王 宇，歐陽華

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基于KSVD學(xué)習(xí)字典稀疏表示的圖像壓縮傳感方法研究

王 宇，歐陽華

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033）

本文運用基于KSVD學(xué)習(xí)字典的稀疏表示方法，實現(xiàn)了圖像信號的壓縮傳感。將實驗結(jié)果與DCT變換和小波變換固定字典進行對比分析，分別采用25%、50%、75%三種測量率，三種測量率下的峰值信噪比（PSNR）明顯高于相同測量率下的DCT變換與小波變換的峰值信噪比。尤其是在測量率為25%時，DCT變換與小波變換的PSNR分別為17.8982與11.0880，而KSVD學(xué)習(xí)字典的PSNR為28.3538。實驗結(jié)果表明采用KSVD方法在圖像壓縮傳感上有更好的實驗效果。

壓縮傳感 小波變換 DCT變換 KSVD

0 引言1

傳統(tǒng)的信號采集過程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓四個部分。但在這個過程中，依照Nyquist-Shannon定理抽樣頻率至少要是原信號最高頻率的兩倍以上才能由抽樣后的離散信號精確地恢復(fù)出原信號這一標(biāo)準(zhǔn)，將會產(chǎn)生大量的冗余數(shù)據(jù)，大大增加了處理數(shù)據(jù)的時間和存儲數(shù)據(jù)占用的存儲空間[1]。2006年，Candes和Donoho提出壓縮傳感理論(Compressed Sensing, CS)[2-3]，該理論認為稀疏的或具有稀疏表達的有限維數(shù)的信號可以利用遠少于奈奎斯特采樣數(shù)量的線性、非自適應(yīng)的測量值無失真地重建出來。其核心思想是：若信號在某個變換域上具有稀疏性，可將其線性投影到一個低維空間中實現(xiàn)信號壓縮，此過程可將信號的采樣以及壓縮過程合二為一。信號的重構(gòu)可通過求解線性優(yōu)化問題實現(xiàn)。壓縮傳感技術(shù)能夠通過觀測直接獲得壓縮的信號，避免對大量信息的采集。壓縮傳感技術(shù)在圖像采集、圖像壓縮和醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[4]。由于壓縮傳感理論使采集很少一部分數(shù)據(jù)并且運用這些少量數(shù)據(jù)重構(gòu)出更大量的數(shù)據(jù)，開拓了在信息處理方面的新思路。隨著理論的漸漸成熟，壓縮傳感技術(shù)的應(yīng)用成為人們的研究熱點。從雷達成像到醫(yī)學(xué)成像，壓縮傳感技術(shù)在圖像上的應(yīng)用越來越多，越來越深入[5,6]。

本文研究了基于KSVD學(xué)習(xí)字典稀疏表示的圖像信號壓縮傳感和重構(gòu)，并與DCT變換固定字典和小波變換固定字典進行了對比分析。

1 壓縮傳感理論

1.1壓縮傳感理論簡介

一般來講，信號本身不是稀疏的，但是在一個合適的變換域下變換得到的系數(shù)是可以被認為是稀疏的。例如，對信號x進行小波變換，保留K個得到的最大的系數(shù)，并將其他的N-K個系數(shù)設(shè)為零，而這N-K個系數(shù)對信號的重構(gòu)沒有太大的作用，隨后通過相應(yīng)的反變換來重構(gòu)信號。在這里，信號x可以被認為是在小波基下K稀疏的。

通過結(jié)合（1）與（2）可以得到：

如上所述，通過CS可以把一個N維信號降到M維。在（2）中，由于N>M，所以直接解決（2）是無法重構(gòu)信號x的。然而在（3）中，由于y是K稀疏的，即只包含K個非零系數(shù)，且K

解決的算法最常用的有MP、OMP、CP、GP等。

1.2壓縮傳感理論的稀疏表示

稀疏表示問題的基本問題是字典的選擇[7]。多數(shù)求解方法都可以根據(jù)兩種不同的字典構(gòu)造方式分成兩類：基于分解的方法和基于機器學(xué)習(xí)構(gòu)造字典的方法[8]。在基于分解的方法中，需要為數(shù)據(jù)預(yù)先定義數(shù)學(xué)函數(shù)模型。這些字典包括：傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。通過這種方法構(gòu)造的字典通常具有高度結(jié)構(gòu)性和快速算法，但是也有相應(yīng)的一些局限。離散余弦變換可以較好實現(xiàn)一維信號的壓縮傳感重構(gòu)[9]。小波變換基能很好的捕捉圖像的點狀奇異，因而基于小波變換實現(xiàn)圖像的壓縮傳感重構(gòu)。但這兩種方法都是只有針對某種特定的信號才會有較好的重構(gòu)精度，普適性較差。第二種方法則是通過大量的訓(xùn)練實例推導(dǎo)出字典。字典學(xué)習(xí)算法包括：最大似然方法ML、MOD[11]和KSVD[12]等。這種字典的好處體現(xiàn)于精度和普適性，但同時也消耗更多的運算時間和運算資源。

壓縮感知主要由信號的稀疏表示、測量矩陣的設(shè)計和信號重構(gòu)算法三個部分構(gòu)成。本文主要研究信號的稀疏表示這一部分內(nèi)容。

為了更精煉地表達一個信號，通?？梢园研盘栕儞Q到一個新的基或框架下，當(dāng)非零系數(shù)的個數(shù)遠少于原始信號的長度時，可以把這些少量的非零系數(shù)稱為原始信號的稀疏性表達。

信號的稀疏化是壓縮傳感應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，通用的稀疏方法有快速傅里葉變換（FFT）、離散小波變換（DWT）、離散余弦變換（DCT）等。三種稀疏方法各有各的優(yōu)缺點，本文就對比分析了DCT、 DWT與KSVD三種方法在圖像的壓縮傳感應(yīng)用中實際效果的優(yōu)劣性。

2 KSVD方法

KSVD算法的優(yōu)化之處是會對字典進行逐列更新，從而提高精度。

2.1 KSVD算法原理

1）稀疏表示

2）字典更新

兩人來到一家咖啡店，坐到桌旁。侍者端來兩杯咖啡，蘇婷婷問：張陽，有什么話你說吧！張陽想了想：婷婷，離開杰克吧，你和他不合適。蘇婷婷不服地：你怎么知道我和杰克不合適？張陽自信地：我能感覺出來，婷婷，我愛你。蘇婷婷站起身：張陽，還有別的話嗎？沒有我走了！張陽無奈地：好，我不說這個了。蘇婷婷剛要坐下，看見杰克和一個外國朋友走進來，二人目光相遇，杰克看看張陽……

2.2 KSVD字典構(gòu)造

KSVD算法通過構(gòu)建字典來對數(shù)據(jù)進行稀疏表示，并且不斷迭代更新。KSVD算法分為兩步，即稀疏表示與字典更新。

KSVD算法：

1）初始化。k=0；構(gòu)造(0)R，可以使用隨機元素，也可以使用m個隨機選擇的樣本；將(0)的各列歸一化。

2）主迭代。k增1，并執(zhí)行以下步驟：

①稀疏編碼階段：使用追蹤算法近似求解，即

3 仿真實驗

為了對比分析DCT字典、小波變換字典和KSVD字典在壓縮傳感應(yīng)用中的實際效果，本文進行了下面幾組仿真實驗。首先，實驗中使用測試圖像lena，采用不同的稀疏變換字典，分別對測試圖像進行壓縮傳感測試，測量率為50%，如圖1、圖2、圖3和圖4所示。

圖1 lena原始圖像

圖2 DCT變換字典

通過圖2、圖3與圖4的對比，我們明顯可以看出小波變換字典在圖像壓縮傳感中的實際應(yīng)用效果明顯優(yōu)于DCT變換字典，而KSVD字典明顯優(yōu)于前兩種字典。

圖3 小波變換字典

圖4 KSVD字典

再分別采用不同的采樣率和稀疏變換字典，對圖像進行壓縮傳感，比較峰值信噪比（PSNR），如表1所示。

表1 不同測量率和字典下恢復(fù)圖像的PSNR值

PSNR數(shù)學(xué)表達式為：

其中，MSE是原圖像與恢復(fù)圖像之間的均方差。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，我們可以看出在三種測量率下，KSVD字典在壓縮傳感中的實際效果都要高于DCT字典和小波變換字典。尤其當(dāng)測量率為25%時，采樣率過低，從而導(dǎo)致DCT與小波變換兩種方法的實際重構(gòu)效果都不是很好，但此時KSVD字典仍然可以較好的重構(gòu)出原圖像。

4 結(jié)論

本文對圖像壓縮傳感的稀疏變換方法進行了研究，分別采用DCT、小波變換與KSVD算法三種方式和不同的測量率，對圖像lena進行稀疏變換。最后通過壓縮傳感后的圖像恢復(fù)效果對實驗結(jié)果進行對比分析。仿真實驗表明了，在圖像的壓縮傳感中，KSVD的實際應(yīng)用效果明顯好于DCT變換與小波變換，PSNR值更高。測量率越高信號的重構(gòu)效果越好。

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Research on Image Compressed Sensing Method Based on KSVD Learning Dictionary Sparse Representation

Wang Yu, Ouyang Hua

(College of Electrical Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

TN915

A

1003-4862（2018）02-0037-04

2017-11-17

青年科學(xué)基金（No.51307178）

王宇(1993-)，男，碩士。研究方向：信號檢測與處理。Email：840724234@qq.com