周瑞永+鄭旭常

摘 要：本文根據(jù)寧波一中考試題闡述依據(jù)提供的條件及解題目標，聯(lián)想已有知識和解題經驗，確定和選擇思維方向、對象以及思維角度進行同化或順從，完善認知結構，體現(xiàn)學生思維品質和數(shù)學素養(yǎng).

關鍵詞：結構；構造；創(chuàng)新；核心；素養(yǎng)

解無定法，實則有法，這就要根據(jù)試題提供的條件及解題目標，聯(lián)想已有知識和解題經驗確定和選擇思維方向、對象以及思維角度進行同化或順從，迅速的判定解題的大方向，減少誤入歧途的可能，才能贏得時間，贏得正確率.現(xiàn)筆者對2017年寧波市中考試卷中的第18題通過梳理知識結構，進行解法探討，以供大家參考.

題目 （2017寧波）如圖1，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別落在

邊AB、AD上，則cos∠EFG的值為.

分析 此題是一道動手操作型試題，由已知條件菱形ABCD和圖形翻折可以得到一些隱含結論；其次解題目標求∠EFG的三角函數(shù)值，聯(lián)想到三角函數(shù)值的定義法、面積法、余弦定理、正弦定理、角度大小不變三角函數(shù)值就不變的性質等方法破解.

一、利用線段中點，構造圖形破解

1.利用線段中點E，構造全等三角形

解法一 如圖2，延長AE、BC交于點H，過點H作HK⊥AB交直線AB于點K.

思路分析 抓住點E是CD的中點，聯(lián)想到常規(guī)輔助線“延長一倍構造全等三角形”，結合菱形ABCD的性質，容易得到△DAE≌△CHE，其次利用圖形翻折可得到AE⊥GF，最后角度不變三角函數(shù)值就不變的性質破解.

解法延伸 利用圖形翻折可得到AE⊥GF和AM=ME，結合HK⊥AB，從而得到△AMF∽△AHK，所以AFAH=MFHK=AMAK，求得AF=74，MF=214.

所以 cos∠EFG=MFAF=21474=217.

2.利用線段中點M作平行線，構造相似三角形

解法二 如圖3，過點M作MH∥AB交AD于點H，過點M、H分別作AB的垂線交直線AB于點P、T.

思路分析 由圖形折疊得到的隱含條件AE垂直平分GF，結合已知條件DE=1，AD=2，所以抓住中點M作平行線，構造相似三角形，易得AH的長度，其次，利用基本圖形（如圖4）“直角三角形構造斜邊上的高線”求解.

二、過E作AB的垂線，構造圖形破解

1.構造含有公共邊的兩個直角三角形的基本圖形

思路分析 利用菱形的性質和折疊中所隱含的條件，通過對知識結構的梳理，過點E作垂線構造不同的基本圖形破解，在這里關鍵是線段AE的長度求解，除解法一、解法二的方法求解AE的長度外，實際上也可以利用余弦定理求解.

如在△DAE中，AE2=AD2+DE2-2AD·DE·cos∠ADE.所以 AE2=22+12-2×2×1×cos120°.所以AE=7.

三、利用平行線結合線段中點構造全等三角形與相似三角形破解

解法七 如圖6，延長FG、CD交于點H.過點E作EQ⊥AD，垂足為Q.

思路分析 求∠EFG的三角函數(shù)值，易想到在Rt△AMF中求AF的值，結合菱形和折疊的知識結構，思考DG、AG的長度能否得出，從而構造相應的輔助線，利用特殊角度和相似三角形破解.

四、利用等積變形，構造圖形破解

思路分析 由折疊的特殊性質“對稱軸垂直平分對應點的連線段”產生直角，所以利用面積的不變性和面積的不同表示構造方程解答.

解后反思

1.深刻認識問題結構，挖掘隱含條件，尋找解題的出發(fā)點、解題路徑，轉化為一類幾何結構或基本圖形. 老子曾在《道德經》中說過“一生二，二生三，三生萬物”，而在數(shù)學知識結構分析，這個 “一”可以理解成數(shù)學最為基礎核心的本質概念和內容，如菱形、相似三角形、軸對稱圖形的概念及性質、三角函數(shù)的概念等掌握情況；這個“二”可以理解為數(shù)學的解題思想方法和技巧，如三角函數(shù)值怎么求，由哪些求法、已知中點怎么構造圖形、已知哪些條件可以構造含公共邊的直角三角形、圖形翻折中可以挖掘哪些隱含條件，以此條件為平臺又可以延伸出哪些知識等，具備了對數(shù)學基礎知識本質的理解之后，有了數(shù)學解題思想和技巧做幫扶，便有了“三”——順暢自然的給出解題思路.

2.加強歸納，總結提升.在平時數(shù)學解題中要及時的對解題方法及數(shù)學基本圖形的抽象與提煉，使其思維水平和已有的知識結構相融，建立知識網絡，為解題目標提供方法.如含有公共邊的直角三角形的基本圖形可以通過勾股定理建立方程，通過面積的不同表示方法或不同求法構建方程，通過面積法歸納出正弦定理、余弦定理及在怎樣的條件下應用等等.

3.貫徹“用教材教，而不是教教材”的理念設計教法. 在平時的教案設計中，要研究教材，深刻理解知識的結構安排，研究知識的生長點與延伸點，吃透教材例習題中蘊含的能量與價值，多讓學生經歷知識的發(fā)現(xiàn)與提出過程、發(fā)生與發(fā)展過程、探索與應用過程、方法與規(guī)律的概括過程，讓學生逐步積累發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的基本策略和活動經驗，不斷強化學生的數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力，提升數(shù)學素養(yǎng).

總之，不同的解法體現(xiàn)學生不同的能力水平與知識的認知結構，也不是去創(chuàng)造某種新的、不同的事物，而是去操控心智中已經存在的認知，去重組已存在的關聯(lián)認知，完善認知結構，體現(xiàn)學生的思維品質和數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1]肖川.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀[M].武漢： 湖北教育版社， 2012（2）.endprint