由“多解”向“巧解”層面拓展，體現(xiàn)訓練過程的“開放性”。結合“開放題”的教學，教師要引導學生全面思考問題，尊重學生各自的數(shù)學思維風格或思維形式，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維品質(zhì)。?