楊 燕 妮

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什 844006)

眾所周知,對復(fù)數(shù)域C上的有限維向量空間,矩陣或算子譜理論研究的一個基本問題是討論其特征值和特征向量的存在性.它也是進一步討論線性算子的譜分解和不變子空間的基礎(chǔ).關(guān)于矩陣的特征值和特征向量方面有著廣泛的研究,如文獻[1-2].

定理1的傳統(tǒng)證明大多借助行列式理論.首先,證明λ∈C是特征值?特征多項式det(T-λI)=0;其次,由代數(shù)基本定理證明?λ∈C使得det(T-λI)=0[3].特別地,對實數(shù)域R上的有限維向量空間,為證明矩陣(算子)特征值的存在性,可借助中值定理先證明“每個奇次實系數(shù)多項式均有一個實根”這一結(jié)論[4].或者利用“奇數(shù)維實向量空間上的線性算子至少有一個實特征值”的結(jié)果,通過代數(shù)方法推出任何復(fù)向量空間上的線性算子存在特征值[5].

設(shè)v∈V{0}且dimV=r.關(guān)于線性算子特征值和特征向量存在性的非行列式證明的基本思路是:首先,證明向量組v,T(v),T2(v),…,Tn(v)線性無關(guān),即由(anTn+…+a0I)(v)=0推出a0=…=an=0.其中,a0,…,an∈C;其次,由代數(shù)基本定理, 對r∈{1,…,n}和λ1,λ2,…,λr∈C,將特征多項式改寫為(T-λ1I)°(T-λ2I)°…°(T-λrI)(v)=0;最后,證明對j∈{1,…,r},(T-λjI)不可逆[6-7].

值得注意的是:上面指出的證明方法都依賴于多項式根的存在性.然而,在特征值和特征向量的定義中并未涉及多項式,并且在大多數(shù)情況下,它們的數(shù)值計算也無需求多項式的根.這就表明特征值和特征向量的存在性證明可不必依賴多項式.無獨有偶,在賦范代數(shù)的譜理論中已有類似證明,其基本思路是:假設(shè)函數(shù)λ∈C(T-λI)-1有定義. 然后, 通過Liouville定理、最大模原理、Weierstrass定理等導(dǎo)出矛盾,從而證明算子的特征值和特征向量存在[8-9].

本文給出定理1不依賴多項式和算子代數(shù)的一個非常初等的證明.之所以稱其初等是因為它只用到多變量連續(xù)函數(shù)、線性映射逆的定義和幾何級數(shù)的求和公式.

對給定的多項式P,Argand在證明代數(shù)基本定理[10]時,首先定義了函數(shù)z∈C|P(z)|,然后再證明該函數(shù)的最小值為0.受此啟發(fā),可對替代函數(shù)(v,λ)∈(V{0})×C→‖T(v)-λv‖/‖v‖作最小估計.因此,算子特征值和特征向量的存在性問題就轉(zhuǎn)化為證明替代函數(shù)的最小值為0.下面,從推導(dǎo)替代函數(shù)存在最小序?qū)θ胧诌M行證明.為便于推導(dǎo),不妨賦予V任意范數(shù).

因替代函數(shù)的值域不是緊集,故需借助有限維賦范向量空間上線性算子的有界性.為此,先給出λ的一個合理估計.

引理1 設(shè)V是C上的有限維賦范向量空間.若T:V→V是線性算子,則?C∈[0,∞)使得對?v∈V都有‖T(v)‖≤C‖v‖;進一步,對?v∈V和λ∈C,都有‖T(v)-λv‖≥(|λ|-C)‖v‖.

證明 第1個不等式是有限維賦范向量空間上線性算子的經(jīng)典結(jié)論[8].由三角不等式可得第2個結(jié)論,即

f(v,λ)>f(v0,0).

(1)

(2)

命題2表明,若最小序?qū)Σ皇蔷€性算子T對應(yīng)的特征值及特征向量,則線性算子T的特征值及特征向量將對應(yīng)另外的最小序?qū)?

引理3 設(shè)V是C上的有限維賦范向量空間,S:V→V是線性算子,σ,ω∈C,n∈N. 若對?j∈{1,…,n-1},ωj≠1且ωn=1,滿足S可逆且對?j∈{0,1,…,n-1},S-ωjσI也可逆,則

證明 首先,注意到

I-(σS-1)n=(Sn-σnI)°S-n.

(3)

對n用歸納法,可以證明

利用式(3)即可得出結(jié)論.

(4)

由式(4), 對j∈{1,…,n-1}有

另一方面,由式(4)又可得

因此,使用前面的不等式,可得

用n乘以式(4),可以推出

(5)

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