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        求幾類數(shù)列公共項問題的解題策略

        2018-03-05 02:41:15唐春婷
        新課程(下) 2018年1期
        關(guān)鍵詞:中學數(shù)學

        唐春婷

        (上海市民辦遠東學校〈普通高中〉)

        一、兩個等差數(shù)列的公共項問題

        解一:為了發(fā)現(xiàn)公共項的規(guī)律,不妨將兩個數(shù)列分別列舉出一些項:

        5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41…

        3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51…

        顯然相同的項構(gòu)成的數(shù)列是11,23,35,47…

        由以上分析可知,相同項構(gòu)成以c1=11為首項,以d=12為公差的等差數(shù)列,通項公式為cn=12n-1。

        bp+1=4(p+1)-1=4p+3=3m+6=3(m+2)? {an};

        bp+2=4(p+2)-1=4p+7=3m+10=3(m+3)+1? {an};

        bp+3=4(p+3)-1=4p+11=3m+14=3(m+4)+2∈ {an};

        所以,cn+1=bp+3,cn=bp。

        cn+1-cn=bp+3-bp=12,易得公共項構(gòu)成以c1=11為首項,以d=12為公差的等差數(shù)列,通項公式為cn=12n-1。

        點評:由此可以看出新數(shù)列的公差應(yīng)是原來兩數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)。對于解一,推理不夠嚴謹,但是對于解選擇填空題,也不失為一種快速的方法。解二的推理較為嚴謹,技巧性較強,下面我們用中國剩余定理探究一下問題的本源。

        解三:顯然數(shù)列 {an}的每一項是被3除余2(也可以說被3除余-1)的自然數(shù),數(shù)列 {bn}的每一項是被4除余-1的自然數(shù),這樣兩個數(shù)列的每一項余數(shù)相同,設(shè)構(gòu)成的新數(shù)列為 {cn},根據(jù)同余,則 {cn}滿足易得cn=12k-1,又通過簡單的計算得新數(shù)列的首項為11,因此令k=n,k∈z所以cn=12n-1。

        對于三個或者三個以上等差數(shù)列,要求它們的公共項從小到大排成的新數(shù)列的通項公式,同樣可以用到中國剩余定理,轉(zhuǎn)化為有關(guān)同余的問題,關(guān)鍵先求出數(shù)列公差的最小公倍數(shù)。如假設(shè)p個等差數(shù)列 {ani},i=1,2,…,p 的通項公式分別為 an1=e1n+f1,an2=e2n+f2,…,anp=epn+fp,公差 e1,e2,…,ep全不為 0,則這 p 個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新的等差數(shù)列 {cn},新數(shù)列公差d即為的最小公倍數(shù),而新數(shù)列的首項通過簡單的計算得出。

        二、等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項問題

        例:等差數(shù)列an=4n-1,等比數(shù)列bn=3n,它們的公共項由小到大排成新的數(shù)列 {cn},求 {cn}的通項公式。

        解一:設(shè)等差數(shù)列 {an}的第m項與等比數(shù)列 {bn}的第p項相等,即 cn=am=bp,即 cn=4m-1=3p,bp+1=3·3p=3(4m-1)=4(3m-1)+1? {an},bp+2=9·3p=9(4m-1)=4(9m-2)-1∈ {an},所以 cn+1=bp+2,cn=又 c1=3,∴cn=3·9n-1=32n-1。

        解二:利用二項式定理

        設(shè) cn=am=bp,即 cn=4m-1=3p,

        當 p 為奇數(shù)時,4k+(-1)p=4k-1,即數(shù)列 {bn}的奇數(shù)項由小到大排成數(shù)列 {cn},所以 cn=b2n-1=32n-1。

        點評:對于解一,等比數(shù)列很明顯在n的值相同的情況下在數(shù)值上比等差數(shù)列增幅大,所以公共項從第二項起,應(yīng)該考慮等比數(shù)列中哪些項是等差數(shù)列中的項,對于解二,問題轉(zhuǎn)化為求p,m的不定方程,利用二項式定理求解。

        三、等差數(shù)列與多項式數(shù)列的公共項問題

        例:數(shù)列 {an}與 {bn}的通項公式分別為an=5n+4,bn=n2,它們的公共項從小到大排成新的數(shù)列 {cn},求 {cn}的通項公式。

        解:設(shè)等差數(shù)列 {an}的第m項與等比數(shù)列 {bn}的第p項相等,即 cn=am=bp,即 cn=5m+4=p2,m=考慮 p=5k-4,5k-3,5k-2,5k-1,5k 時,分情況討論:

        當p=5k時,m=5k2-?N*;當 p=5k-1時,m=5k2-2k-3?N*;5

        當 p=5k-2 時,m=5k2-4k∈N*;當p=5k-3時,m=5k2-6k+1∈N*;

        當p=5k-4時,m=5k2-8k+?N*,故當 p=5k-2,p=5k-3時,m為正整數(shù)。

        故 {cn}中的項依次為:b2,b3,b7,b8,b12,b13,…,{cn}中的奇數(shù)項依次是 b2,b7,b12,b17,…下標是以 5 為公差的等差數(shù)列;{cn}中的偶數(shù)項依次是 b3,b8,b13,b18,…下標是以 5 為公差的等差數(shù)列;當n 為奇數(shù)時,c2k-1=[2+(k-1)×5]2=(5k-3)2,當 n 為偶數(shù)時,c2k=[9+(k-1)×5]2=(5k+4)2;所以 cn=

        點評:根據(jù)本題的解題思路,可以很快找到規(guī)律解決以下問題。如數(shù)列an=3n+1,bn=n2,公共項構(gòu)成新數(shù)列 {cn}:b2,b4,b5,b7,b8,b10,…;再如數(shù)列 an=7n+2,bn=n2,公共項構(gòu)成新數(shù)列 {cn}:b3,b4,b10,b11,b17,b18,…。故對于等差數(shù)列 an=pn+q,bn=n2,首先通過計算兩個數(shù)列前p項中公共項,假設(shè)為bi,bj,則構(gòu)成的新數(shù)列 {cn}:bi,bj,bi+p,bj+p,bi+2p,bj+2p,bi+3p,bj+3p,…,奇數(shù)項及偶數(shù)項下標分別構(gòu)成以p為公差的等差數(shù)列,這樣就易算出新數(shù)列的通項公式。

        [1]陳素貞,陳麗美.中國剩余定理在求一類等差數(shù)列公共項問題的應(yīng)用[J].福建中學數(shù)學,2008(12).

        [2]戴亞寧.淺議兩個數(shù)列的公共項[J].中學數(shù)學月刊,2000(9).

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