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        浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)及其尺寸綜合的正-逆映射求交方法

        2018-03-03 03:22:56林夢(mèng)杰李延平
        中國(guó)機(jī)械工程 2018年3期
        關(guān)鍵詞:返程搖桿推桿

        范 武 林夢(mèng)杰 李延平 常 勇,2

        1.集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,廈門,3610212.集美大學(xué)工程訓(xùn)練中心,廈門,361021

        0 引言

        本文第四作者等[1]于2010年提出了浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)Ⅰ類、Ⅱ類綜合問題及其準(zhǔn)確描述,通過引入浮動(dòng)數(shù)軸、瞬時(shí)/整程區(qū)間套等概念,得到了解存在性、存在特征的一整套解析公式,解決了浮動(dòng)滾子推桿力鎖合盤形凸輪機(jī)構(gòu)的第Ⅱ類尺寸綜合問題,之后,考慮到形鎖合機(jī)構(gòu)綜合的復(fù)雜性和特殊性,于2012年引入往程/返程和向徑標(biāo)刻線等概念,揭示了形鎖合機(jī)構(gòu)在綜合路徑、方法步驟等方面的顯著差異,解決了浮動(dòng)滾子推桿形鎖合盤形凸輪機(jī)構(gòu)的第Ⅱ類尺寸綜合問題[2]。在文獻(xiàn)[1-2]研究成果的基礎(chǔ)上,又通過引入浮動(dòng)坐標(biāo)系、瞬時(shí)/整程選擇區(qū)域和最經(jīng)濟(jì)搜索帶域等概念,采用離散降維快速求解方法,解決了浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)的廣義第Ⅱ類尺寸綜合問題[3]。

        與力鎖合凸輪機(jī)構(gòu)[4-6]相比,形鎖合凸輪機(jī)構(gòu)[7]具有運(yùn)動(dòng)精度高、抗沖擊能力強(qiáng)、壽命長(zhǎng)和適用于高速等優(yōu)點(diǎn),在內(nèi)燃機(jī)、紡織、印刷、包裝和農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[8-9]。探索與拓展形鎖合凸輪機(jī)構(gòu)可能的構(gòu)型空間并解決尺寸綜合問題[8-9],具有重要意義。

        較之共軛、槽道凸輪機(jī)構(gòu),等徑凸輪機(jī)構(gòu)求解困難,具有如下形態(tài)特征:主/副滾子中心C、C′和凸輪軸心O1三點(diǎn)共線,位于連桿方位線O1O2上。

        能否跳脫和突破等徑凸輪機(jī)構(gòu)“三點(diǎn)共線”傳統(tǒng)限定條件,提出形鎖合機(jī)構(gòu)的新構(gòu)型?若能,在尺寸綜合方面可否獲得正面收益?針對(duì)上述問題,筆者開展了相關(guān)研究,并由此提出了等跨凸輪機(jī)構(gòu)的新構(gòu)型。

        1 等跨凸輪機(jī)構(gòu)的形態(tài)特征及其尺寸綜合

        問題的準(zhǔn)確描述

        圖1 等跨凸輪機(jī)構(gòu)Fig.1 Equal-span cam mechanism

        圖2 諸運(yùn)動(dòng)角、休止角的牽連關(guān)系Fig.2 The implicated relations between the angles of motion and repose

        值得指出:上述①~③,亦是等跨凸輪機(jī)構(gòu)成立的充要條件。

        往程中,凸輪主輪廓段作用于主滾子驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng),凸輪副輪廓段接觸副滾子起鎖合作用。返程中,則反之。

        浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)尺寸綜合問題的準(zhǔn)確表述如下。

        已知:機(jī)架、搖桿長(zhǎng)度l0、l5,搖桿往程始/終位置O20A、O2mA,初位角θ50,行程角βm,往程運(yùn)動(dòng)規(guī)律β=β(θ1)(θ1為凸輪轉(zhuǎn)角),往程運(yùn)動(dòng)角Ф0,推程許用壓力角[α],凸輪、搖塊和機(jī)架在O1點(diǎn)復(fù)合鉸接。

        求解:整程滿足壓力角α≤[α]和條件①~③的C、C′解集,r0許用取值范圍(r0為凸輪基圓半徑),最優(yōu)尺寸解等。

        浮動(dòng)滾子推桿等徑凸輪機(jī)構(gòu)[2](圖3)滿足條件①~③,不過uC=-uC′=0。

        圖3 等徑凸輪機(jī)構(gòu)Fig.3 Yoke radial cam mechanism

        2 固定/浮動(dòng)坐標(biāo)系和解析公式

        2.1 固定坐標(biāo)系和解析公式

        建立固定坐標(biāo)系O1xy(圖1)。連桿2往程(返程)的時(shí)變長(zhǎng)度和類角速度

        s2(r)=s2(r)(θ1)=(l02+l52+2l0l5cos(θ50-β(r)))1/2

        (1)

        θ2(r)=arctan(l5sin(θ50-β(r))/(l0+l5cos(θ50-β(r))))

        (2)

        dθ2(r)/dθ1=-l5(dβ(r)/dθ1)(l5+l0cos(θ50-β(r)))/

        (3)

        絕對(duì)瞬心P20(r)、相對(duì)瞬心P21(r)往程(返程)坐標(biāo)

        (4)

        (5)

        式(5)中,“±”的“+”對(duì)應(yīng)同擺式機(jī)構(gòu),“-”對(duì)應(yīng)異擺式機(jī)構(gòu)。

        P20(r)、P21(r)至P10(O1)的距離

        (6)

        后文中,簡(jiǎn)記lP10P20(r)、lP10P21(r)為l20(r)和l21(r)。

        2.2 浮動(dòng)坐標(biāo)系的概念

        浮動(dòng)坐標(biāo)系(圖1)為固連于連桿平面Σ2、以O(shè)2為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系O2uv[3]。

        2.3 往程/返程的前半?yún)^(qū)段、后半?yún)^(qū)段劃分[2]

        往程:搖桿5的行程O20A→O2mA。前半?yún)^(qū)段O20A→O2bA;后半?yún)^(qū)段O2bA→O2mA。

        返程:搖桿5的行程O2mA→O20A。前半?yún)^(qū)段O2mA→O2bA;后半?yún)^(qū)段O2bA→O20A。

        O2bO1⊥O2bA,即

        (7)

        3 等跨凸輪機(jī)構(gòu)的特征牽連關(guān)系

        3.1 主/副滾子間的分布規(guī)律特征

        (8)

        據(jù)式(8)和條件③,得

        s20-vC=vC′-s2m

        (9)

        vC′=s20+s2m-vC

        圖4 主/副滾子間的分布規(guī)律特征Fig.4 The distribution characteristics of main roller and auxiliary roller

        C和C′的u向跨距、v向跨距分別為

        (10)

        據(jù)式(9)、式(10)得到:C(uC,vC)一旦選定,Lu、Lv和C′(uC′,vC′)隨之確定,皆為定值。

        3.2 諸運(yùn)動(dòng)角、休止角的牽連關(guān)系

        (11)

        (12)

        (13)

        據(jù)式(12)得到:Ф0+Фs為定值,與C、C′位置選取無關(guān)。

        搖桿位移規(guī)律:可自由任意選取范圍θ1∈[0, Ф0+Фs];而余下θ1∈(Ф0+Фs, 360°],須依據(jù)等跨機(jī)構(gòu)條件①~③確定。

        (14)

        式(12)和式(14)中,“+”、“-”分別對(duì)應(yīng)凸輪順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)情況。

        3.3 搖桿返程位移規(guī)律

        圖5 搖桿返程位移規(guī)律Fig.5 Return displacement law of rocker

        (15)

        (16)

        據(jù)余弦定理有

        (17)

        (18)

        某時(shí)刻,凸輪轉(zhuǎn)過角度

        θ1Δ=180°±(θ2-θ2t)

        (19)

        對(duì)應(yīng)凸輪角位移

        (20)

        搖桿返程角位移

        (21)

        4 主/副滾子中心C、C′的整程區(qū)域套

        4.1 滿足α≤[α]條件的C的整程區(qū)域套

        滿足α≤[α]條件的C的解集即整程區(qū)域套,它主要取決于往程。

        4.1.1 滿足α≤[α]條件的C的往程區(qū)域套

        (22)

        通常地,返程區(qū)域套因不起作用而免予考慮,往程區(qū)域套即整程區(qū)域套。

        4.1.2 實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域與等距離散化

        據(jù)圖6a,ugmin、ugmax必出現(xiàn)在Γg(u,v)最左、最右端處,即

        (23)

        式中,η=1;前半?yún)^(qū)段ζ=1,后半?yún)^(qū)段ζ=-1。

        通過一維搜索,可解得(ugmin)maxty、(ugmax)minty,其含義和求解方法見文獻(xiàn)[3]。

        理論最經(jīng)濟(jì)搜索帶域

        ug∈[(ugmin)maxty, (ugmax)minty]

        (24)

        等距離散化該最經(jīng)濟(jì)搜索帶域,得直線序列{ugj}。取間距

        Δug=[(ugmax)minty-(ugmin)maxty]/(100q)

        (25)

        ugj=(ugmin)maxty+(j-1)Δug

        (26)

        j=1,2,…,100q+1

        式中,q=1,2,…,據(jù)精度要求確定。

        等距離散化θ1,間距

        Δθ1=1/(10p-1) (rad)

        (27)

        θ1=θ1m=0°+(m-1)Δθ1

        (28)

        m=1,2,…,Ф0/Δθ1+1

        式中,p=1,2,…,也據(jù)精度要求確定。

        根據(jù){?Γg(θ1m)},通過求交比較,得到實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域:

        ug∈[(ugmin)maxry,(ugmax)minry]

        (29)

        (a)往程瞬時(shí)區(qū)域套Γg(u, v)生成原理

        (b) 往程區(qū)域套生成原理圖6 主滾子中心C的區(qū)域套生成原理Fig.6 The generating principle of nested region of main roller C

        分析{ugj}與{?Γg(θ1m)}的關(guān)系如下:

        設(shè){ugj}與O1P21交于Oj點(diǎn)(圖7僅表述ugfmin0,則vC=s2-τC。

        圖求解的解析公式建立Fig.7 Establishment of analytic formula for

        對(duì)于關(guān)系(1)和(2),分別有

        (30)

        (31)

        下面分ugj≤0、ugj>0兩種情況討論。

        (1)ugj≤0。

        (32)

        解得

        τCs1g={(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]-

        4(l20-ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

        (33)

        τCs2g={(l20-l21)tan[α]-[(l20-l21)2tan2[α]-

        4(l20-ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

        (34)

        將式(1)、式(33)和式(34)代入式(30),搜索解得

        vCs1gflmax=(s2-τCs1g)flmax

        vCs2gflmin=(s2-τCs2g)flmin

        (35)

        (36)

        解得

        τCs1g={(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]+

        4(l20+ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

        (37)

        τCi2g={-(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]+

        4(l20+ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

        (38)

        將式(1)、式(37)和式(38)代入式(31),搜索解得

        vCs1grmmax=(s2-τCs1g)rmmax

        vCi2grmmin=(s2-τCi2g)rmmin

        (2)ugj>0。

        先令

        l21(θ1)-ugj=0

        (39)

        (40)

        (41)

        解得

        τCs1g={(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]+

        4(l20-ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

        (42)

        τCi2g={-(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]+

        4(l20-ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

        (43)

        將式(1)、式(42)和式(43)代入式(31),搜索解得

        vCs1gfmmax=(s2-τCs1g)fmmax

        vCi2gfmmin=(s2-τCi2g)fmmin

        vCs1gflmax=(s2-τCs1g)flmax

        vCs2gflmin=(s2-τCs2g)flmin

        vCs1grmmax=(s2-τCs1g)rmmax

        vCi2grmmin=(s2-τCi2g)rmmin

        (44)

        解得

        τCs1g={(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]-

        4(l20+ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

        (45)

        τCs2g={(l20+l21)tan[α]-[(l20+l21)2tan2[α]-

        4(l20+ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

        (46)

        將式(1)、式(45)和式(46)代入式(30),搜索解得

        vCs1grlmax=(s2-τCs1g)rlmax

        vCs2grlmin=(s2-τCs2g)rlmin

        據(jù)上述計(jì)算結(jié)果,得到:

        ①ugj≤0時(shí)

        (47)

        ②ugj>0時(shí)

        (48)

        4.2 滿足α≤[α]條件的C′的整程區(qū)域套

        4.2.1 滿足α≤[α]條件的C′的返程區(qū)域套

        (49)

        通常,往程區(qū)域套不起作用,故返程區(qū)域套即整程區(qū)域套。

        4.2.2 實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域

        式(23)~式(27)中,將ug、(ugmin)maxty、(ugmax)minty替以u(píng)r、(urmin)maxty、(urmax)minty;式(23)取η=-1,將l20、l21替以l20r、l21r。其中:

        θ1=θ1n=Ф0+Фs+(n-1)Δθ1

        (50)

        即可得到實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域

        ur∈[(urmin)maxry, (urmax)minry]

        (51)

        (a)返程瞬時(shí)區(qū)域套Γr(u, v)生成原理

        (b)返程區(qū)域套生成原理圖8 副滾子中心C′的區(qū)域套生成原理Fig.8 The generating principle of nested region of auxiliary roller C′

        對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)和(2),分別有

        (52)

        (53)

        (1)urj≥0。

        (2)urj<0。

        l21r(θ1)-urj=0

        (54)

        據(jù)上述計(jì)算結(jié)果可得

        ①urj≥0時(shí)

        (55)

        ②urj<0時(shí)

        (56)

        5 滿足α≤[α]和等跨條件①~③的C、C′的整程區(qū)域套以及凸輪基圓半徑r0取值范圍的確定

        本節(jié)討論凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),滿足α≤[α]和等跨條件①~③的C、C′的整程區(qū)域套。凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的情況與順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)類似,不再詳述。

        5.1 主/副滾子中心C、C′的歸并搜索帶域

        如圖9所示,據(jù)式(29)和式(51)進(jìn)行歸并求交,得到滿足α≤[α]和等跨條件①~③的C、C′的歸并搜索帶域。

        圖9 C、C′歸并搜索帶域的確定Fig.9 Determination of merger search belt-area of C and C′

        主滾子中心C的歸并搜索帶域

        uC∈[(umin)max, (umax)min]

        (57)

        (58)

        副滾子中心C′的歸并搜索帶域

        uC′∈[-(umax)min, -(umin)max]

        (59)

        5.2 主/副滾子中心C、C′的整程區(qū)間套

        (60)

        圖10 C、C′整程區(qū)間套的確定Fig.10 determination of merger whole choice area of C and C′

        通過求交,得到u=urj=uC′(=-uC)時(shí)副滾子中心C′的歸并整程區(qū)間套

        (61)

        (62)

        (63)

        (64)

        即為u=ugj=uC時(shí)主滾子中心C的歸并整程區(qū)間套。

        上述式(61)和式(64)的獲取,體現(xiàn)了一個(gè)正-逆映射求交的迭代求解過程,這也是本文的核心內(nèi)容。

        5.3 主/副滾子中心C、C′的歸并整程區(qū)域套

        據(jù)式(57)、式(59)和式(61)、式(64),遍歷搜索{ugj}和{urj},解得C、C′的歸并整程區(qū)域套Γ*(u,v)和?!?(u,v),以及C、C′的歸并整程區(qū)域套邊界?Γ*(u,v)、??!?(u,v),如圖11所示。

        圖11 整程區(qū)域套Γ*(u, v)、?!?(u, v)的形態(tài)分布Fig.11 Morphological distribution of merger whole choice area of Γ*(u,v)、?!?(u,v)

        圖11中的Γ*(u,v)和?!?(u,v),可采用開發(fā)的ESCMFY可視化程序,結(jié)合例題已知條件,在計(jì)算機(jī)上快速求解得到。

        5.4 凸輪基圓半徑r0取值范圍的確定

        引入O2uv到O1xy的坐標(biāo)變換

        (65)

        C在?Γ*(u,v)上時(shí),凸輪基圓半徑

        (66)

        一維搜索解得所有邊界點(diǎn)(xCj,yCj),計(jì)算得到凸輪最小、最大基圓半徑:

        (67)

        r0的取值范圍為

        (68)

        6 機(jī)構(gòu)綜合示例

        對(duì)于浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu),已知l0=140 mm,l5=50 mm,θ50=140°,βm=80°,往程選取擺線規(guī)律,Ф0=150°,[α]=40°,凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。求解:

        (1)取uC=uC′=0,即等徑凸輪機(jī)構(gòu),限定C、C′居于連桿方位線O1O2上,對(duì)應(yīng)的求解量為r0min|0、C**|0和C′**|0;

        (3)比較討論(1)、(2)的求解結(jié)果。

        (1)令uC=uC′=0,即等徑凸輪機(jī)構(gòu),據(jù)式(64)解得vC|0∈[29.8963, 43.7701]mm、r0|0∈[62.8853,76.7591]mm,即r0min|0=62.8853 mm。對(duì)應(yīng)有,C**|0(0, 43.7701)mm和C′**|0(0, 233.4725)mm。

        7 結(jié)論

        (1)提出浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)新構(gòu)型,給出尺寸綜合問題的準(zhǔn)確描述;提出其形態(tài)特征與條件,揭示與等徑凸輪機(jī)構(gòu)的聯(lián)系與差異。

        (2)討論解決了主/副滾子分布規(guī)律特征,運(yùn)動(dòng)角、休止角的牽連關(guān)系,搖桿返程位移規(guī)律等。

        (3)通過主/副滾子中心歸并搜索帶域和歸并整程區(qū)域套的正-逆映射求交的求解過程,揭示等跨凸輪機(jī)構(gòu)復(fù)雜、獨(dú)到的異質(zhì)性研究?jī)?nèi)涵。

        (4)通過對(duì)比等跨、等徑凸輪機(jī)構(gòu)的尺寸綜合結(jié)果,充分論證了等跨凸輪機(jī)構(gòu)的引入具有重要的機(jī)構(gòu)學(xué)理論意義和工程實(shí)際價(jià)值。

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