沈國(guó)強(qiáng) 賀德強(qiáng) 譚文舉 苗 劍

1.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南寧，5300042.南寧軌道交通集團(tuán)有限責(zé)任公司，南寧，530025

0 引言

機(jī)車車輛是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)電系統(tǒng)，目前我國(guó)機(jī)車車輛絕大部分采用基于磨損理論的定期檢修制度。由于我國(guó)對(duì)機(jī)車車輛可靠性研究工作起步較晚，對(duì)車輛零部件壽命分析不足，故有些零部件還處于可靠性較高時(shí)期或偶然故障期的較佳狀態(tài)時(shí)便對(duì)其進(jìn)行檢修、拆檢甚至更換，會(huì)造成零部件壽命沒能充分得到利用，進(jìn)而給鐵路運(yùn)營(yíng)帶來較大的經(jīng)濟(jì)損失。由此，充分利用機(jī)車車輛的歷史故障數(shù)據(jù)對(duì)機(jī)車車輛的關(guān)鍵零部件進(jìn)行可靠性分析，有利于提高車輛運(yùn)行可靠性及運(yùn)營(yíng)經(jīng)濟(jì)性。

以可靠性為中心的維修(reliability-centered maintenance，RCM)因其先進(jìn)性和實(shí)用性逐漸被認(rèn)可。王華勝[1]利用相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法和最小二乘法對(duì)機(jī)車車輛進(jìn)行了可靠性分析；王靈芝等[2]對(duì)鐵路設(shè)備關(guān)鍵零部件進(jìn)行了可靠性分析建模，并用于確定各部件合理的維修時(shí)間；劉建強(qiáng)等[3]根據(jù)高壓系統(tǒng)各部件的可靠性，結(jié)合可靠度框圖對(duì)CRH3動(dòng)車組的高壓系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性研究；周培筠等[4]利用關(guān)鍵零部件可靠性確定客車零部件維修周期；秦金磊等[5]提出了利用單個(gè)設(shè)備對(duì)電站進(jìn)行以可靠性為中心的檢修的研究；劉濤等[6]以民用飛機(jī)電動(dòng)液壓泵某部件為例進(jìn)行了可靠性分析建模，用于確定民機(jī)系統(tǒng)部件的維修間隔。以可靠性為中心的維修技術(shù)將是機(jī)車車輛檢修的發(fā)展趨勢(shì)[7]。目前，針對(duì)機(jī)車車輛可靠性方面的研究較少，對(duì)機(jī)車關(guān)鍵零部件的研究也相對(duì)缺乏，因此，本文提出了一種基于圖解法和改進(jìn)人工蜂群(artificial bee colony，ABC)算法相結(jié)合的機(jī)車車輛關(guān)鍵零部件可靠性模型擬合方法。首先根據(jù)極大似然估計(jì)原理建立關(guān)于3個(gè)參數(shù)的似然函數(shù)，將求解似然函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)的極大值問題。然后利用圖解法對(duì)參數(shù)進(jìn)行初步估計(jì)以獲得初始值和ABC算法的搜索空間。再使用ABC算法進(jìn)行尋優(yōu)求出3個(gè)參數(shù)的更優(yōu)解，從而確定三參數(shù)威布爾模型。最后用該模型對(duì)機(jī)車車輛關(guān)鍵零部件進(jìn)行可靠性評(píng)估，確定機(jī)車車輛關(guān)鍵零部件檢修間隔，為改進(jìn)檢修策略提供科學(xué)的依據(jù)。

1 可靠性模型分析

在常見的故障分布中，三參數(shù)威布爾分布可稱為“萬能分布”[8]，其他分布如正態(tài)分布、指數(shù)分布、瑞利分布都可看成是三參數(shù)威布爾分布的特例[9]，且三參數(shù)分布函數(shù)的擬合能力較強(qiáng)，因此廣泛應(yīng)用于各種設(shè)備的可靠性分析。由于三參數(shù)威爾分布模型的具有非線性特征，要確定3個(gè)參數(shù)極其繁瑣，故國(guó)內(nèi)外學(xué)者使用基于Gibbs抽樣算法、線性回歸法、概率加權(quán)矩法等不同方法對(duì)其進(jìn)行了研究[9-11]，且取得了一定的研究成果。三參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)f(t)、分布函數(shù)F(t)及可靠度函數(shù)R(t)分別表述為

(1)

(2)

(3)

β,η>0

式中，β為形狀參數(shù)，決定分布曲線的形狀；γ為位置參數(shù)(t<γ時(shí)表示無故障)；η為尺度參數(shù)。

由式(1)可得樣本的似然函數(shù)L為

(4)

對(duì)式(4)取自然對(duì)數(shù)后可得

(5)

根據(jù)lnx的單調(diào)性可知，L與lnL同時(shí)達(dá)到最大值，所以當(dāng)存在L(β′,η′,γ′)使得式(4)成立時(shí)，則認(rèn)為β′、η′、γ′分別為β、η、γ的極大似然函數(shù)值。要求(β′,η′,γ′)的解，一般通過求解非線性的超越方程組[12]，常規(guī)方法求解則極其繁瑣，故本文綜合圖解法和改進(jìn)ABC算法進(jìn)行求解。

2 參數(shù)求解模型

2.1 圖解法

圖解法[12]是威布爾三參數(shù)估計(jì)常用的方法，具有方便、直觀、易懂等優(yōu)點(diǎn)。作圖法的缺點(diǎn)是依賴于人的視覺檢查,主觀意識(shí)較強(qiáng)，所得結(jié)果比較粗糙。本文利用圖解法方便操作的優(yōu)點(diǎn)，為ABC算法提供解的初值以及搜索空間。

對(duì)式(3)進(jìn)行兩次自然對(duì)數(shù)變換可得

ln(-lnR(t))=βln(t-γ)-βlnη

(6)

令y=ln(-lnR(t)),x=lnt，當(dāng)t-γ=0，即x=lnγ時(shí)，y→-∞；而當(dāng)t→∞時(shí)，y=βx-βlnη。即式(6)經(jīng)上述變換后可得到x=lnγ和y=βx-βlnη兩條漸近線。

三參數(shù)威布爾分布利用圖解法估計(jì)參數(shù)的步驟如下：

(1)對(duì)于容量為n的樣本故障數(shù)據(jù)，按照從小到大的順序排列t1

(2)擬合故障數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖上的兩條漸近線：其中一條與橫坐標(biāo)垂直，位于所有散點(diǎn)的左側(cè)，表達(dá)式為x=x0；另一條漸近線表達(dá)式為y=kx-b，是x→∞時(shí)的漸近線。由式(6)以及兩條漸近線的性質(zhì)可得方程組如下：

(7)

求式(7)可得基于圖估計(jì)的威布爾分布三個(gè)參數(shù)的估計(jì)值分別為γ0=exp(x0)，β0=k，η0=exp(b/k)。

2.2 人工蜂群算法模型

2.2.1 算法流程

人工蜂群(ABC)算法是KARABOGA[13]于2005年提出的用于優(yōu)化多變量函數(shù)的函數(shù)值算法，該算法已在數(shù)值優(yōu)化、產(chǎn)品拆卸序列規(guī)劃、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域得到了實(shí)質(zhì)應(yīng)用[14-16]。在ABC算法中，蜂群分為三種：雇傭蜂、跟隨蜂、偵查蜂。該算法初始化階段，將蜂群數(shù)量的一半設(shè)置為雇傭蜂，且對(duì)于每一個(gè)蜜源有且僅有一個(gè)雇傭蜂，即雇傭蜂的數(shù)量等同于蜜源的數(shù)量。蜜蜂采蜜的過程就是函數(shù)優(yōu)化過程，獲得最優(yōu)蜜源的過程就是尋找目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的過程，ABC算法基本流程可以描述如下：

(1)初始化階段。初始化算法各參數(shù)，設(shè)置蜂群數(shù)量一半為雇傭蜂，雇傭蜂根據(jù)下式初始化蜜源并記錄最優(yōu)蜜源:

Xij=lb(j)+r(ub(j)-lb(j))

(8)

式中，i的取值范圍為1到蜂群數(shù)量的50%；j為蜜源位置的第j個(gè)參數(shù)；lb(j)和ub(j)分別為參數(shù)Xij的最小值和最大值；r為(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

(2)雇傭蜂更新蜜源階段。雇傭蜂在蜜源附近利用下式進(jìn)行鄰域搜索:

Vkj=Xij+Rij(Xij-Xkj) -1≤Rij≤1

(9)

式中，Vkj為新蜜源;Xkj為隨機(jī)的不同于Xij的臨近蜜源;Rij為一個(gè)隨機(jī)參數(shù)。

并計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)目標(biāo)值，然后通過貪婪選擇來選擇新舊蜜源中更優(yōu)的蜜源。

(3)跟隨蜂選擇蜜源階段。跟隨蜂根據(jù)雇傭蜂分享的蜜源信息進(jìn)行蜜源選擇，通過下式計(jì)算蜜源被選擇的概率Pi，概率越大則被選擇的可能性越大：

(10)

式中，f(θi)為第i個(gè)蜜源的適應(yīng)值。

在最小化問題中，f(θi)可由下式求得：

(11)

式中，fi為根據(jù)蜜源計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)值。

(4)偵查蜂階段。判斷當(dāng)前試驗(yàn)次數(shù)Nt是否超過設(shè)定數(shù)值極限Nlim，如果超過，則放棄當(dāng)前蜜源，相應(yīng)的雇傭蜂轉(zhuǎn)為偵查蜂，通過式(8)重新搜索新的蜜源。最后判斷算法循環(huán)次數(shù)，若小于設(shè)定的最大值cmax，則算法循環(huán)；反之，則輸出最優(yōu)蜜源，算法結(jié)束，以獲得目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解。

2.2.2 改進(jìn)的人工蜂群算法

標(biāo)準(zhǔn)ABC算法中雇傭蜂更新蜜源階段采用的是式(9)搜索新蜜源，通過隨機(jī)參數(shù)Rij控制鄰域搜索區(qū)間，但易使算法陷入局部最優(yōu)且算法速度較慢的局面，故本文采用合適的比例因子δij確定搜索區(qū)間[16]，比例因子及新的搜索公式如下：

(12)

式中，μ1，μ2為兩個(gè)隨機(jī)因子。

Vkj=Xij+δij(Xij-Xkj)

(13)

在改進(jìn)算法中，根據(jù)式(9)進(jìn)行蜜源位置更新，比例因子隨著試驗(yàn)次數(shù)Nt的變化而進(jìn)行改變。

(1)更新蜜源初始階段。比例因子δij和搜索鄰域足夠大，故算法對(duì)新蜜源的選擇性更好，從而使算法跳出局部最優(yōu)；但試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到一定程度后，δij較小，縮小了搜索鄰域，進(jìn)而提高了后期搜索效率。

(2)跟隨蜂選擇蜜源階段。標(biāo)準(zhǔn)ABC算法中，蜜源被選擇的概率根據(jù)式(10)計(jì)算得到，且Pi越大，相對(duì)應(yīng)的蜜源被跟隨蜂選擇的概率越大，在選擇過程中，可能會(huì)出現(xiàn)一些競(jìng)爭(zhēng)力太突出的超常個(gè)體，這些個(gè)體會(huì)掌控選擇過程會(huì)影響算法全局搜索能力，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)；反之，如果各蜜源的適應(yīng)度相差不大，則容易忽略優(yōu)秀個(gè)體，對(duì)算法的收斂速度會(huì)有一定程度的影響，進(jìn)而增加運(yùn)算時(shí)間。本文算法中，跟隨蜂依照下式選擇蜜源:

(14)

式中,fi為第i個(gè)蜜源的適應(yīng)度值；mf為全部蜜源中的最大適應(yīng)度值；c為循環(huán)次數(shù)。

在算法前期，增大蜜源被選擇的概率，防止出現(xiàn)因個(gè)別超常個(gè)體而陷入局部最優(yōu)的局面；在算法后期，傾向于選擇更優(yōu)的蜜源，從而能更快的獲得最優(yōu)蜜源。

改進(jìn)ABC算法是全局尋優(yōu)算法，并且有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)、全局尋優(yōu)能力明顯等優(yōu)點(diǎn)，因此適用于三參數(shù)威布爾函數(shù)的優(yōu)化，其算法流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)人工蜂群算法流程圖Fig.1 Flow chart of improved ABC algorithm

2.2.3 ABC算法搜索空間

蜜蜂在蜂巢附近搜索蜜源必須有一定的搜索空間，對(duì)于三參數(shù)威布爾函數(shù)，蜜源位置由威布爾的3個(gè)參數(shù)所確定，故其搜索空間也是由3個(gè)參數(shù)組成的空間所確定。本文中搜索空間由圖解法所解得的初始值(β0,η0,γ0)和寬松系數(shù)θ(0<θ<1)所確定，參數(shù)的搜索空間為

(15)

2.2.4 分布擬合優(yōu)度評(píng)估

根據(jù)故障數(shù)據(jù)初步選定的分布類型需要進(jìn)行檢驗(yàn)，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是一種常用的分布檢驗(yàn)方法。擬合優(yōu)度是衡量選定的分布與故障數(shù)據(jù)實(shí)際分布之間的符合程度的度量。本文使用S-K檢驗(yàn)對(duì)三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行檢驗(yàn)。S-K檢驗(yàn)是一種常見的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，S-K檢驗(yàn)首先將n個(gè)故障數(shù)據(jù)按從小到大進(jìn)行排列，然后分別計(jì)算每個(gè)故障數(shù)據(jù)的三參數(shù)威布爾分布函數(shù)R0(ti)，并將其與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Rn(ti)(本文采用秩法)進(jìn)行比較，通過下式計(jì)算獲得兩者差值的絕對(duì)值即S-K檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn：

Dn=sup|Rn(ti)-R0(ti)|=max(δi)

(16)

Rn(ti)=(i-3)/(n+4)

3 實(shí)例分析

3.1 機(jī)車車輛某型減振器可靠性分析

下面以文獻(xiàn)[2]某型減振器的12個(gè)樣本故障數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，其壽命數(shù)據(jù)為20.0,23.5,24.0,27.5,30.5,35.5,38.0,41.0,50.5,52.0,68.0,77.0?，F(xiàn)分別采用最小二乘法[2]和文中提出的改進(jìn)ABC算法對(duì)上述樣本進(jìn)行三參數(shù)威布爾函數(shù)參數(shù)估計(jì)，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 參數(shù)估計(jì)值比較(與最小二乘法比較)Tab.1 Comparison of parameter estimation values (compared with the least squares method)

由表1可以看出，運(yùn)用改進(jìn)ABC算法進(jìn)行計(jì)算的似然函數(shù)值大于最小二乘法所得的似然函數(shù)值，說明改進(jìn)ABC算法的計(jì)算精度高于最小二乘法的相關(guān)系數(shù)法和相結(jié)合的計(jì)算方法。

3.2 蒙特卡羅模擬分析比較

以文獻(xiàn)[11]中利用蒙特卡羅模擬產(chǎn)生的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，其故障數(shù)據(jù)見表2。

表2 蒙特卡羅模擬樣本數(shù)據(jù)Tab.2 Data of Monte Carlo simulation sample

圖2 蒙特卡羅模擬樣本數(shù)據(jù)威布爾概率圖及漸近線圖Fig.2 Weibull probability plots and asymptote graph of data of Monte Carlo simulation sample

圖2為使用圖解法求得的故障樣本的散點(diǎn)圖。由圖2可以看出，各散點(diǎn)存在明顯的拐點(diǎn)，并不是全在同一直線上，樣本符合三參數(shù)威布爾分布特征，所以可以假設(shè)樣本分布服從三參數(shù)威布爾分布。在圖上作散點(diǎn)圖的漸近線，其表達(dá)式分別為

(17)

從而可解得圖解法解三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)初始解為β=3.93,η=47.8,γ=32.46。

為了得到更優(yōu)解，可以擴(kuò)大ABC算法的搜索空間，令寬松系數(shù)θ=0.7，可以得到參數(shù)搜索范圍為

運(yùn)用人工蜂群算法進(jìn)行計(jì)算，得到的參數(shù)估計(jì)目標(biāo)函數(shù)的最大似然估計(jì)值見表3。由表3可以看出，相對(duì)于文獻(xiàn)[11]的概率加權(quán)矩法，改進(jìn)ABC算法估計(jì)的參數(shù)具有更好的最大似然估計(jì)值，所得的估計(jì)參數(shù)更加精準(zhǔn)。圖3所示為優(yōu)化迭代結(jié)果。

表3 參數(shù)估計(jì)值比較(與概率加權(quán)矩法比較)

圖3 優(yōu)化迭代結(jié)果Fig.3 The iterative result of optimization

4 可靠性模型應(yīng)用

某車輛制動(dòng)系統(tǒng)閘片的壽命樣本數(shù)據(jù)見表4。根據(jù)圖解法計(jì)算步驟，閘片壽命時(shí)間散點(diǎn)圖見圖4。由圖4可知，選定此車輛閘片的壽命時(shí)間服從三參數(shù)威布爾分布。求出漸近線表達(dá)式如下：

(18)

即圖解法的初始解為β=3.55,η=89 321.72,γ=36 315.5。

令θ=0.7，可得到ABC算法參數(shù)搜索范圍為

運(yùn)用改進(jìn)ABC算法進(jìn)行優(yōu)化求解，得：β=3.059,η=74 880.3,γ=18 952.6，極大似然函數(shù)為-334.228，S-K檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

Dn=0.057

所以閘片的壽命時(shí)間符合三參數(shù)威布爾分布。

根據(jù)式(3)可得該閘片的壽命時(shí)間可靠度函數(shù)為

表4 某機(jī)車閘片壽命數(shù)據(jù)

R(t)=e-[(t-18 952.6)/74 880.3]3.059

(19)

圖4 某機(jī)車制定閘片壽命數(shù)據(jù)威布爾概率圖及漸近線圖Fig.4 Weibull probability plots and asymptotic graph of brake pad life data of locomotive

根據(jù)函數(shù)利用MATLAB仿真，得到閘片的可靠度曲線如圖5所示。由圖5可以看出，均勻分布在可靠度曲線兩側(cè)的散點(diǎn)是閘片壽命時(shí)間點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值，且三參數(shù)威布爾分布與文中所給的參數(shù)估計(jì)方法都適用于閘片的壽命分析。因此決策人員可根據(jù)機(jī)車實(shí)際運(yùn)營(yíng)中具體的可靠度要求，利用可靠度計(jì)算公式得到制動(dòng)系統(tǒng)閘片合理的檢修周期。

圖5 機(jī)車車輛制定閘片壽命數(shù)據(jù)可靠度函數(shù)圖Fig.5 Reliability graph of brake pad life of locomotive

5 結(jié)論

(1)采用三參數(shù)威布爾模型分析機(jī)車車輛關(guān)鍵零部件以可靠性為中心的檢修時(shí)，針對(duì)其參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜性，將參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為求似然函數(shù)極大值問題。然后，根據(jù)圖解法給出參數(shù)的初值以及ABC算法的搜索空間，再利用改進(jìn)ABC算法進(jìn)行迭代求解，得出威布爾分布參數(shù)的參數(shù)估計(jì)值。本方法具有計(jì)算簡(jiǎn)單、參數(shù)估計(jì)精度高的優(yōu)點(diǎn)。

(2)以制動(dòng)系統(tǒng)閘片為例，通過計(jì)算其可靠性指標(biāo)，確定系統(tǒng)維修的最佳維修周期?？蓪⒈灸Ｐ蛻?yīng)用到機(jī)車車輛其他關(guān)鍵零部件，如轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)等的可靠性評(píng)估，從而確定零件檢修的最佳維修周期，為機(jī)車車輛檢修規(guī)程的改進(jìn)提供科學(xué)依據(jù)。

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