江蘇南京市雨花臺(tái)區(qū)共青團(tuán)路小學(xué)（210000） 劉正娟

【錯(cuò)誤列舉】

關(guān)于蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)的“乘法分配律”，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中常常出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤。

算理理解不到位。如圖1，歸根結(jié)底，不理解算理，也就是不理解乘法的意義。

圖1

圖2

湊整思想的僵化。如圖2，學(xué)生只是注意到99接近100，沒有考慮到這個(gè)算式的特點(diǎn)，沒有準(zhǔn)確分析“這個(gè)數(shù)”在算式中與其他數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系，機(jī)械湊整，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。

學(xué)生出現(xiàn)上述這些錯(cuò)誤的根本原因在于不理解算式的意義，只是機(jī)械模仿，不能按照算理正確地思考簡(jiǎn)算過程。在多次思考之后，我找到了一種行之有效的方法，那就是從建模的角度出發(fā)，聚焦最樸素的算理——乘法的意義，分析學(xué)生的錯(cuò)誤原因，抓住問題的本質(zhì)，根治錯(cuò)誤。

【教學(xué)重構(gòu)】

片段一：數(shù)形結(jié)合，建立兩式相等關(guān)系

1.出示圖3，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎么求這兩個(gè)圖形的面積之和呢？你能想出幾種方法？在學(xué)生得出兩種基本方法后，我寫出等式：（6+3）×4=6×4+3×4。

圖3

2.讓學(xué)生從圖4中的三個(gè)長(zhǎng)方形中選出兩個(gè)，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形。

圖4

學(xué)生通過獨(dú)立思考、小組活動(dòng)后得出如圖5所示的兩個(gè)大長(zhǎng)方形，并列出算式求出拼好之后的大長(zhǎng)方形的面積。

圖5

3.引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么②號(hào)長(zhǎng)方形和③號(hào)長(zhǎng)方形不能拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形呢？

4.出示題目“四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩。一共領(lǐng)多少根跳繩？”在得出等式（6+4）×24=6×24+4×24后，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：這種實(shí)際問題也可以用圖6來表示，左邊的長(zhǎng)方形表示四年級(jí)一共領(lǐng)了多少根跳繩，右邊的長(zhǎng)方形表示五年級(jí)一共領(lǐng)了多少根跳繩，也可以合在一起看：四、五年級(jí)一共有10個(gè)班，就是10個(gè)24的和。

乘法分配律對(duì)學(xué)生來說是比較抽象的，將長(zhǎng)方形的面積計(jì)算與乘法分配律的知識(shí)融合在一起，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合，以計(jì)算長(zhǎng)方形面積為載體建構(gòu)等式，能使學(xué)生在探究的過程中對(duì)乘法分配律中的兩道算式構(gòu)成的等式有深入的了解，從而明確探究的方向。學(xué)生在交流討論“為什么②號(hào)長(zhǎng)方形和③號(hào)長(zhǎng)方形不能拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形”的過程中，也能體會(huì)到“乘法分配律中必須有相同因數(shù)”這一重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

片段二：舉例驗(yàn)證，明晰兩式相等的本質(zhì)屬性

在上述教學(xué)的基礎(chǔ)上，我組織學(xué)生進(jìn)一步研究：①觀察這幾組等號(hào)兩邊的算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？②是不是具有這樣特征的算式都能用“=”連接？是偶然還是必然？③請(qǐng)?jiān)诰毩?xí)本上寫幾組具有這樣特征的式子；④想一想，像這樣的等式寫得完嗎？

在學(xué)生寫出大量等式的基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和猜想，并且從正反兩個(gè)方面對(duì)得出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，抽象出結(jié)論后，再讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述其規(guī)律。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了乘法分配律的探究過程，抽象、概括的能力得到了發(fā)展。學(xué)生通過舉例驗(yàn)算的方法去感知規(guī)律，在真實(shí)體驗(yàn)中感受規(guī)律，用語言表述規(guī)律便水到渠成。

圖6

片段三：抽象概括，建立基本模型

師：在前面的研究中，我們已經(jīng)明晰了兩式相等的特征，你能否用自己喜歡的方式表示這個(gè)規(guī)律呢？

生1：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生2：（△+□）×○=△×○+□×○。

生3：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：其實(shí)，你們的表示方法有異曲同工之妙，都可以用圖形（圖7）表示出來。

圖7

師：既可以用（a+b）×c表示，也可以用 a×c+b×c表示，就得到（a+b）×c=a×c+b×c，這是乘法分配律的直觀模型。

師：如果這樣的圖形由3個(gè)、4個(gè)或多個(gè)長(zhǎng)方形組成，那么關(guān)系式該怎么改？圖形又該怎么畫呢？大家試一試吧！

讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示乘法分配律，其目的有三：一是檢驗(yàn)學(xué)生是否已經(jīng)正確理解規(guī)律；二是讓學(xué)生再次感受和明晰乘法分配律的結(jié)構(gòu)；三是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。乘法分配律是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，任何數(shù)學(xué)模型都是抽象概括的產(chǎn)物，任何一種數(shù)學(xué)模型也都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的抽象美和簡(jiǎn)潔美。但是，數(shù)學(xué)模型抽象建構(gòu)完成后，絕不是終點(diǎn)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度對(duì)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行精準(zhǔn)把握。

【案例反思】

數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與生活的橋梁，建立模型的過程就是架設(shè)這座橋梁的過程。乘法分配律雖然比較抽象，但在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。本課的教學(xué)是通過現(xiàn)實(shí)生活情境呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在探索活動(dòng)中抽象出乘法分配律的字母表達(dá)式，建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用這一數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題。

創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，感知模型。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：建立模型首先要從現(xiàn)實(shí)的生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。這說明發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。乘法分配律是一個(gè)很抽象的內(nèi)容，如果沒有具體的情境，學(xué)生就無法獲得體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。本課從現(xiàn)實(shí)中的求長(zhǎng)方形面積、如何拼長(zhǎng)方形、領(lǐng)跳繩的情境入手，引導(dǎo)學(xué)生感受兩種算法之間的聯(lián)系，從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出等式，在初步感知數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，也為后續(xù)的模型建立積累了豐富的素材。

經(jīng)歷推理過程，初現(xiàn)模型。本課中首先是在得出兩組等式后引導(dǎo)學(xué)生觀察等號(hào)兩邊的算式，并提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？是不是所有這種算式都能組成等式？你能想辦法驗(yàn)證嗎？”演繹推理的過程是從不完全歸納到完全歸納發(fā)展的過程，讓學(xué)生想辦法進(jìn)行驗(yàn)證就是引導(dǎo)學(xué)生從意義上來證明猜想的正確性，學(xué)生能從問題的實(shí)際意義“四、五年級(jí)一共領(lǐng)多少根跳繩？”出發(fā)，得到“一共有10個(gè)班，既是領(lǐng)10個(gè)24根”的結(jié)論；學(xué)生也會(huì)利用乘法的意義，從（6+4）個(gè) 24就是“6個(gè) 24”加“4個(gè) 24”的層面來理解。在這樣的推理過程中，學(xué)生積累了乘法分配律的感性經(jīng)驗(yàn)，初步建立了乘法分配律的模型。

運(yùn)用多元表征，建立模型。模型的建立過程包括用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。因此，引導(dǎo)學(xué)生用個(gè)性化的表達(dá)方式將乘法分配律表示出來，模型才能建立起來。比如，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法表示規(guī)律，學(xué)生就能用文字、圖形、字母等方式分別表示三個(gè)數(shù)，也有學(xué)生會(huì)用語言表示。這就是學(xué)生經(jīng)歷乘法分配律模型建立的過程，在這個(gè)過程中，他們體會(huì)到了字母表達(dá)式的簡(jiǎn)潔性，也增強(qiáng)了用符號(hào)表達(dá)規(guī)律的意識(shí)。