莊小紅+盛世明+潘燕
摘 要:近年來,隨著經濟的發(fā)展和人們風險意識的增強,越來越多的人會選擇通過購買保險來降低可能面臨的潛在風險。在保險的購買和索賠過程中,人們關注的是保費的制定和索賠額的確定,這其中會出現(xiàn)一種特殊的索賠——未達到一定數(shù)額的理賠額時保險公司選擇不做理賠。文章針對這一特殊情況的保費的制定進行探討,初步得出了在零效用原理下保費的估計及其大樣本性質。
關鍵詞:零效用保費 非參數(shù)估計 貝葉斯估計 數(shù)值擬合
中圖分類號:F840 文獻標識碼:A
文章編號:1004-4914(2017)11-104-03
在實際生活中,大多數(shù)的保險險種,如車險,健康險,疾病險,生命險和商業(yè)保險等都涉及有免賠條款。免賠條款是保險人對保險理賠進行限制的方式,其主要思想是:通過設置免賠額,減少一些頻繁發(fā)生的小額賠付支出,提高被保險人的責任心和注意力,降低風險,同時降低保險公司的經營成本。
一般來說,保險公司可能涉及的免賠條款有:絕對免賠條款、相對免賠條款、比例免賠條款、有限比例免賠條款和消失免賠條款,它們基本滿足以下四個性質:
1.預防損失:帶有免賠條款的保險會使得被保險人發(fā)生損失時得到的理賠減少,這會使一部分人不參保,這樣留下來的投保人將是積極的投保人。
2.虧損減少:帶有免賠條款的保險會使得被保險人發(fā)生損失時只能得到部分的理賠,這不會為投保人提供經濟誘因使得損失擴大(該擴大的損失可避免)。
3.避免小額理賠:在成本管理占主導地位的市場上,對小額理賠的管理費用往往會超過理賠額本身,因此在帶有免賠額的保費中,保險公司要求投保人對小額損失自行處理。
4.降低保費:保費的降低對保單持有者來說是一個重要的因素,他們可能更希望有一個較高的免賠額來獲得一個更低的保費。
在眾多研究免賠條款的文獻中,前人大多研究的是在凈保費原理下討論具有免賠額保險的定價問題,如Head and Smith側重于免賠額定價方面的定性研究,Arrow討論了免賠額定價的不同假設和研究方法,Raviv對最優(yōu)保單合同的研究進行了歸納,并進一步延伸了Arrow等的研究結論,提出了更加完善的免賠額定價模型,而K.Burneck J. et al等在理論上研究在上述五種免賠條款下的凈風險保費,并提出了該純保費的計算公式。然而,在保險實際中,凈保費不能滿足保費的正的安全負荷性。在破產理論中已經證明,保險公司僅收取純保費則將注定發(fā)生破產,可參考Asmussen。由于效用保費原理的重要性,下面將討論效用保費原理下具有絕對免賠額的保費的估計。
一、模型概況
首先,我們給出絕對免賠額的定義?譹?訛:
定義絕對免賠額(Fix Amount Deductible)是指當被保險人的損失超過規(guī)定的免賠額時,保險公司只對超過部分進行理賠;其他情況下,保險公司不對損失進行理賠。假設規(guī)定的免賠額為d時,則保險公司的支付函數(shù)為:Id=max{0,x-d}。
設X是描述被保險人損失大小的非負隨機變量,F(xiàn)(x)、f(x)分別代表X的分布函數(shù)與概率密度函數(shù),假定X的期望、方差分別為:E[X]=μ,Var[X]=σ2。
命題1:在絕對免賠額下,保險公司承擔該風險X后可能面臨的損失為:
Id=(X-d)+=x-d,x≥d0,x 則Id的分布函數(shù)為:F1(y)=F(d),y=0F(y+d),y>0 概率密度函數(shù)為:fI(y)=F(d),y=0f(y+d),y>0 其中F(x)、f(x)分別是風險X的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。 證明:由全概率公式易得證。 假定免賠額d給定,那么在零效用保費原理下,此時保費P為下式方程的解:E[U(P-Id)]=0,其中函數(shù)U(·)我們稱之為保險人的效用函數(shù)?譺?訛。 下面,我們給出在四種特殊的效用函數(shù)下,保費Pd的具體表達式。在計算過程中,為了簡便敘述,我們引入有限期望值函數(shù)?譻?訛: LX(t)=E[min(X,t)]=∫t0yfydy+t1-Ft,t>0 該函數(shù)在點t的值等于隨機變量X在截斷點t的期望值。又對任意的t大于0,都有: LX(t)=1+t-F(t)>0 成立,即LX(t)關于t單調遞增。 (1)線性效用函數(shù):選定效用函數(shù)為線性效用函數(shù)U(x)=x,此時在絕對免賠額下的保費Pd滿足: E[Pd-Id]=0 經計算得Pd1=E[X]-LX(d)。 由于LX(d)關于d單調遞增,所以保費Pd1關于免賠額d單調遞減。特別地,當絕對免賠額d=0時,所得保費滿足凈保費原理?譼?訛,即Pd1=E[X]。 (2)二次方效用函數(shù):選定效用函數(shù)為二次效用函數(shù)U(x)=x-ax2,此時在絕對免賠額下的保費Pd應滿足: E[U(Pd-Id)]=E[(Pd-Id)-a(Pd-Id)2]=0, 經計算可得: Pd2=E[Id]+-, 其中: E[Id]=E[X]-LX(d), Var[Id]=Var[X]-(1-F(d))(d-d2)+2E[X](LX(d)-d)+LX(d)(2d-LX(d))-Lx2(d)。 特別地,當免賠額d=0時,此時Pd2=E[X]+-即為方差保費;當免賠額d→∞時,易證得此時保費Pd2=0。 (3)指數(shù)效用函數(shù):選定效用函數(shù)為指數(shù)函數(shù)U(x)=1-e時,此時在絕對免賠額下的保費Pd滿足: E[U(Pd-Id)]=E[(1-e-a(Pd-Id)))]=0
經計算可得:
Pd3=lnE[eaId]=ln{E[ea(X-d)]-e-adLeaX(d)+(de-ad-1)(1-F(d))+1}。
特別地,當免賠額d=0時,Pd3=lnE[eax],滿足指數(shù)保費原理。
(4)Esscher效用函數(shù):選定Esscher效用函數(shù)U(x)=xe-λx時,此時在絕對免賠額下的保費Pd應滿足下式:
E[U(Pd-Id)]=E[(Pd-Id)e-λ(Pd-Id)=0,
經計算可得:
Pd4==
特別地,當免賠額d=0時,Pd4=,即為Esscher保費原理?譽?訛;當免賠額d→∞時,易證得此時保費Pd4=0。
二、具有免賠額保費非參數(shù)估計
(一)免賠額下的非參數(shù)估計
設風險X前n年的理賠額分別為I1,I2,…,In,對風險X第n+1年的保費Pd進行非參數(shù)估計時,此時得到的零效用保費的估計方程為:
UP-I=0(1)
由此得到的保費Pd的非參數(shù)估計具有如下性質:
定理1.當n→∞時,零期望效用估計方程(1)以概率1有解,且該解關于零期望效用保費Pd是強相合的,即→Pd a.s。
定理2.記h(Id,P)=U(P-Id),E[(h(Id,P)2]=m(Pd),以及E[I,P│]=H(Pd),若對任意的P>0滿足下面的條件:
1.在零效用保費Pd的鄰域內,效用函數(shù)h(Id,P)關于P的偏導數(shù)和對所有的Id均存在;
2.在零效用保費Pd的鄰域內,有E[(I,P)]<∞;
則當n→∞時,零效用估計方程(1)的非參數(shù)估計是漸近正態(tài)的,且有
-PN0,。
對定理1和定理2的證明可參見《零期望效用原理下的貝葉斯保費》?譾?訛。
事實上,由于免賠額d的限定,風險X的歷史索賠記錄I1,I2,…,In與不含免賠額時風險X的歷史記錄X1,X2,…,Xn間僅相差幾個非零數(shù)。由此,我們可得在常用的四種效用函數(shù)下具有免賠額d的保費的非參數(shù)估計:
(1)線性效用函數(shù):在線性效用函數(shù)U(x)=x下可得到免賠額下保費Pd1的非參數(shù)估計為:
=Ii。
(2)二次方效用函數(shù):在二次效用函數(shù)U(x)=x-ax2下可得到免賠額下保費Pd2的非參數(shù)估計為:
=Ii+-。
(3)指數(shù)效用函數(shù):在指數(shù)效用函數(shù)U(x)=(1-e-ax)下可得到免賠額下保費Pd3的非參數(shù)估計為:
=ln(eaIi)。
(4)Esscher效用函數(shù):在Esscher效用函數(shù)U(x)=xe-λx下可得到免賠額下保費Pa4的非參數(shù)估計為:
=。
(二)免賠額下的非參數(shù)估計的數(shù)值模擬
在本節(jié)中,為了驗證上一節(jié)所得具有免賠額的零效用保費的非參數(shù)估計的大樣本性質,我們選取了風險X的某一具體分布,通過蒙特卡洛方法對其進行數(shù)值上的擬合,以觀察具有免賠額保費的非參數(shù)估計的收斂速度。
假設風險X服從指數(shù)分布Exp(θ),其密度函數(shù)為:f(x)=θe-θx(x>0),則有:
E[X]=,Var[X]=,MX(μ)=,E[XeμX]=MX'(μ)=,μ<θ。
由此易得到風險X在具有免賠額d下的分布函數(shù)為:
fI(y)=1-e-θd,y=0-θ(y+a)θe),y>0;
且有LX(d)=-e-θd,
Lx2(d)=-e-θd(d2++-d),
LeμX(d)=(e(μ-θ)d-1)+de-θd,
LXeμX(d)=e(μ-θ)d(-)++de-θd。
那么在特定的四種效用函數(shù)下,具有免賠額的保費分別為:
(1)線性效用函數(shù)下Pd1=e-θd;
(2)二次方效用函數(shù)下Pd2=e-θd+
-;
(3)指數(shù)效用函數(shù)下Pd3=ln(e-θd+1);
(4)Esscher效用函數(shù)下Pd4=。
在模擬過程中,不妨取定二次方效用函數(shù)U(x)=x-ax2中a=,指數(shù)效用函數(shù)U(x)=(1-e-ax)中a=,Esscher效用函數(shù)U(x)=xe-λx中λ=,通過計算不同的樣本容量n,筆者將得到保費Pd的非參數(shù)估計的均值和均方誤差MSE。
設定樣本容量n分別為30,80,200,800,指數(shù)分布Exp(θ)分布取θ=0.2,0.5,1,免賠額d=,分別計算出四種效用函數(shù)下具有免賠額的保費的非參數(shù)估計,選取模擬次數(shù)K=5000,所得結果繪制成表1—3。
觀察表1—3,我們可以得到:首先從數(shù)值擬合上進一步驗證了非參數(shù)估計的強相合性,且均方誤差滿足實際需要;其次當免賠額d保持不動的時候,隨著分布參數(shù)θ的增大,收斂速度加快。
三、具有免賠額保費貝葉斯估計
一般地,在保險實際中,風險保費Pd(θ)都涉及風險參數(shù)θ,且θ未知。但我們易得到風險X的歷年索賠記錄,且由于免賠額下風險X保費的索賠記錄與無免賠額下風險I保費的索賠記錄僅差幾項非零值,則免賠額下風險保費Pd(θ)與貝葉斯保費Pd(θ)?譾?訛也有類似前文的結論:
命題2:風險X在零效用保費原理下具有免賠額的貝葉斯保費Pd((In)與風險保費Pd(θ)之間有如下關系:Pd()=Pd(θ)1θ=In且貝葉斯保費Pd(()漸近收斂于風險保費Pd(θ)。
由此可知,求解風險X的風險保費Pd(θ)可通過貝葉斯保費來進行估計。在常用效用函數(shù)下,我們可得具有免賠額d的風險保費與貝葉斯保費如下(由于二次方效用函數(shù)形式的復雜性在此只考慮三種效用函數(shù)):endprint
1.在線性效用函數(shù)U(x)=x下可得風險X在免賠額下的風險保費Pd1(θ)和貝葉斯保費Pd1()分別為:
Pd1(θ)=E(In+1│θ),
Pd1()=E(In+1│),
2.在指數(shù)效用函數(shù)U(x)=(1-e-ax)可得到風險X在免賠額下的風險保費Pd2(θ)與貝葉斯保費Pd2()分別為:
Pd2(θ)=lnE(eaIn+1│θ),
Pd2()=lnE(eaIn+1│),
3.在Esscher效用函數(shù)U(x)=xe-λx下可求得風險X在免賠額下的風險保費Pd3(θ)與貝葉斯保費Pd3()分別為:
Pd3(θ)=。
Pd3(In)=
綜上求解我們知道,在三種特殊的效用函數(shù)下,均易得證風險X的風險保費Pd(θ)與貝葉斯保費Pd(In)間是強相合的。
[基金項目:上饒師范學院青年科研基金項目201418]
注釋:
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?譼?訛Huang J H, Wang G C, Wu z. Optimal Premium Policy of an Insurance Firm: Full and Partial Information [J]. Insurance: Mathematics and Economics. 2010,47(2)
?譽?訛Wen L M, Wang W, Wang J L.The Credibility Premiums for Exponential Principle[J].Acta Mathematica Sinica.2011,27(11)
?譾?訛溫利民,莊小紅.零期望效用原理下的貝葉斯保費[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2016,36(8)
(作者單位:上饒師范學院經濟與管理學院 江西上饒 334001))
[第一作者簡介:莊小紅(1987—),女,福建泉州人,助教,碩士,主要從事統(tǒng)計學研究。](責編:若佳)endprint