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        透過函數(shù)圖象 看清數(shù)列背景
        ——對一類數(shù)列題的解法探究

        2018-03-05 02:41:05陳岳鵬
        新課程(下) 2018年1期
        關(guān)鍵詞:定義

        陳岳鵬

        (浙江省杭州市富陽區(qū)場口中學(xué))

        數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識內(nèi)容,在歷年的高考解答題中都占有重要地位,近年來的浙江省高考數(shù)列在簡答題中的考查更以壓軸題形式出現(xiàn),而且把數(shù)列與不等式結(jié)合起來,經(jīng)常出現(xiàn)證明數(shù)列單調(diào)性、有界性以及相關(guān)和式的收斂性問題,這就使得備考數(shù)列問題無所適從。而且,同函數(shù)等內(nèi)容一樣,學(xué)生“一講就會,一考就亂”,他們最大的困惑是:好的解題思路是從哪里來的?也就是說,在面對“山重水復(fù)疑無路”的困境時,如何找到“柳暗花明又一村”的途徑,是學(xué)生們最需解決的問題。

        我們都知道數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù),那么處理數(shù)列與不等式問題理論上也可以利用函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想。本文將通過幾個例子來說明一類數(shù)列題的解法。

        一、預(yù)備知識

        定義1:函數(shù)的不動點(diǎn),在數(shù)學(xué)中是指被這個函數(shù)映射到其自身的一個點(diǎn),即函數(shù)f(x)的取值過程中,如果有x0,使f(x)=x0,就稱x0為f(x)的一個不動點(diǎn)。對此定義,有兩方面的理解:

        (1)代數(shù)意義:若方程f(x0)=x0有實(shí)數(shù)根x0,則f(x0)=x0有個不動點(diǎn)x0。

        (2)幾何意義:若函數(shù)y=f(x)與y=x有交點(diǎn)(x0,y0),則稱x0為f(x)的一個不動點(diǎn)。

        定義2:在不動點(diǎn)x0處,若<1,則稱 x0為y=(fx)的吸引不動點(diǎn);若在不動點(diǎn)x0處,若則稱x0為y=(fx)的排斥不動點(diǎn)。

        定義3:若存在常數(shù)k,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù)x1,x2均有成立,則稱函數(shù)(fx)在定義域D上滿足利普希茨條件。

        定理1:若y=(fx)是定義在I上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),只有一個不動點(diǎn)x0,且為吸引不動點(diǎn),初始值x1≠x2,遞推數(shù)列xn+1=f(xn),n∈N*,則(1)當(dāng)f在I上遞增時,則數(shù)列xn{}單調(diào)且收斂于x0;(2)當(dāng)f在I上遞減時,則數(shù)列xn{}的兩個子列的{x2k-1}和{x2k}一遞增一遞減,且收斂于x0。

        二、解法探究

        引例:2016屆溫州市高三第一次適應(yīng)性測試中第20題

        如圖,已知曲線 C1(x>0)及曲線 C2(x>0),C1上的點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為a(10<a1<).從 C1上的點(diǎn)P(nn∈N+)作直線平行于x軸,交曲線C2于點(diǎn)Qn,再從點(diǎn)Qn作直線平行于y軸,交曲線C1于點(diǎn)Pn+1。點(diǎn)Pn(n=1,2,3…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}。

        第20題圖

        (Ⅰ)試求an+1與an之間的關(guān)系,并證明:a2n-1<<a2(nn∈N+);

        (Ⅱ)若a1=,求證n(∈N+)。

        參考答案的解法:

        (Ⅰ)由已知,P(na·n),從而有

        因?yàn)镼n在上,所以有

        由 a1>0 及 an+1=,知 an>0,

        下證

        所以an+1-=與an-異號。

        因?yàn)?0<a2n-1<,所以 a2n+1>a2n-1,

        所以有a2n>>a2n-1>a2n-3>…>a1

        從而可知 an≥a1,故有:

        對(1)的分析:不難求得an+1=,從而我們可以很容易的畫出y=x和y=的圖象,記它們的交點(diǎn)為A,原曲線C1與C2的交點(diǎn)為H,則可以解得H的橫坐標(biāo)為,它與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是一樣的,我們把稱為函數(shù)y=的不動點(diǎn)。因此從函數(shù)圖象中我們就可以看出 a2n-1<<a2(nn∈N+)這一結(jié)果,要證a2n-1<<a2(nn∈N+)只需要作差。

        對(2)的分析:當(dāng)a1=時,a2=。

        由an+1=得6an+1an=an+1,如圖,A(1a1,a2),A(2a2,a3),A3(a3,a4)…

        筆者從這道題的解法中深受啟發(fā),感受到處理數(shù)列與不等式問題可以利用函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想,透過函數(shù)圖象,可以看清某些數(shù)列的背景,從而產(chǎn)生解決思路,這應(yīng)該就是專家們說“有圖就有真相”的道理。

        我們常見數(shù)列的遞推式對應(yīng)的函數(shù)主要為以下幾個重要的初等函數(shù):(1)f(x)=a+(3)f(x)=ax2+bx+c

        下面逐一舉例說明:

        (選自2015年浙江測試卷(理科)中第20題。)

        已知數(shù)列an{}滿足

        (Ⅱ)記Sn為數(shù)列的前 n 項(xiàng)和N*)證明:

        析:解法基本與上面的引例一致。

        事實(shí)上:由已知可得 an∈(0,1],

        所 以 2an+1>1, 故

        (2)因?yàn)?n≥2時,

        但需要用作差法去證明這一結(jié)果。

        然后就有:

        已知數(shù)列an{}滿足

        (II)若 a1=4記,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:對第(2)題進(jìn)行分析:畫出函數(shù)y=x與,記兩個圖象的交點(diǎn)為A,可以計(jì)算得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,即2是函數(shù)的不動點(diǎn)。從圖中可得數(shù)列an{}單調(diào)遞減且有界an∈(2,4],事實(shí)上,由題意可得an>0,an+1-2=(-4an+4)=因?yàn)?a1=4,所以 an>2。

        3.數(shù)列遞推式對應(yīng)函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c解法舉例(選自2015學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題理科第20題)

        已知各項(xiàng)為正的數(shù)列an{}滿足

        (I)證明:0<an<an+1<1(n∈N*);

        (II)求證:a1+a2+…+an>n-

        析:(1)an{}是正項(xiàng)數(shù)列,畫出函數(shù)y=x與y=的圖象,記兩個圖象的交點(diǎn)為A,可以計(jì)算得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,即1是的不動點(diǎn)。從圖象中可以看出an{}是遞增數(shù)列,且an∈(0,1)。事實(shí)上,

        因?yàn)?an>0,an-1<0,根據(jù)保號性得-1<0,所以 0<an+1<1,

        (2)只需要證明(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)

        也等價于證明(1-a1)+(1-a2)+…+(1-an)

        數(shù)列遞推式對應(yīng)函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c利用圖象能看清背景的稍微少一些,因?yàn)橐远纬霈F(xiàn)的遞推式最后的和式基本都是經(jīng)過變形的。

        三、歸納小結(jié)

        通過以上例子分析可以看出,如果數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)圖象能夠分成y=x與y=f(x)畫出,并找到不動點(diǎn),根據(jù)圖象去證明函數(shù)的單調(diào)性情況,有界情況,證明和式的收斂性就可以迎刃而解,所以對此類問題的解決步驟可以歸納如下:

        總之,數(shù)列題作為壓軸題出現(xiàn)時,一定是有難度的。這就要求教師在幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)列備考時,要在學(xué)生創(chuàng)新意識培養(yǎng)方面多花時間和精力,要讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識和基本方法的基礎(chǔ)上,有多次解題思路的分析與嘗試的經(jīng)歷,使他們具有在考場產(chǎn)生頓悟的能力。

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