☉浙江衢州市衢江區(qū)杜澤鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 徐建兵

隨著課堂教學(xué)改革的進(jìn)一步深入，作為評(píng)價(jià)機(jī)制的中考也在不斷變化，數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容和形式更加注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.即學(xué)即用是學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力與品質(zhì)的體現(xiàn)，浙江省特級(jí)教師朱先東老師在2015年省中考命題培訓(xùn)的學(xué)業(yè)考試質(zhì)量評(píng)價(jià)中，就試卷的導(dǎo)向性提到了“即學(xué)即用導(dǎo)向能力”.縱觀(guān)近年各地中考，新定義題屢屢出現(xiàn)在中考的關(guān)鍵題中，僅2016年浙江省就有衢州、舟山、臺(tái)州和寧波4個(gè)地區(qū)在關(guān)鍵題中出現(xiàn)新定義題，可見(jiàn)這種題的熱門(mén)程度.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終.而自主學(xué)習(xí)是創(chuàng)新能力的有效保障，因此中考中需要借助某些題型，給學(xué)生一個(gè)從未接觸的新概念或新事物，要求學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的品質(zhì).函數(shù)圖像是一種特殊的圖形，它能把數(shù)、形和式有效地結(jié)合在一起，是一個(gè)非常好的命題素材，筆者在此談?wù)劷柚魏瘮?shù)命制新定義試題的幾點(diǎn)思考.

一、借助式子考查思維能力

例1 （2015年浙江·衢州卷第22題）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c（1a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c（2a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿(mǎn)足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.小明是這樣思考的：由函數(shù)y=-x2+3x-2可知a1=-1，b1=3，c1=-2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2、b2、c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

參考答案：（1）y=x2+3x+2.

（3）由已知得A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），則A（11，0）、B（1-4，0）、C（10，-2）.經(jīng)過(guò)A1、B1、C1的二次函數(shù)的解析式為原函數(shù)的解析式為

由a1+a2=-得這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

【題后思考】本題的命制思路是尋找自主學(xué)習(xí)素材，呈現(xiàn)思維過(guò)程，考查學(xué)生的即學(xué)即用能力.浙江省教育廳在浙教基〔2015〕36號(hào)文件《浙江省教育廳關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》中提到：改革傳統(tǒng)低效的課堂教學(xué)模式，推進(jìn)體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)改革.自主學(xué)習(xí)能力已成為課堂教學(xué)中急需培養(yǎng)的學(xué)生能力之一，也是所有能力的基本保障.本題是2015年浙江省衢州市中考第22題，考題的位置決定了題型與難度.本題從二次函數(shù)的“式”著手，“式”的特殊性決定了形的“旋轉(zhuǎn)”性.從而引出“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的新定義，把二元一次方程組和乘方的知識(shí)融入其中，同時(shí)考查學(xué)生代數(shù)的推理能力.題中給出小明的思維過(guò)程，意在讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)理解這一思考過(guò)程，在即學(xué)即用理解定義的同時(shí)考查學(xué)生的思維能力.

二、借助圖形考查學(xué)習(xí)能力

例2（2016年浙江·衢州調(diào)研卷第23題）我們把經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)落在同一直線(xiàn)上的所有拋物線(xiàn)稱(chēng)為這條直線(xiàn)的串頂拋物線(xiàn).

（1）若y1=-x2+2x和y2=-x2+2x是直線(xiàn)y=kx+b的串頂拋物線(xiàn)，求出這條直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.

（2）證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-mx2+2mx+m-2是直線(xiàn)y=2x的串頂拋物線(xiàn).

（3）如圖1，所有拋物線(xiàn)是直線(xiàn)y=x+2的串頂拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)A1、A2、A3、A4、…、An的橫坐標(biāo)分別是1、2、3、4、…、n，嘗試用含n的代數(shù)式表示拋物線(xiàn)yn的函數(shù)表達(dá)式.

圖1

參考答案：（1）y1的頂點(diǎn)為（1，1），y2的頂點(diǎn)為（2，2）.設(shè)這條直線(xiàn)的表達(dá)式為y=kx+b.

（2）由y=-mx2+2mx+m-2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得m=2，則y=-2x2+4x，其頂點(diǎn)為（1，2）.點(diǎn)（1，2）在直線(xiàn)y=2x上，則拋物線(xiàn)y=-mx2+2mx+m-2是直線(xiàn)y=2x的串頂拋物線(xiàn).

（3）yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（nn，n+2），則

【題后思考】本題的命制思路是順應(yīng)代數(shù)概念教學(xué)的過(guò)程，給學(xué)生一個(gè)從未接觸的新概念，要求學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，考查學(xué)生的閱讀理解能力、接受能力、應(yīng)變能力，以及自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究的品質(zhì).在初中階段，概念教學(xué)分量很重，與小學(xué)相比，更加理性化，學(xué)生對(duì)概念的理解與應(yīng)用便成了自主學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，與上題相比，本題的設(shè)計(jì)都是圍繞著概念的理解，題中并未呈現(xiàn)解決問(wèn)題的思維方法，相對(duì)難度會(huì)較大.第（1）題理解概念寫(xiě)出例子，這也是概念教學(xué)中教師經(jīng)常要求學(xué)生做的一件事.第（2）題理解概念進(jìn)行證明，需要學(xué)生對(duì)概念有較好的理解，并能根據(jù)過(guò)原點(diǎn)（0，0）求出m的值，再根據(jù)m的值求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，該頂點(diǎn)在直線(xiàn)上從而得到證明，體現(xiàn)學(xué)生代數(shù)的推理能力.在課堂教學(xué)中，判定定理的出現(xiàn)都需要依托于概念進(jìn)行推理，這也是順應(yīng)概念教學(xué)的一個(gè)過(guò)程.第（3）題是概念的一種應(yīng)用.三個(gè)問(wèn)題的設(shè)問(wèn)都是圍繞著概念教學(xué)的過(guò)程，它們的解決都要求學(xué)生對(duì)概念有較深的理解，并能利用概念解題，這就要求教師在課堂教學(xué)中不但要教給學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、知識(shí)遷移能力.要能夠依托學(xué)生的已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生自覺(jué)接受新知識(shí)提供一個(gè)切入點(diǎn)，使新知識(shí)的生成與發(fā)展基于學(xué)生熟悉的某個(gè)情境，真正做到學(xué)生新知的自我構(gòu)建，為學(xué)生的實(shí)踐運(yùn)用與后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

三、借助規(guī)律考查創(chuàng)新能力

例3 （2017年浙江·衢州適應(yīng)性練習(xí)第23題）我們把經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)落在第一象限內(nèi)同一條正比例函數(shù)圖像上的一組拋物線(xiàn)稱(chēng)為關(guān)于這個(gè)正比例成串頂拋物線(xiàn). 例如y1=-x2+2x的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)（2，2）、y3=-1 3x2+2x的頂點(diǎn)（3，3）都在正比例函數(shù)y=x上，我們把和稱(chēng)為關(guān)于正比例y=x成串頂拋物線(xiàn).

（1）寫(xiě)出兩支關(guān)于正比例y=2x成串頂拋物線(xiàn)的拋物線(xiàn)關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若關(guān)于直線(xiàn)y=kx成串頂拋物線(xiàn)y=ax2+bx，觀(guān)察以上函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)b和正比例函數(shù)的k，試猜想b與k之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)自己的猜想進(jìn)行證明.

參考答案：（1）y=-2x2+4x，頂點(diǎn)為（1，2），y=-x2+4x，頂點(diǎn)為（2，4）（答案不唯一，只要b=4，c=0即可）.

（2）猜想結(jié)論：b=2k.

證明：y=ax2+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)為將其代入y=kx，得則b=2k.

【題后思考】本題的命制思路是構(gòu)造定義，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行猜想推理和應(yīng)用.即學(xué)即用，考查學(xué)生合情推理和演繹推理的能力，以及學(xué)生的創(chuàng)造性思維.《標(biāo)準(zhǔn)》指出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；能為學(xué)生未來(lái)生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ).本題在定義的構(gòu)建時(shí)模仿了教材的代數(shù)定義，教材中對(duì)代數(shù)進(jìn)行定義都需要一定的實(shí)例，這樣會(huì)使得定義更加規(guī)范，更容易被學(xué)生接受.本題與上題相比，側(cè)重點(diǎn)放在了合情推理與演繹推理上，第（1）問(wèn)概念理解，通過(guò)概念寫(xiě)出兩支關(guān)于正比例y=2x成串頂拋物線(xiàn)的拋物線(xiàn)關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，這與題干中的三個(gè)例子為第（2）問(wèn)發(fā)現(xiàn)與猜想規(guī)律作好鋪墊.推理能力是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的能力，合情推理（包括類(lèi)比與歸納）與演繹推理（包括計(jì)算）貫穿了數(shù)學(xué)的始終.猜想與證明體現(xiàn)了創(chuàng)新的品質(zhì).第（3）問(wèn)是規(guī)律的應(yīng)用.創(chuàng)新能力離不開(kāi)大膽的猜想，不斷嘗試，不斷否定，不斷發(fā)現(xiàn)，這也正是命題組的命題目的之一.通過(guò)改編，從概念的理解到性質(zhì)的探究和應(yīng)用，體現(xiàn)新定義命題的一般模式.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中.學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，課堂教學(xué)的重心本應(yīng)放在學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展上，課堂中教師講得再好，脫離了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)都是無(wú)效的.因此，在課堂中必須把課堂的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，把閱讀課本和思考解決問(wèn)題的時(shí)間和空間留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)與人交流，在交流中獲得共贏.隨著課程改革在浙江的推進(jìn)與落實(shí)，一線(xiàn)教師也越來(lái)越感覺(jué)到自己教學(xué)中一講到底的方法已不再適應(yīng)現(xiàn)在的學(xué)生，都在努力嘗試尋找和實(shí)踐一種新的以學(xué)生為主體的教學(xué)方法，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)成為一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，讓動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方式，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程.作為評(píng)價(jià)的核心工具，中考試卷的內(nèi)容和形式也必須進(jìn)行變化，順應(yīng)新的教學(xué)理念，考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，即學(xué)即用體現(xiàn)過(guò)程性學(xué)習(xí)、即學(xué)即用順應(yīng)概念教學(xué)和即學(xué)即用凸顯創(chuàng)新的品質(zhì).

1.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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3.鄧文忠.中考新定義拋物線(xiàn)問(wèn)題探析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（2）.

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