董斯宇

摘要：導(dǎo)數(shù)在幾種問題，尤其在求函數(shù)的極值、單調(diào)性等方面，求解非常方便、簡潔。同時(shí)，在不等式求解方面，將不等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)與零的關(guān)系更是一個(gè)求解不等式問題的不二法門。在求解最優(yōu)化問題中，常常將導(dǎo)數(shù)思想融入求解，如拉格朗日乘數(shù)法的使用。本文試圖以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值、不等式中的綜合應(yīng)用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個(gè)問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 極值 不等式 拉格朗日乘數(shù)法

通常來說，導(dǎo)數(shù)可以從不同的角度靈活考察知識(shí)的綜合運(yùn)用和解決數(shù)學(xué)問題的能力。與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)與不等式、數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)的交集命題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點(diǎn)。本文試圖以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值、不等式中的綜合應(yīng)用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個(gè)問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

1導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用

使用Matlab軟件繪制出函數(shù)的圖像，并在圖中標(biāo)注出極小值如下圖所示，從圖中可以看出繪圖結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合性較好。

2導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

不等式是目前來說高中數(shù)學(xué)里面學(xué)生較為頭疼的一個(gè)難點(diǎn)，不等式證明不僅要求證明者要有非常好的靈活運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)的能力，還要有對(duì)不等式模型的一種感知，即看到題目知道考的是哪一類不等式。通過各種模型式子的變形，或者就已知式子將不等式經(jīng)過合理的變形，最后通過層層推導(dǎo)得出結(jié)論。不等式證明需要證明者有極強(qiáng)的邏輯性。問題分析：對(duì)導(dǎo)數(shù)證明不等式問題而言，第一步通常是求解原方程或把不等式看作一個(gè)新的函數(shù)，求解其一階導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，以判斷是否需要求二階導(dǎo)數(shù)。求完一階導(dǎo)數(shù)之后，根據(jù)題目給的條件，把條件帶入一階導(dǎo)數(shù)，通?？梢灾苯拥贸鼋Y(jié)論，若不行則必須從二階導(dǎo)數(shù)入手。但是需要提醒的是這類函數(shù)求最值問題需要特別注意定義域，定義域可能會(huì)影響參數(shù)的取值范圍。

3拉格朗日乘數(shù)法

4總結(jié)

本文著重討論了在求函數(shù)極值，不等式問題以及拉格朗日乘數(shù)法中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍何其之廣，本文提到的只是鳳毛翎角，例如在解析幾何與立體幾何中以及在向量中，都具有重要的應(yīng)用?？傊瑢?dǎo)數(shù)作為大學(xué)課程《高等數(shù)學(xué)》中微積分的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在新課標(biāo)的課程大綱中，將導(dǎo)數(shù)移至高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，雖然，高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容增加了，但由于導(dǎo)數(shù)本身具有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調(diào)性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實(shí)際運(yùn)用性，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)很好的學(xué)習(xí)工具。與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)是在各類考試中重點(diǎn)的考試內(nèi)容，霸占非常大的分?jǐn)?shù)比例，一般試卷壓軸題出導(dǎo)數(shù)的題目概率及其之高。因此，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)過程中要注意理解導(dǎo)數(shù)的一些常規(guī)運(yùn)用并且理解導(dǎo)數(shù)的意義，在基礎(chǔ)問題方面勤加練習(xí)，做到舉一反三，同時(shí)熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實(shí)力。

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