☉山東省煙臺市教育科學(xué)研究院 辛珍文

圖形的旋轉(zhuǎn)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中占據(jù)非常重要的地位，它貫穿于三角形、四邊形、圓等幾乎所有重要的幾何內(nèi)容之中，在近幾年的中考試題中所占的比重不斷上升，是中考的熱點，而且相關(guān)試題往往構(gòu)思巧妙，令人耳目一新，學(xué)生在解決這類問題時倍感困難，經(jīng)常沒有頭緒.本文試圖從三個層次來幫助學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)的特征，以期幫助學(xué)生抓住旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，從而輕松解決問題.

一、按指令旋轉(zhuǎn)

例1如圖1，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

圖2

圖1

解析：如圖2，△A′CB′為所求.

由本題我們可以歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的特征：（1）圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對應(yīng)角相等；（4）圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.深入研究一下，還可以得到：對應(yīng)的直線也旋轉(zhuǎn)了相同的角度，比如，此題中的直線AB和直線A′B′也互相垂直.

二、會識別旋轉(zhuǎn)

通過例1的練習(xí)，對于旋轉(zhuǎn)中心為圖形的某個頂點的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生是很容易識別的，但對于那些旋轉(zhuǎn)中心不是頂點的，學(xué)生識別起來還是有些困難的.比如例2.

例2 如圖3，△A′B′C′是△ABC繞點O按一定角度旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，求作點O.

圖3

圖4

解析：如圖4，因為對應(yīng)點A、A′到旋轉(zhuǎn)中心O的距離相等，所以點O在線段AA′的中垂線上，同理點O也在線段CC′的中垂線上.連接AA′、CC′，作AA′、CC′的中垂線，交點即為點O.

通過例2的練習(xí)，學(xué)生對于旋轉(zhuǎn)的識圖能力有了進一步的提升，解決像例3和例4這樣的問題，就很容易了.

例3如圖5，菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且∠B=∠EAF=60°，求證：AE=AF.

圖5

圖6

解析：如圖6，連接AC，證明△ABE≌△ACF（ASA）即可.

事實上，△ACF可以看成是△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°而成的，其實旋轉(zhuǎn)為我們認識全等提供了一個新的角度，即從動態(tài)的角度來重新認識全等.觀察圖2、圖4，我們可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)必然會產(chǎn)生“有公共頂點的等線段圖形”（線段和中點、等腰三角形、菱形、正方形等），反之，“有公共頂點的等線段圖形”（線段的中點、等腰三角形、菱形、正方形等）中必然隱藏著旋轉(zhuǎn)型全等，我們只需找到它們，問題便隨之解決.

例4 如圖7，以△ABC的邊AB、AC為邊分別作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由.

圖7

圖8

解析：如圖8，不難猜想△ABC與△AEG的面積相等，可以考慮讓它們的底邊相同，因此作CM⊥AB交AB于點M，作GN⊥EA交EA的延長線于點N.只需證GN=CM，而這由△AMC≌△ANG即可得到.其實△AMC與△ANG也是一對旋轉(zhuǎn)型的全等.

三、會構(gòu)造旋轉(zhuǎn)

事實上，讓大部分學(xué)生感到困難的并不是去發(fā)現(xiàn)題目圖形中隱藏著的旋轉(zhuǎn)，而是何時需要去構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等.上面的解題經(jīng)驗告訴我們，若題目中出現(xiàn)了“有公共頂點的等線段圖形”，比如，線段的中點、等腰三角形、菱形、正方形等，可能就需要我們主動構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，特別是當(dāng)題目中的條件比較分散或條件雖然是集中的但無法解決所求問題時，通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，可以使得題目中的條件重新集中，從而解決問題.

例5如圖9，在等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC內(nèi)一點，且∠ADB=∠ADC，求證：∠DBC=∠DCB.

解析：雖然題目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但無法證明△ABD和△ACD全等，所以需要把條件轉(zhuǎn)移之后再利用，AB=AC提供了將△ABD旋轉(zhuǎn)的依據(jù).因此，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACD′，連接D′D.易證∠CDD′=∠CD′D，從而CD=CD′，故CD=BD，即∠DBC=∠DCB.

圖9

圖10

例6如圖10，已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).

（1）當(dāng)∠APB=45°時，求PD的長；

（2）當(dāng)∠APB變化，且其他條件不變時，求PD的最大值，以及相應(yīng)∠APB的大小.

解析：在△APD中，雖然知道PA、AD的長度，但沒有角度，因此無法求解PD.由于AB=AD，所以可以嘗試將△PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△EAB，連接EP，在△EPB中求出EB為2可得PD也為在第（2）問中，依此思路，易求得EB的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)E、P、B三點共線，即當(dāng)∠APB為135°時，PD取得最大值6.

如果題目中出現(xiàn)了線段的中點，我們可以把某個三角形繞著中點旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱型全等（同時形成“附屬產(chǎn)物”平行四邊形），使題目中的條件集中，從而解決問題.我們熟悉的“倍長中線”便是其中的一種特殊情形.

例7如圖11，點D是△ABC的邊AC上一點，且AB=CD，∠BAC=60°，點E是BD的中點，若AE=4，求BC的長.

圖11

圖12

解析：題中的“AB=CD，∠BAC=60°”這兩個條件比較分散，無法使用，考慮到點E是BD的中點，因此延長AE到F，連接FB、FC、FD.這樣一來，△FDE≌△ABE，所以DF=AB=CD.又∠CDF=∠BAC=60°，故△DCF為等邊三角形.所以CF=CD，CF=AB.又BF∥AC，故四邊形ABFC為等腰梯形，所以BC=AF=8.

通過以上例題，我們對旋轉(zhuǎn)有了逐步深入的認識.我們能夠按照題目的要求，作出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)后的圖形，加深了對旋轉(zhuǎn)的直觀認識，能夠迅速在“有公共頂點的等線段圖形”中識別出我們所需要的旋轉(zhuǎn)型全等，而有些題目，要求我們主動去構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等，從而使分散的條件集中起來，溝通已知和所求，達到解決問題的目的.最后提供幾個題目，供有興趣的讀者練習(xí).

練習(xí)：

1.如圖13，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點H，那么DH的長為______.

圖13

圖14

2.如圖14，Rt△ABC繞O點旋轉(zhuǎn)90°得Rt△CED，其中∠ABC=∠E=90°，AC=5，DE=4，則OC的長為______.

3.如圖15，等邊△ABC內(nèi)有一點D，連接AD、BD、CD，若∠ADC=150°，CD=3，AD=4，求BD的長.

圖15

圖16

4.如圖16，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求證：BD2=AB2+BC2.

5.如圖17，在△ABC中，AB>AC，點D是BC邊的中點，過D作射線交AB于點E，交CA的延長線于點F，若BE=CF，求證：AE=AF.

圖17

圖18

6.如圖18，在平行四邊形ABCD中，若∠ABC=120°，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG，求∠BDG的度數(shù).