李新運，劉 君，楊志恒

(1.山東財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，山東濟南 250014；2.山東財經(jīng)大學(xué)區(qū)域經(jīng)濟研究院，山東濟南 250014)

一、引 言

風險決策問題一直是管理學(xué)、心理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)非常關(guān)心的未解之謎[1-2]。決策是一個過程，該過程是為實現(xiàn)某種目標而對未來一定時期內(nèi)有關(guān)活動的方向、內(nèi)容及方式的選擇或調(diào)整[3-4]。因此，科學(xué)有效的風險決策評價方法是風險決策成敗的關(guān)鍵。

迄今為止，得到廣泛應(yīng)用的基本風險評價準則是期望值準則，該準則由Neumann和Morgenstern[5]在Bernoulli的“圣彼得堡悖論”[6]基礎(chǔ)上提出，其判據(jù)是方案條件結(jié)果的期望或者期望效用值。隨著風險評價問題的日益復(fù)雜化，該準則呈現(xiàn)出較多的不足之處[7-8]：只考慮了方案的收益性，僅僅從收益這個方面來評價各個方案的優(yōu)劣，并進行排序，而沒有考慮決策者對決策結(jié)果所發(fā)揮的重要性、關(guān)鍵性作用，也就是說沒有反映出決策者對待風險的態(tài)度。而確定性等價收益模型的提出，彌補了基本風險評價準則存在的不足。該模型常被應(yīng)用于委托代理領(lǐng)域，由期望收益減去風險成本計算得到[9]。由此可見，該模型綜合考慮了收益與風險兩個因素，且模型中的風險成本函數(shù)與體現(xiàn)參與人風險態(tài)度的絕對風險規(guī)避度[10-11]緊密聯(lián)系。然而，參與人作為決策主體，他們選擇策略的目標是效用最大化[12-13]，因此，用效用函數(shù)對收益函數(shù)進行替代，更加符合客觀實際。對于效用函數(shù)的構(gòu)建，學(xué)術(shù)界的討論較為少見[14-15]，姜青舫給出一條可用于更廣泛情形的定理，這條定理證明，遞減的風險厭惡效用函數(shù)可一般地由定?；蜻f減的風險厭惡效用函數(shù)經(jīng)有限次相加而構(gòu)成；韓中庚給出了風險喜好型和風險厭惡的非線性效用函數(shù)的構(gòu)造，并給出了兩類函數(shù)的構(gòu)造方法。

為了更加準確地表達風險對決策結(jié)果的影響，本文選取確定性等價收益作為評價模型，對風險決策問題進行研究；同時，創(chuàng)新性地利用風險規(guī)避度函數(shù)對效用函數(shù)進行推導(dǎo)，使風險態(tài)度在決策過程中得到更為合理準確的量化；并根據(jù)計算得到的確定性等價收益值進行方案排序。最后，利用山東半島藍色經(jīng)濟區(qū)各縣區(qū)的數(shù)據(jù)進行案例分析，研究結(jié)果表明，確定性等價收益模型及本文基于風險規(guī)避度函數(shù)推導(dǎo)得到的效用函數(shù)，具有較大的理論意義與應(yīng)用價值。

二、確定性等價收益評價模型簡介

隨機性收益的確定性等價收益CE，就是把隨機性收益轉(zhuǎn)變?yōu)槠谕找鍱(x)，并扣除風險成本RC。具體公式表示如下：

由公式可知，確定性等價收益值越高，對應(yīng)的決策方案越好。該決策模型既考慮了實際問題的期望收益，也考慮了其中的風險成本，是一個對收益與風險進行綜合衡量的風險決策模型。因此，在實際決策過程中，采用該模型作為評價模型，對各個決策方案進行評價，會得到更為合理準確的評價結(jié)果。

在實際決策問題中，經(jīng)常會包含許多隨機因素或者不確定因素。因此，隨機決策有兩個基本特點，即決策的隨機性與決策結(jié)果值的效用特征[8]。決策問題的每種結(jié)果對于決策者都有一定的效用，即在有風險的情況下決策人對每種方案的決策結(jié)果是有偏好的[12]。為考慮效用這一特征，本文將公式(1)中的期望收益E(x)看作期望效用u(x)，即將初始收益決策矩陣通過效用函數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的效用決策矩陣，進而對各方案的確定性等價收益進行計算，篩選出最優(yōu)方案。

(一)效用函數(shù)

在消費者行為中，效用函數(shù)通常用來表示消費者在消費中所獲得的效用與所消費的商品組合之間數(shù)量關(guān)系的函數(shù)，以衡量消費者從消費既定的商品組合中所獲得滿足的程度；在投資者行為中，效用函數(shù)用來表示投資者所獲得的效用與得到的投資收益之間數(shù)量關(guān)系的函數(shù)，以衡量投資者從投資收益中所獲得滿足的程度。同時，用不同類型的效用函數(shù)也可以表征決策者對風險的不同態(tài)度[8]。常用的幾個效用函數(shù)如下：

公式(2)中，當α＜1，α＝1，α＞1時，分別表示決策者為風險規(guī)避、風險中立、風險喜好型的；公式(3)、(4)具有不變的絕對風險規(guī)避度ρ(后文有具體推導(dǎo))，且當ρ＞0，ρ＝0，ρ＜0時，分別表示決策者為風險規(guī)避、風險中立、風險喜好型的。

(二)風險成本函數(shù)

風險成本表示投資者感覺到的以貨幣單位表示的風險損失，表示如下：

式中，ρ為絕對風險規(guī)避度，表示主觀上對風險的態(tài)度；σ2為收益x的方差，表示客觀上風險程度的高低。在金融經(jīng)濟學(xué)、證券投資學(xué)里面，風險成本一般稱為風險溢價或風險報酬。

(三)風險規(guī)避度函數(shù)

效用函數(shù)與風險成本函數(shù)中提到的絕對風險規(guī)避度ρ，與相對風險規(guī)避度ρr總稱為風險規(guī)避度[16]。相對風險規(guī)避度(相對風險規(guī)避系數(shù))在解決實際問題時較少使用，這里重點對絕對風險規(guī)避度進行介紹。

Arrow[10]和Pratt[11]提出風險厭惡理論，并定義了絕對風險規(guī)避度，即為

公式(5)中，當ρ＞0，ρ＝0，ρ＜0時，分別風險規(guī)避、風險中立、風險喜好。且ρ值越大，意味著風險規(guī)避程度越高，決策者越害怕風險。

三、根據(jù)絕對風險規(guī)避度函數(shù)求解效用函數(shù)

通常情況下，已知效用函數(shù)就可以根據(jù)定義求出絕對風險規(guī)避度函數(shù)。但是，在現(xiàn)實情況中，風險規(guī)避函數(shù)比效用函數(shù)更能準確直觀地體現(xiàn)決策者在決策時對待風險的態(tài)度。所以，根據(jù)給定的風險規(guī)避度函數(shù)求解出對應(yīng)的效用函數(shù)，具有理論分析和實際應(yīng)用方面的需要。然而，現(xiàn)有的相關(guān)研究很少涉及該過程的推導(dǎo)，因此下文將對該求解過程進行進一步的闡述。

根據(jù)絕對風險規(guī)避度的定義公式(6)，可以得到二階微分方程u″(x)+ρ(x)u′(x)＝0。 為了降階，令v＝u′，微分方程變?yōu)椋簐′(x)+ρ(x)v(x)＝0。對降階后的微分方程分離變量，得到dx。求解分離變量后的微分方程得到

最終，得到效用函數(shù)

由公式(8)可知，要想求出具體的的表達式，需要給出絕對風險規(guī)避度函數(shù)的具體表達式，不失一般性，假定冪函數(shù)型的絕對風險規(guī)避度函數(shù)為

式中，參數(shù)取值范圍的確定原則是假定投資者為風險規(guī)避或風險中性的，即絕對風險規(guī)避度隨著收益值的增加而減小，即收入越高越不害怕風險[9]。根據(jù)參數(shù)b的取值不同，分兩種情況進行討論。

(1)當b＝-1時，此時有

再根據(jù)a＝1和a≠1，分兩種情況進行分析如下。

①如果a＝1，根據(jù)(8)式得到u(x)＝ec1lnx+c2。

根據(jù)邊界條u(1)＝0，u(xm)＝1，得到所以有最后得到歸一化的效用函數(shù)為

②如果a≠1，同理可得歸一化的效用函數(shù)為

(2)當b≠-1時，此時有則效用函數(shù)為

根據(jù)參數(shù)b的具體取值，分3種情況進行求解。

這些具體的效用函數(shù)可以根據(jù)下面的兩個不定積分公式

分別求解出來，這里不再贅述。只是此時得出的效用函數(shù)表達式更加復(fù)雜，更加偏向于理論意義。另外，對于指數(shù)型的絕對風險規(guī)避度函數(shù)ρ(x)＝aebx(a＞0，b≤0)，也可以根據(jù)(7)、(8)兩式進行類似的分析。

四、案例分析

本文以山東半島藍色經(jīng)濟區(qū)7個地市54個縣區(qū)的數(shù)據(jù)進行驗證。由于濱州只有無棣、沾化兩個縣區(qū)位于藍色經(jīng)濟區(qū)范圍內(nèi)[17]，為便于最后的比較分析，本文選取濱州整個地市所有縣區(qū)的數(shù)據(jù)進行研究。所用數(shù)據(jù)取自2016年《山東統(tǒng)計年鑒》，為使數(shù)據(jù)之間橫向可比，本文采用相對指標。按照人均固定資產(chǎn)投資完成額(T)情況進行投入方案的劃分，選取規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)利稅總額占主營業(yè)務(wù)收入比重(C)來衡量各縣區(qū)的產(chǎn)出狀態(tài)，從而構(gòu)造出收益決策矩陣。再根據(jù)給定的三種風險規(guī)避度函數(shù)，求解對應(yīng)的效用函數(shù)，得到效用決策矩陣。最后，計算得到各方案的確定性等價收益值，并據(jù)此進行方案排序。

(一)構(gòu)建收益決策矩陣

按投入指標T水平高低，將各縣區(qū)劃分為三個等級，作為三種投入方案a1，a2，a3，a1，a2，a3分別表示人均固定資產(chǎn)投資完成額低于50 000元/人、50 000～100 000元/人、高于100 000元/人；然后，按產(chǎn)出指標C的大小分為三種產(chǎn)出的自然狀態(tài)θ1，θ2，θ3。產(chǎn)出狀態(tài)θ1，θ2，θ3分別表示規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)利稅總額占主營業(yè)務(wù)收入比重低、中、高三種情況。表中θ1，θ2，θ3分別表示三種自然狀態(tài)，p1，p2，p3分別表示三種自然狀態(tài)的概率，下文同。

各投入方案不同產(chǎn)出狀態(tài)所包含的縣區(qū)如表1所示。

表1 各縣區(qū)所屬投入方案及產(chǎn)出狀態(tài)

每一投入方案每種產(chǎn)出狀態(tài)下各縣區(qū)的產(chǎn)出水平求均值，作為各方案在不同產(chǎn)出狀態(tài)下的條件收益值。如表2所示。

表2 收益決策矩陣

(二)方案評價

如前文所述，進行方案評價時，首先要給定該風險決策問題的絕對風險規(guī)避度函數(shù)，進而求出每一風險規(guī)避度函數(shù)對應(yīng)的效用函數(shù)，根據(jù)效用函數(shù)將原收益決策矩陣轉(zhuǎn)化為效用決策矩陣，計算出各個方案對應(yīng)的確定性等價收益值，據(jù)此進行比較排序，篩選出最優(yōu)方案。

本文對風險規(guī)避度函數(shù)分三類進行假設(shè)，包括風險規(guī)避度恒為0、風險規(guī)避度恒為常數(shù)a(a＞0)及風險規(guī)避度函數(shù)為一般形式，即ρ(x)＝axb，a＞0，b＜0。

(1)風險規(guī)避度為0。此時，決策者對待風險的態(tài)度為風險中立，即ρ＝0，則α＝1，效用函數(shù)為u(x)＝cxα＝cx，c＞0。這里假設(shè)c＝1，得到效用函數(shù)u(x)＝x，即條件收益值即為效用值，效用決策矩陣與收益決策矩陣相同。此時，各方案的確定性等價收益值如表3所示。表中，E(x)、RC、CE分別表示各方案的期望效用值、風險成本、確定性等價收益，下文同。

表3 方案效用決策矩陣及確定性等價收益得分

從表3中可以看出，當風險規(guī)避度為0，即決策者對風險保持中立態(tài)度時，風險成本RC為0，各方案的確定性等價收益值即為對應(yīng)的期望效用值。最終得到的方案排序從優(yōu)到劣表示為a3＞a2＞a1。即不考慮風險因素時，固定資產(chǎn)投入越多，經(jīng)濟產(chǎn)出效果便越好。

(2)風險規(guī)避度為a(a＞0)。此時，決策者對風險持有規(guī)避態(tài)度，且規(guī)避程度始終不變，即ρ＝a(a＞0)。同時，b＝0，按前文推導(dǎo)可知，此時效用函數(shù)為u(x)＝1-e-ax。若假設(shè)a＝1，得到效用函數(shù)u(x)＝1-e-x，風險成本函數(shù)各方案的效用決策矩陣及確定性等價收益值如表4所示。

表4 方案效用決策矩陣及確定性等價收益得分

分析表4可以知道，當決策者對待風險的態(tài)度是風險規(guī)避時，每個方案均存在一定的風險成本。此時，確定性等價收益值不再簡單的等于期望效用值，而成為期望效用值與風險成本之差，所以，最終的決策結(jié)果不僅僅對效用進行考量，更考慮到了風險成本這一因素。所以，此時的方案排序會發(fā)生變化，變?yōu)閍1＞a2＞a3。在風險規(guī)避程度為0時篩選出的最優(yōu)方案a3，此時卻成為最劣方案。

顯然，固定資產(chǎn)投入越高，投資者承擔的風險便越大，因此當考慮風險因素時，原本最優(yōu)但風險最大的方案a3，此時便成為最差的投入方案。且經(jīng)驗證，當a取值為0.1、0.5、0.8時，方案排序均為a1＞a2＞a3。由此可見，此評價結(jié)果較為穩(wěn)定，且符合客觀實際。

(3)風險規(guī)避度函數(shù)為一般形式，即為ρ(x)＝axb，a＞0，b＜0。此時，決策者同樣是風險規(guī)避的，但對風險的規(guī)避程度隨著收益值x的變化而變化。本文假設(shè)值得注意的是，此時風險成本函數(shù)為每個方案的風險成本不再是簡單的一個常數(shù)，而應(yīng)為由風險成本矩陣計算得到的期望風險成本。按前文推導(dǎo)可知，此時效用函數(shù)為故而得到各方案效用決策矩陣與確定性等價收益值如表5所示。

表5 方案效用決策矩陣及確定性等價收益得分

由于此時效用函數(shù)發(fā)生變化，且每個方案的風險成本不再是固定的常數(shù)而與收益值密切相關(guān)，所以與表4相比，表5中各方案的期望效用與風險成本均發(fā)生改變，方案的最終排序也不一致，此時為a1＞a3＞a2。且當a取值為 0.1 時，方案排序仍為a1＞a3＞a2；而當a取 0.5、0.8 時，方案排序變?yōu)閍1＞a2＞a3。

(4)結(jié)果總結(jié)。分析各方案在設(shè)計的三種風險規(guī)避度函數(shù)下的排序結(jié)果可以看出，當決策者對待風險的態(tài)度不同時，會導(dǎo)致不同的決策結(jié)果。

當為風險中立時，即忽略風險因素的影響，此時風險成本為0，最終每一方案的確定性等價收益值即為期望收益值，得到的方案排序為a3＞a2＞a1；當為風險規(guī)避時，本文又分為兩種情況進行分析，第一，風險規(guī)避度恒為大于0的常數(shù)，此時考慮了風險成本，但決策者對待風險的規(guī)避程度始終不變，最終得到a1＞a2＞a3的方案排序；第二，風險規(guī)避度函數(shù)是一般形式，即隨著收益值x的增大，風險規(guī)避程度減小，決策者對待風險的規(guī)避程度是不斷變化的。此時，最終的方案排序隨著常數(shù)a取值的不同而不同。

五、結(jié)論與啟示

本文以山東半島藍色經(jīng)濟區(qū)各縣區(qū)數(shù)據(jù)為例，以確定性等價收益為評價模型，創(chuàng)新性的從風險規(guī)避度函數(shù)出發(fā)，對相應(yīng)的效用函數(shù)進行推導(dǎo)，最終計算得到各方案的確定性等價收益值，據(jù)此進行方案排序。在三種不同的風險規(guī)避度函數(shù)下，計算得到了不同的評價結(jié)果，分析該結(jié)果，得到的結(jié)論與啟示如下：

(1)成立專門的風險評估機構(gòu)，降低政策的風險成本。對決策方案進行評價時，要綜合考慮收益與風險兩個因素，且對于風險因素，決策者風險態(tài)度不同，會導(dǎo)致不同的決策結(jié)果。由案例分析結(jié)果可知，當決策者對待風險的態(tài)度分別為風險中立、風險規(guī)避時，篩選出的最優(yōu)方案是不同的，且最終的方案排序差距較大。所以，針對藍色經(jīng)濟區(qū)以及其他相關(guān)地區(qū)的政府決策，進行風險與收益評估，是十分必要的；(2)建立相應(yīng)的測評小組，對決策者的風險態(tài)度進行準確合理的量化。在決策過程中需要考慮風險因素，同時參與人作為決策主體，其風險態(tài)度發(fā)揮的重要作用同樣不容忽視，因此對決策者的風險態(tài)度進行準確合理的量化也是十分重要的；(3)應(yīng)基于變化的風險規(guī)避度，對政府決策風險進行測度。風險規(guī)避的決策者，其對風險的規(guī)避程度變化狀態(tài)不同，會導(dǎo)致不同的決策結(jié)果。案例分析結(jié)果表明，當決策者對待風險的規(guī)避程度始終不變時，得到的方案排序，與風險規(guī)避程度不斷變化時得到的方案排序存在一定的差異。而在實際決策過程中，風險的規(guī)避程度往往不是一成不變的。因此，藍色經(jīng)濟區(qū)相關(guān)政府機構(gòu)進行決策過程中，要依據(jù)變化的風險規(guī)避度對風險加以衡量，以篩選出最符合實際的決策方案。

本文選擇的評價模型即確定性等價收益模型，綜合了收益與風險兩個因素，同時，由風險規(guī)避度函數(shù)推導(dǎo)出來的效用函數(shù)，對風險決策態(tài)度體現(xiàn)得更為準確細致，得到的研究結(jié)果符合客觀實際。因此，本文的研究方法具有較大的創(chuàng)新性與應(yīng)用價值。但由于客觀條件限制，本文在利用風險規(guī)避度函數(shù)推導(dǎo)效用函數(shù)過程中，對b≠-1時，只考慮了取值有一定規(guī)律性的情況，對其他取值情況，有待進一步的研究。

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