黃元申, 呂昊宇, 曾 媛,韓 森, 盛 斌

(1.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院, 上海 200093;2.上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200093;3.上海理工大學(xué) 教育部光學(xué)儀器與系統(tǒng)工程研究中心, 上海 200093)

引 言

光學(xué)干涉法測(cè)量平面的精度很大程度上取決于參考平面的精度,為了進(jìn)一步提高檢測(cè)結(jié)果的精度和重復(fù)性,提出了絕對(duì)平面的檢測(cè)方法,即通過(guò)對(duì)多次測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算,消除參考平面面形偏差的影響。這樣的測(cè)量方式不僅提高了檢測(cè)精度,對(duì)于高精度的光學(xué)平面加工意義重大,而且還降低了干涉測(cè)量系統(tǒng)中標(biāo)準(zhǔn)參考平面的加工精度要求。

1967年,Schulz等首次提出了三面互檢方法,利用三個(gè)面形偏差較為接近的平面兩兩互檢,由于測(cè)量過(guò)程中平面需要翻轉(zhuǎn),導(dǎo)致了測(cè)量位置變更,只能夠得到翻轉(zhuǎn)對(duì)稱中心線上的絕對(duì)面形分布,精度可以達(dá)到λ/100[1]。隨后,絕對(duì)平面檢測(cè)的方法得到進(jìn)一步研究和發(fā)展,從測(cè)量方式到計(jì)算方法都使測(cè)量精度得到了提高。

1 測(cè)量方式

1.1 平移剪切法

1983年,Keenan提出了偽剪切干涉法,通過(guò)平面平移方法先得到待測(cè)面絕對(duì)面形偏差,再積分得到待測(cè)面的絕對(duì)面形分布,但是僅限于理論上的結(jié)果[2]。2010年,Bloemhof通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種方法的測(cè)量精度優(yōu)于λ/100[3],并于2014年利用差分方法證實(shí)在4 inch(1 inch=25.4 mm)口徑中所測(cè)得的峰谷(PV)值可以達(dá)到λ/100[4]。

2015年,Huang等在差分方法的基礎(chǔ)上提出共軛微分法,通過(guò)四次測(cè)量來(lái)獲得平面的絕對(duì)面形分布[5],測(cè)量步驟如圖1所示。

圖1 差分法和共軛微分法測(cè)量步驟Fig.1 Experimental process of differential method and conjugate differential method

圖2 多種方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of multiple methods of experimental results

最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí),采用共軛微分方法的絕對(duì)平面測(cè)試,提高差分?jǐn)?shù)據(jù)的精度和減少測(cè)試步驟之間的耦合,可提高測(cè)試結(jié)果的可靠性。共軛微分法的絕對(duì)面形分布結(jié)果與實(shí)驗(yàn)中的三平面測(cè)試的結(jié)果吻合良好,PV值達(dá)到了4.2 nm,圖2為多種計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。

1.2 旋轉(zhuǎn)剪切法

2001年,Freischlad提出了旋轉(zhuǎn)剪切法,該法是在傳統(tǒng)三面互檢法的基礎(chǔ)上任選一組并對(duì)其中一個(gè)面進(jìn)行5次旋轉(zhuǎn)剪切,同時(shí)用傅里葉變換的方法對(duì)剪切波面進(jìn)行處理,復(fù)原出三個(gè)平面的絕對(duì)面形分布,測(cè)得150 mm口徑的平面PV值為22.7 nm[6]。2015年,Liu等分析了旋轉(zhuǎn)角誤差的影響,角度誤差控制在1°,并通過(guò)對(duì)比驗(yàn)證了全孔徑絕對(duì)測(cè)量結(jié)果的PV值達(dá)到0.026 6λ[7]。

1.3 旋轉(zhuǎn)平移法

1990年,Grzanna等提出了一種新的三平面互檢法,除了三個(gè)平面兩兩互檢外,該方法還將一個(gè)面進(jìn)行90°旋轉(zhuǎn)和平移[8]。2012年,Fujimoto等提出了兩平面絕對(duì)測(cè)量的旋轉(zhuǎn)平移法[9],同年,Su等提出了一種基于Zernike多項(xiàng)式的旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢測(cè)法[10]。2013年,Song等也通過(guò)將旋轉(zhuǎn)平移的方法與傳統(tǒng)的三平面互檢的方法對(duì)比,驗(yàn)證了標(biāo)準(zhǔn)平面鏡的PV值為5.29 nm[11]。

隨著數(shù)控系統(tǒng)的發(fā)展以及步進(jìn)電機(jī)的廣泛應(yīng)用,像素級(jí)精度的位移和旋轉(zhuǎn)以及整個(gè)測(cè)量過(guò)程的自動(dòng)化被大量應(yīng)用在絕對(duì)平面檢測(cè)中,使檢測(cè)結(jié)果有效地避免了如裝調(diào)、環(huán)境等因素帶來(lái)的影響。

2 計(jì)算方法

2.1 Zernike方法

1983年,Fritz利用Zernike多項(xiàng)式,對(duì)波面面形的耦合系數(shù)通過(guò)增加一次繞光軸旋轉(zhuǎn)的測(cè)量,得到了三個(gè)平面的絕對(duì)面形分布,并驗(yàn)證了8 inch孔徑的光學(xué)平面PV值為λ/100,但由于其計(jì)算方法的限制,若旋轉(zhuǎn)的角度為360°/N(N為Zernike多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)倍角,N=2,3,4,…),則無(wú)法通過(guò)Zernike系數(shù)計(jì)算出三個(gè)平面的絕對(duì)面形分布,而且計(jì)算的結(jié)果是Zernike多項(xiàng)式的擬合結(jié)果,與真實(shí)值之間還有偏差[12]。2013年,Han等提出了基于三面互檢法的斜入射法,通過(guò)Fizeau干涉儀的一次干涉測(cè)量和兩次斜入射測(cè)量,用Zernike方法得到整個(gè)待測(cè)面的絕對(duì)面形分布,在90 mm口徑的平面上測(cè)得0.059λ的PV值和0.014λ的均方根值(RMS)[13]。

2.2 奇偶函數(shù)法

1992年至1993年,Ai等將平面面形在笛卡爾坐標(biāo)系分別關(guān)于x軸和y軸的奇偶函數(shù)分解成偶-偶、奇-偶、偶-奇、奇-奇四部分,通過(guò)六次測(cè)量并計(jì)算得到三個(gè)平面的絕對(duì)面形分布,得到λ/30的PV值。但是奇-奇部分無(wú)法完全獲得,便由倍角關(guān)系拆分,再通過(guò)三次旋轉(zhuǎn)依次求出前三項(xiàng),而省略了高倍角項(xiàng)[14- 15]。2000年,Han等提出在Firtz四次測(cè)量的基礎(chǔ)上通過(guò)奇偶法計(jì)算得出絕對(duì)面形分布[16]。2017年,Li等使用四次測(cè)量奇偶法得到λ/50的PV值[17]。

2.3 迭代算法

2007年,Vannoni等提出了三平面互檢的迭代算法,能精確計(jì)算并合成干涉圖,結(jié)果和Zernike法相一致,PV值達(dá)到7.31 nm,該方法簡(jiǎn)單、快速、且可用到球面測(cè)試中[18],2008年,他們將這種迭代計(jì)算的方法直接應(yīng)用到Zernike方法的計(jì)算結(jié)果上,得到4.9 nm的PV值[19]。2011年,Morin等又針對(duì)不同的旋轉(zhuǎn)角度和迭代因子進(jìn)行了對(duì)比和驗(yàn)證[20]。2014年,Vannoni利用斜入射裝置進(jìn)行干涉測(cè)量[21],偏差的PV值可以計(jì)算到3 nm。

Gao等則是在四次測(cè)量迭代算法的基礎(chǔ)上,在每一個(gè)差值計(jì)算后都重新生成一次平面面形并帶入到下一個(gè)差值的計(jì)算中,大大加快了新結(jié)果的產(chǎn)生速度,很大程度提升了迭代算法的計(jì)算效率[22],如圖3所示。

He等提出奇偶迭代算法,首先計(jì)算關(guān)于y軸為偶函數(shù)的部分,然后再通過(guò)迭代算法去計(jì)算奇函數(shù)的部分,也可以提升迭代算法的計(jì)算效率[23],如圖4所示。

圖3 迭代算法的改進(jìn)對(duì)迭代計(jì)算效率的影響Fig.3 Influence of the improved iterative algorithm over the iterative computational efficiency

圖4 奇偶迭代算法的效率提升Fig.4 Efficiency improvement of the parity iterative algorithm

2016年,He等通過(guò)對(duì)旋轉(zhuǎn)平移法的迭代計(jì)算進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了其方法對(duì)非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱兩部分絕對(duì)面形分布迭代計(jì)算的可行性[24],面形偏差PV值達(dá)到了2.47 nm。

迭代算法可以將計(jì)算結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的偏差作為一個(gè)因子返回給面形結(jié)果,通過(guò)大量的迭代計(jì)算可以快速逼近理想結(jié)果。但是這種計(jì)算方法需要設(shè)置合適的反饋因子以及原始面形,同時(shí)這種計(jì)算結(jié)果不易進(jìn)行誤差分析。

2.4 矩陣分析

2014年,Song等將旋轉(zhuǎn)和平移的結(jié)果建立矩陣,在像素級(jí)空間分辨率基礎(chǔ)上求解出了兩個(gè)平面的絕對(duì)面形分布,得到1.67 nm的PV值,著重消除了中高頻偏差[25]。

圖5 被測(cè)平面測(cè)量和計(jì)算求解的結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of the results of two planar measurements and calculations

通過(guò)矩陣代入每一個(gè)像素點(diǎn)的位置,就可以得到整個(gè)表面的信息。由圖5可以看到,分離后的表面信息與測(cè)量結(jié)果基本吻合。 2016年,Han等在斜入射裝置的測(cè)量結(jié)果中引入了極坐標(biāo)系下的矩陣分析[26],將測(cè)量的波前圖轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)數(shù)據(jù),通過(guò)矩陣分析得到極坐標(biāo)反射平面的輪廓,再將反射平面的輪廓變換成笛卡爾坐標(biāo)數(shù)據(jù)。測(cè)得標(biāo)準(zhǔn)平面的PV值結(jié)果為0.07 nm,圖6對(duì)比了極坐標(biāo)矩陣、Zernike擬合以及迭代方法的計(jì)算誤差。

矩陣分析的方法是通過(guò)一組閉合數(shù)學(xué)形式,而避免了多項(xiàng)式波前擬合以及迭代計(jì)算,可以更有效地進(jìn)行絕對(duì)測(cè)試。但是矩陣分析一般是針對(duì)于像素點(diǎn),由于矩陣計(jì)算的限制,并不適用于所有絕對(duì)檢測(cè)方法。

圖6 不同方法的計(jì)算誤差Fig.6 Calculation errors of different methods

3 結(jié) 論

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及,數(shù)字化信息的處理已經(jīng)精確到像素級(jí)別,大量的數(shù)據(jù)分析和處理方式被應(yīng)用到絕對(duì)平面檢測(cè)中去。平移剪切法、旋轉(zhuǎn)平移法由于位移和旋轉(zhuǎn)平臺(tái)精度的提高逐漸開(kāi)始被應(yīng)用;迭代算法、矩陣分析得益于計(jì)算機(jī)的發(fā)展,大量的計(jì)算工作也可以快速有效地進(jìn)行。對(duì)于不同的使用環(huán)境和工作范圍,這些方法也各有所長(zhǎng):平移剪切法和旋轉(zhuǎn)平移法理論上可以僅用兩個(gè)平面就能獲得絕對(duì)檢測(cè)結(jié)果,在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中存在大量的近似計(jì)算;迭代法便于通過(guò)計(jì)算機(jī)直接計(jì)算得到,但不利于對(duì)迭代的結(jié)果進(jìn)行誤差分析;矩陣分析的方法可以直接使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,但由于矩陣本身計(jì)算的限制,不能應(yīng)用到所有的檢測(cè)計(jì)算方法中。雖然還存在著這些問(wèn)題,但這些方法都已經(jīng)在計(jì)算的速度、精度以及重復(fù)性上取得了顯著的提高。

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