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        尋根溯源,談向量復(fù)習(xí)“兩法”

        2018-03-08 20:29:59金雅芳
        理科考試研究·高中 2017年12期
        關(guān)鍵詞:兩法向量特征

        金雅芳

        摘要:向量作為初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,兼具了代數(shù)與幾何的“雙重特性”,故利用向量工具編制試題每年均會(huì)受到高考命題者的青睞.從浙江卷2016年第15題向量試題的立意看,向量與其他知識(shí)的結(jié)合仍是考查重點(diǎn),但與以往不同的是加入元素“絕對(duì)值”,本文以此題為例分析如何運(yùn)用“頭吃尾”和“解析化”兩種策略來(lái)解決向量問(wèn)題.

        關(guān)鍵詞:向量;特征;推理轉(zhuǎn)化

        一、引題

        (2016年浙江數(shù)學(xué)理15)已知向量a→,b→,a→=1,b→=2,若對(duì)任意單位向量e→,均有a→·e→+b→·e→≤6,則a→·b→的最大值為.

        解法1(a→+b→)·e→≤a→·e→+b→·e→≤6.

        即(a→+b→)·e→≤6.

        只需(a→+b→)·e→max≤6.

        又因?yàn)椋╝→+b→)·e→的最大值為a→+b→,

        即a→+b→≤6a→2+2a→·b→+b→2≤6.

        a→·b→≤12,即a→·b→的最大值為12.

        解法2設(shè)=α,=β,

        可得=α-β,

        由題可得cosα+2cosβ≤6.①

        不妨設(shè)sinα+2sinβ=t.②

        由①2+②2可得:5+4cos(α-β≤6+t2對(duì)一切α,β均成立,

        故5+4cos(α-β)≤(6+t2)min5+4cos(α-β≤6.

        所以cos(α-β)≤14.

        所以a→·b→=2cos(α-β)≤12.

        解法3不妨設(shè)a→=(1,0),b→=(2cosθ,2sinθ),e→=(cosα,sinα).

        由題可得:cosα+2cos(θ-α)≤6.

        所以cosα+2cos(θ-α)≤6.

        所以(1+2cosθ)cosα+2sinθsinα≤6.

        所以(1+2cosθ)2+(2sinθ)2sin(α+φ)≤6對(duì)一切α均成立.

        所以[(1+2cosθ)2+(2sinθ)2sin(α+φ)]max≤6.

        故(1+2cosθ)2+(2sinθ)2≤6cosθ≤14.

        即a→·b→=2cosθ≤12.

        從試題的編制來(lái)看,考查的點(diǎn)無(wú)外乎就是向量的數(shù)量積、模及夾角,但入口比較寬、方法較多,加上個(gè)別同學(xué)對(duì)題意的理解不夠,對(duì)絕對(duì)值的處置不當(dāng),導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論.介于此筆者認(rèn)為,我們?nèi)粘=虒W(xué)也應(yīng)重視對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的詮釋,尤其是課本中曾出現(xiàn)的符號(hào),一定要讓學(xué)生從本質(zhì)上了解并理解他們.在向量的復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)著眼基礎(chǔ),即立足基本定理;應(yīng)放眼圖形,即緊抓圖形特征,這樣才能做活試題.

        浙江卷高考考查中向量試題經(jīng)常作為小題出現(xiàn),但事實(shí)是“小題”不小,今年的向量試題又作為拉分點(diǎn),區(qū)分度很大,要引起重視.解決此類問(wèn)題基本思路利用向量的加減運(yùn)算(“頭吃尾”)處理,或是將向量問(wèn)題“解析化”處理,利用坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化,從而將推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.

        二、重視基礎(chǔ),做好“頭吃尾”文章

        從向量的運(yùn)算公式看,AB+BC=AC,即后一個(gè)向量的起始點(diǎn)“吃掉”前一個(gè)向量的終點(diǎn).在解題過(guò)程中,巧妙利用分拆

        AC=AB+BC=AO+OB=…,進(jìn)而找尋題中點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系,化繁為簡(jiǎn).

        例1如圖1,已知:長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AD=4,AA1=4,O為對(duì)角線AC1的中點(diǎn),過(guò)O的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)M,N,P為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn),則PM·PN的取值范圍是.

        解析本題是動(dòng)態(tài)問(wèn)題,從題中已知條件看,P,M,N三個(gè)均為動(dòng)點(diǎn),但考慮到題中O為對(duì)角線AC1的中點(diǎn),又過(guò)O的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)M,N,即可得OM=-ON.

        故PM可分解為PM=PO+OM,同理PN可分解為PN=PO+ON=PO-OM.

        PM·PN=(PO+OM)·(PO-OM)=PO2-OM2.

        又P,M均為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn),故PO最大值為對(duì)角線的一半,最小值為棱長(zhǎng)AB的一半,OM也如此,所以PM·PN∈[-8,8].

        這是一個(gè)較好的“頭吃尾”試題,利用題中的O的特殊性,把向量PM分解為PM=PO+OM(O是前一個(gè)向量的“尾”,又是后一個(gè)向量的“頭”),變?nèi)齻€(gè)動(dòng)點(diǎn)P,M,N為兩個(gè)互不牽制的動(dòng)點(diǎn)P,M,大大簡(jiǎn)化了本題.

        變式如圖2,ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上,則PC·PD的取值范圍是.

        解析(“頭吃尾”)取AB的中點(diǎn)為O,連接PO,PA,PB,則PA+PB=2PO.

        因?yàn)镻A·PB=0.

        所以PC·PD=(PB+BC)·(PA+BC)=PB·PA+BC·(PA+PB)+BC2=0+2BC·PO+16=2×2×4×cos+16.

        由圖可得=[π2,π].

        當(dāng)且僅當(dāng)P在弧AB中點(diǎn)時(shí)向量夾角為π,PC·PD取到最小值0;P在點(diǎn)A或B處時(shí)向量夾角為π2,PC·PD取到最大值16.綜上PC·PD取值范圍為[0,16].

        三、關(guān)注技巧,做好“解析化”文章

        向量作為集數(shù)、形于一體的量,其運(yùn)算蘊(yùn)含豐富的幾何意義.尤其是向量的模,可以把其理解為兩點(diǎn)間的距離或是線段的長(zhǎng)度,深度挖掘做好“解析化”文章,用形助數(shù),對(duì)向量來(lái)說(shuō)成效是顯著的.

        例2如圖3,設(shè)a→,b→為單位向量,若向量c→滿足c→-(a→+b→)=a→-b→,則c→的最大值是.

        解析由題可得,知點(diǎn)C在以M為圓心,CM=a→-b→為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

        所以

        c→max=a→+b→+a→-b→.

        又由平行四邊形性質(zhì)可得:a→+b→2+a→-b→2=2(a→2+b→2)=4.

        所以c→2max = (a→ + b→ + a→-b→)2≤(1 + 1)(a→ + b→2 + a→-b→2) = 8.

        即c→的最大值是22.

        變式如圖4,已知向量a→,b→滿足a→=2,a→2=2a→·b→.對(duì)于給定向量b→,滿足條件(a→-c→)·(b→-c→)=0的向量c→的模的最大值和最小值分別為M,m,則M-m的最小值為.

        解析由圖4可得,c→=OC,則M=a→+b→2+a→-b→2.

        m=a→+b→2-a→-b→2.

        故M-m=a→-b→.

        由已知a→2=2a→·b→得,(a→-b→)2=b→2a→-b→=b→,且a→-b→+b→≥a→=2.

        即M-m=a→-b→≥1,故M-m最小值為1.

        參考文獻(xiàn):

        [1]張樹鵬破解向量最值問(wèn)題的三種有效途徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(11).

        [2] 陳曉敏拓展思維,簡(jiǎn)潔直觀——例談向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2014(05).

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