齊 琳，許靜波

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長春 130103)

多項(xiàng)式系數(shù)Pf,γ,ξ在什么條件下相等，這是很值得關(guān)注和研究的問題.S Koike[1]已經(jīng)對此進(jìn)行研究，并給出多項(xiàng)式系數(shù)Pf,γ,ξ相等的命題.J P Henry[2]對實(shí)解析函數(shù)的bi-Lipschitz不變量進(jìn)行研究.S Koike[3-4]對blow-analytic及其不變量進(jìn)行了研究.N Kuiper[5]，T-C Kuo[6]對C1-等價(jià)與解析函數(shù)芽進(jìn)行了討論.本文對同胚條件做一個(gè)改變，并證明改變之后的命題仍然成立.

1 預(yù)備知識

定義2 設(shè)映射芽h:(E,0)→(F,0)，若存在L>0及E中包含0的開子集U，使得對任意u,v∈U均有‖h(u)-h(v)‖≤L‖u-v‖，則稱h為Lipschitz映射芽.

定義3 設(shè)映射h:(E,0)→(F,0)，若h-1:(F,0)→(E,0)存在，且存在L1,L2>0及E中包含0的開子集U，使得對任意u,v∈U均有L1‖u-v‖≤‖h(u)-h(v)‖≤L2‖u-v‖，則稱h為bi-Lipschitz映射芽.

定義4ordγf是非零系數(shù)的最小指數(shù)，系數(shù)Pf,γ,ξ(z)是關(guān)于z的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，那么對于?ξ≥1，有f(λ(y)+zyξ,y)=Pf,γ,ξ(z)yordγf(ξ)+…，f為關(guān)于γ的序函數(shù)，即ordγf:[1,+)→R.

證明 由bi-Lipschitz性質(zhì)，在0∈R2的(x,y)∈Hξ(γ;M)，

最后，對于?ε>0，有0∈R2的一個(gè)鄰域Uε，使得對于(x,y)∈Hξ(γ;M)∩Uε，

g((z+α(y))yξ,y+β(y)) =((z+α(y))(y+β(y)-β(y))ξ,y+β(y))

引理3 設(shè)f,g:(Rn,0)→(R,0)是形式f(x)=fm(x)+fm+1(x)+…,fm≠0，g(x)=gk(x)+gk+1(x)+…,gk≠0的解析函數(shù)芽，假設(shè)f和g是C1-等價(jià)的，那么k=m，fm，gm是線性等價(jià)的.尤其，如果齊次多項(xiàng)式函數(shù)是C1-等價(jià)的，那么它們是線性等價(jià)的.

2 主要結(jié)果

證明 因?yàn)橛蒀1-等價(jià)?bi-Lipschitz-等價(jià)，所以由C1-同胚?bi-Lipschitz同胚，即σ:(R2,0)→(R2,0)既是一個(gè)C1-同胚，又是一個(gè)bi-Lipschitz同胚.

如果ξ=1，那么ordγf(ξ)=degPf,γ,ξ=mult0f，這個(gè)結(jié)果遵從bi-Lipschitz不變量的階.

如果σ保持y-軸，則有形式σ(x,y)=(xφ(x,y),y+ψ(x,y))，其中φ(x,y)，ψ(x,y)是連續(xù)的，并且φ(0,0)=1，ψ(0,0)=0.

由引理2，α(y)=φ(cyξ,y)-1，β(y)=ψ(cyξ,y)，其中，c∈R是一個(gè)常數(shù).那么，

f(cyξ,y)=g°σ(cyξ,y)，σ(cyξ,y)=(cyξφ(cyξ,y),y+ψ(cyξ,y))，

f(cyξ,y) =g(cyξφ(cyξ,y),y+ψ(cyξ,y))

=g(cyξ(α(y)+1),y+β(y))

3 結(jié)論

本文主要對多項(xiàng)式系數(shù)在什么情況下是相等的條件進(jìn)行了探究，證明了當(dāng)其中的一個(gè)條件即同胚條件改變后，多項(xiàng)式系數(shù)相等的結(jié)論仍成立.對于如果其它的條件改變時(shí)，結(jié)論是否成立，會在以后的探究中逐步進(jìn)行考慮.

[1]S Koike,A Parusiński.Equivalence relations for two variable real analytic function germs[J].J Math.Soc.,2013,65(1):237-276.

[2]J P Henry, A Parusi’nski.Invariants of bi-Lipschitz equivalence of real analytic functions[J].Banach Center Publications,2004,65(5):67-75.

[3]S Koike,A Parusiński.Motivic-type invariants of blow-analytic equivalence[J].Ann Inst Fourier,2003,53(8): 2061-2104.

[4]S Koike,A Parusiński.Blow-analytic equivalence of two variable real analytic function germs[J].J Math.Soc.,2010,19(3):439-472.

[5]N Kuiper.C1-equivalence of functions near isolated critical points[J].R D Anderson ed.,Annales of Math. Studies 1972,69(24):199-218.

[6]T-C Kuo,Y C Lu.On analytic function germs of complex variables[J].Topology,1997,16(9):299-310.

[7]S Koike.On strong C0-equivalence of real analytic functions[J].J Math.Soc.,1993,45(3):313-320.