朱 琳，蔣啟芬

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國(guó)外線性代數(shù)的教學(xué)研究述評(píng)

朱 琳，蔣啟芬

（上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240）

線性代數(shù)是大學(xué)理工科學(xué)生的重要基礎(chǔ)課，有關(guān)線性代數(shù)教學(xué)領(lǐng)域的研究越來(lái)越受到重視．分析近30年來(lái)國(guó)外有關(guān)線性代數(shù)教與學(xué)方面的研究成果，論述了國(guó)外線性代數(shù)的課程改革與內(nèi)容，總結(jié)出學(xué)生學(xué)習(xí)的心理過(guò)程和在學(xué)習(xí)過(guò)程中所遭遇的困難和原因，并對(duì)國(guó)外的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐成果進(jìn)行了評(píng)析，為中國(guó)的線性代數(shù)教學(xué)研究提供了思考和借鑒的方向．

線性代數(shù)；教學(xué)研究；研究述評(píng)

微積分和線性代數(shù)是大學(xué)理工科學(xué)生的兩門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對(duì)各專業(yè)的后續(xù)課程學(xué)習(xí)起著重要的作用．早期的高等數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究，主要集中于微積分的教學(xué)．隨著線性代數(shù)在工程、技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣，有關(guān)線性代數(shù)的研究也越來(lái)越受到重視．近30年來(lái)，國(guó)外學(xué)者在線性代數(shù)的教與學(xué)中，對(duì)課程內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)、學(xué)生學(xué)習(xí)等方面，產(chǎn)生了大量的研究理論與成果，值得借鑒和思考．

1 線性代數(shù)的課程改革與內(nèi)容

美國(guó)的線性代數(shù)課程改革起源于圖蘭的微積分改革會(huì)議[2]，于1990年1月成立線性代數(shù)課程研究小組（LACSG），并對(duì)線性代數(shù)的課程大綱和教學(xué)提出了一系列指導(dǎo)性建議．他們認(rèn)為，線性代數(shù)應(yīng)該是矩陣導(dǎo)向的課程，應(yīng)從具體的、實(shí)際的例子出發(fā)來(lái)介紹概念、原理、理論的發(fā)展．教學(xué)必須響應(yīng)其它學(xué)科的需求，讓學(xué)生的后續(xù)課程學(xué)習(xí)會(huì)覺得線性代數(shù)是有用的．他們給出線性代數(shù)課程改革的建議為：（1）教學(xué)大綱和介紹必須響應(yīng)其它學(xué)科的需求，讓學(xué)生的后續(xù)課程學(xué)習(xí)會(huì)覺得線性代數(shù)是有用的．（2）線性代數(shù)應(yīng)該是矩陣導(dǎo)向的課程．應(yīng)該從具體的、實(shí)際的例子出發(fā)來(lái)介紹概念、原理、理論的發(fā)展．必須著重定義、定理的陳述以及證明，并且揭示不同概念和理解之間的聯(lián)系．（3）教師需要了解學(xué)生的需求和興趣．（4）教學(xué)中要應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)．（5）至少要開設(shè)第二門線性代數(shù)后續(xù)的課程，以適應(yīng)數(shù)學(xué)專業(yè)以及其它專業(yè)需求更高的學(xué)生的需要．在LACSG小組的這一建議下，影響了很多國(guó)家的線性代數(shù)課程和教學(xué)改革，并出版了風(fēng)扉全球的教材[3]．但是，對(duì)于LACSG的線性代數(shù)改革建議，杜賓斯基是強(qiáng)烈質(zhì)疑的．他認(rèn)為，這種矩陣導(dǎo)向的線性代數(shù)課程是“灌水式”教學(xué)，充斥著計(jì)算的步驟，不僅不是應(yīng)用型導(dǎo)向，也不能幫助學(xué)生構(gòu)建概念性理解[4]．

2 學(xué)生學(xué)習(xí)的心理過(guò)程

研究學(xué)生如何理解數(shù)學(xué)概念，以及學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過(guò)程，對(duì)于改進(jìn)教學(xué)有重要的作用[6]．杜賓斯基的APOS理論、韜爾的過(guò)程性概念（Procept）、數(shù)學(xué)的3個(gè)世界（具體化世界、符號(hào)化世界、形式化世界）理論等，都為研究學(xué)生學(xué)習(xí)中的心理建構(gòu)過(guò)程奠定了理論基礎(chǔ)，能夠幫助數(shù)學(xué)研究者從更廣闊的視角理解數(shù)學(xué)推理的發(fā)展，并能幫助數(shù)學(xué)家看到數(shù)學(xué)教育研究和他們教學(xué)之間的深刻聯(lián)系[7]．

Okta等人應(yīng)用APOS理論分析學(xué)生在構(gòu)建向量空間概念時(shí)的方式，以及他們?cè)庥龅睦щy，形成由4個(gè)圖式：公理、二元運(yùn)算、函數(shù)和集合協(xié)調(diào)構(gòu)成的向量空間的圖式，以此描述學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)發(fā)生的心理機(jī)制和建構(gòu)方式．并基于學(xué)生的理解設(shè)計(jì)ACE教學(xué)循環(huán)，用MAPLE軟件設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)向量空間概念的理解[13]．隨后，Parraguez和Okta的研究改進(jìn)了這一向量空間概念的圖式框架[14]，認(rèn)為由集合、二元運(yùn)算、公理這3個(gè)圖式整合構(gòu)建而成．通過(guò)對(duì)10名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查和訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很難構(gòu)建出向量空間的圖式，向量空間的運(yùn)算和結(jié)構(gòu)之間的協(xié)調(diào)在認(rèn)知上很重要，雖然數(shù)學(xué)上看只是小事．他同時(shí)也給出了教學(xué)啟示：需要重點(diǎn)關(guān)注二元運(yùn)算的圖式構(gòu)建，給學(xué)生機(jī)會(huì)練習(xí)不同集合下的二元運(yùn)算，讓他們能靈活地發(fā)展包含多種不同于常見運(yùn)算的心理結(jié)構(gòu)；需要將向量空間的兩個(gè)運(yùn)算關(guān)聯(lián)起來(lái)，需要設(shè)計(jì)活動(dòng)來(lái)促進(jìn)這兩種過(guò)程的協(xié)調(diào)．

3 學(xué)生學(xué)習(xí)的困難和原因

學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)解線性方程組、計(jì)算矩陣的乘積時(shí)都很簡(jiǎn)單，但是，當(dāng)學(xué)到子空間、擴(kuò)張、線性無(wú)關(guān)時(shí)，“如同濃濃迷霧滾滾而來(lái)”，感覺迷失了方向[15]．線性代數(shù)中的概念因其抽象性和形式化的本質(zhì)，是產(chǎn)生學(xué)生理解困難的主要原因[16]．針對(duì)學(xué)生在概念理解時(shí)遇到的困難，以及產(chǎn)生困難的原因，研究者從不同角度作了大量研究．

3.1 形式化障礙

形式化將數(shù)學(xué)定義為嚴(yán)密的證明科學(xué)，做數(shù)學(xué)的唯一方式就是進(jìn)行證明．當(dāng)通過(guò)嚴(yán)密的證明，得到確定的數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)，才算是完成了做數(shù)學(xué)的過(guò)程．學(xué)生難以理解向量空間理論中的形式化，更難以解釋形式化的概念跟幾何或線性方程組理論中更直觀的內(nèi)容之間的關(guān)系．幾乎所有的教學(xué)模式中，學(xué)生都感到的一個(gè)獨(dú)特的巨大障礙，即“形式化障礙”[17]．學(xué)生們常常感覺像是登上了另一個(gè)星球，大量的定義、定理、術(shù)語(yǔ)鋪面而來(lái)，這些與他們之前學(xué)習(xí)的知識(shí)沒有聯(lián)系，讓他們感到非常困惑．另一方面，在老師看來(lái)十分簡(jiǎn)單的概念，學(xué)生卻無(wú)法理解，老師們也常常感到受挫和失望[1]．對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，線性代數(shù)無(wú)非是一列列的他們無(wú)法想象的抽象記號(hào)．另一方面，他們的水平很難找到可以將線性代數(shù)用于解決問(wèn)題的情境．學(xué)生對(duì)集合論、證明語(yǔ)言的邏輯知識(shí)、形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋的缺乏，是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的障礙．學(xué)生很難將代數(shù)過(guò)程中的形式化、算法化特征與非正式的、有意義的方法關(guān)聯(lián)起來(lái)；與具體的情境相比，解決問(wèn)題的過(guò)程是抽象的；學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象抽象水平的認(rèn)識(shí)；抽象是完成整個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程的需要，而執(zhí)行初等代數(shù)運(yùn)算過(guò)程只是其中的部分．因此，必須幫助學(xué)生發(fā)展有意義的代數(shù)對(duì)象和運(yùn)算，使其不僅與現(xiàn)實(shí)生活情境相關(guān)，也包括有意義的數(shù)學(xué)關(guān)系框架．

有一些研究者認(rèn)為，在大一學(xué)生的學(xué)習(xí)中，所有需解決的線性問(wèn)題，可以無(wú)需使用公理化的理論、而通過(guò)計(jì)算的技巧來(lái)解決，這種形式化理論的益處，比如它的統(tǒng)一形式、可以進(jìn)行概括歸納、可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔，只有專門的數(shù)學(xué)家才能體會(huì)到．因此，有一種傾向的解決路徑，就是放棄教授這種公理化的線性空間理論．然而，又有一些研究者認(rèn)為，對(duì)于進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，即將學(xué)習(xí)大量的高等數(shù)學(xué)和科學(xué)，必須通過(guò)學(xué)習(xí)這些公理化的概念，掌握對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的了解，獲得思維方式的提升，這對(duì)于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)是尤為重要的．線性空間正是代數(shù)結(jié)構(gòu)中最基本的對(duì)象之一．因此，必須引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)這種思想和方法的過(guò)程，帶領(lǐng)學(xué)生思考形式化概念的好處，并建立起與已有知識(shí)之間的聯(lián)系，形成掌握學(xué)習(xí)這種新的形式化概念的能力[1]．Dorier另外提到，現(xiàn)在的教學(xué)模式已經(jīng)越來(lái)越少在一開始就強(qiáng)調(diào)形式化的概念，而是盡可能地先讓學(xué)生學(xué)習(xí)類似初等矩陣行列變換的算法運(yùn)算．然而，這又導(dǎo)致了一個(gè)矛盾，學(xué)生只學(xué)會(huì)了怎么進(jìn)行Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算，卻對(duì)其中最基本的概念比如線性無(wú)關(guān)、子空間等產(chǎn)生誤解[1]．

Dubinsky指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，遇到困難的原因包括：第一，教師是教學(xué)的主導(dǎo)者，他在教學(xué)過(guò)程中完全是單向地向?qū)W生灌輸各種概念和定理，學(xué)習(xí)的內(nèi)容和必要的操作，是完全由教師來(lái)告訴學(xué)生．?dāng)?shù)學(xué)思維的過(guò)程，是完全由教師來(lái)進(jìn)行展示和操作．學(xué)生往往不理解概念的意思，但是可以直接進(jìn)行計(jì)算的操作，比如，學(xué)生只記住了可以直接應(yīng)用著名的算法來(lái)解題，比如，用高斯消元法進(jìn)行初等行變換，可以得到矩陣的階梯型．這是線性問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)所面臨的弱點(diǎn)和挑戰(zhàn)．第二，學(xué)生缺乏對(duì)于線性代數(shù)所需背景概念的理解．這些背景概念往往能夠解決線性代數(shù)之外的很多問(wèn)題，但通常是數(shù)學(xué)家所不關(guān)心的，也是數(shù)學(xué)教師所不了解的．但對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言卻很重要，這有助于建立學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)．第三，缺乏有效的教學(xué)策略，可以讓學(xué)生形成自己的思考，而非一味地接受現(xiàn)成的理論和方法，以此幫助學(xué)生建構(gòu)起自己對(duì)概念的理解[4]．

Hillel建立了一個(gè)理論框架，理解學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)的思考過(guò)程，分成幾何、代數(shù)和抽象模型，以及學(xué)生在抽象模型下會(huì)面臨哪些學(xué)習(xí)障礙[18]．Gueudet用了10年的時(shí)間研究線性代數(shù)與幾何的關(guān)系，進(jìn)而研究學(xué)生的具體困難在于很難建立形式化概念的直觀想象[19-20]．Portnoy等證明，職前教師在用線性變換將幾何對(duì)象變換為其它幾何對(duì)象的過(guò)程中都會(huì)遭遇困難．雖然理解線性變換將有助于理解一般的概念，但他們無(wú)法發(fā)展出必要的對(duì)象性理解[21]．Britton和Henderson的研究表明，學(xué)生對(duì)于形式化的子空間概念和代數(shù)形式很難理解[22]．

3.2 認(rèn)知靈活性

Pavlopolon區(qū)分了向量的3種符號(hào)化表述的記法：“箭頭”指的是圖記法，“坐標(biāo)”為表格記法，“公理化的線性空間”為符號(hào)記法．她指出，在教師的教學(xué)和教材中，這些不同的記法，特別是記法的表述之間的轉(zhuǎn)換通常是不加解釋的．學(xué)生的很多錯(cuò)誤，是由于混淆了對(duì)象和它的表征方式，特別是向量和它的幾何表示所造成的．對(duì)于學(xué)生而言，從一種表述到另一種表述之間的靈活轉(zhuǎn)換，是巨大的困難和障礙[1]．Alves-Dias研究了線性子空間及其笛卡爾坐標(biāo)表示形式．她發(fā)現(xiàn)，這不僅只是表述形式的改變，對(duì)于學(xué)生而言涉及更加復(fù)雜的認(rèn)知和建構(gòu)過(guò)程．學(xué)生常常會(huì)根據(jù)代數(shù)符號(hào)的表征形式來(lái)辨認(rèn)屬于某種表述形式，比如把包含和，就認(rèn)為是笛卡爾坐標(biāo)，而沒有去理解真正的含義．本質(zhì)上，當(dāng)把一個(gè)子空間由笛卡爾坐標(biāo)進(jìn)行表示的時(shí)候，其實(shí)相當(dāng)于尋找的一組生成元．即使子空間的維數(shù)已知時(shí)，想要尋找它的一組基也不是那么容易，這里不僅只是表述形式的改變，還涉及更加高等數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)過(guò)程，對(duì)于學(xué)生而言是比較困難的[1]．

Harel認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，智力活動(dòng)必須在概念性對(duì)象這一范圍內(nèi)進(jìn)行，在對(duì)象轉(zhuǎn)移水平上的思考困難將導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生了“防御機(jī)制”．學(xué)生在面臨巨大的認(rèn)知沖突和學(xué)習(xí)困難時(shí)，為了擺脫困境，只能試圖機(jī)械性地進(jìn)行重復(fù)，在形式上“復(fù)制”教學(xué)或教材中的過(guò)程，而沒有理解符號(hào)和術(shù)語(yǔ)的真正含義[24]．Sierpinska等人通過(guò)對(duì)學(xué)生在計(jì)算機(jī)環(huán)境下的具體行為和表現(xiàn)進(jìn)行分析，解釋他們?cè)诮鉀Q具體線性代數(shù)問(wèn)題時(shí)，可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤，并尋找導(dǎo)致這種困難的原因．得出結(jié)論，學(xué)生認(rèn)知思維的特征是“以‘具體的’而非‘理論的’方式進(jìn)行思維的傾向”[25]．學(xué)生具體思維的顯著特征是，他們對(duì)抽象概念的理解不是基于它的定義，而是基于一些“典型的例子”．例如：線性變換被理解為旋轉(zhuǎn)、伸縮、剪切以及它們的組合．這種理解方式使學(xué)生很難看出線性變換可以由在某一組基上的值來(lái)確定；因此，他們關(guān)于線性變換的矩陣的概念仍停留在它是一種程序的水平上[26]．

3.3 歷史分析的視角

古希臘時(shí)期，向量的平行四邊形法則就被亞里士多德和海倫提出過(guò)．早期的向量方法強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)算本身，在數(shù)學(xué)理論的構(gòu)建上并不清晰．公理化、形式化的線性空間理論直到19世紀(jì)后期才產(chǎn)生．從認(rèn)識(shí)論角度對(duì)線性代數(shù)發(fā)展歷史進(jìn)行分析，是揭示學(xué)生學(xué)習(xí)困難的緣由的一種方法，對(duì)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)有啟發(fā)作用[1]．

線性空間理論的產(chǎn)生可以追溯到19世紀(jì)后期，它對(duì)應(yīng)于線性代數(shù)的公理化過(guò)程，即利用新的以公理為中心的理論的各種概念和工具，對(duì)解線性問(wèn)題的方法進(jìn)行理論重構(gòu)．必須認(rèn)識(shí)到：這種公理化本身，不僅能讓數(shù)學(xué)家解決新的問(wèn)題，還能以一種通用的方法和語(yǔ)言在各種情境下進(jìn)行使用（泛函分析、二次型、算術(shù)、幾何，等等）．在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，除非需要解決的是非可數(shù)的無(wú)限維問(wèn)題，否則公理化的方法也不是絕對(duì)必須的，但它是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維思考的普遍性的思想方法．這種公理化的好處，不僅在于有可能解決未知的問(wèn)題，而且在于它可以進(jìn)行概括和歸納，這種一般的、統(tǒng)一的方法簡(jiǎn)化了解決問(wèn)題的途徑[28]．

Hristovitch通過(guò)對(duì)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的歷史分析，認(rèn)為數(shù)學(xué)家使用的直覺化的、隱喻和類比的解釋，如“限制”、“分解”和“不可約”到“死”，是從操作性理解轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)性的表達(dá)“線性獨(dú)立”，這對(duì)數(shù)學(xué)概念的初步形式化和接下來(lái)的發(fā)展都是很重要的．而在概念具體化的道路上，符號(hào)化表征和演繹性推理，在將起初的直覺轉(zhuǎn)化為這些起源于直覺概念的高級(jí)結(jié)構(gòu)上起了重要的作用．在這種意義下，學(xué)生無(wú)意識(shí)的類比、帶暗喻的語(yǔ)義解釋和對(duì)概念的符號(hào)化的推理，具有概念發(fā)展的歷史相似性，將影響學(xué)生的概念化形成和問(wèn)題解決[29]．

4 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

4.1 幾何直觀化的教學(xué)設(shè)計(jì)

一種觀點(diǎn)認(rèn)為，幾何化能夠真正建立學(xué)生的“概念意象”．Robert等人設(shè)計(jì)并實(shí)施以幾何的方式融入線性代數(shù)教學(xué)的方案，將線性代數(shù)概念賦予更多“具體”的幾何意義，以此克服抽象的困難和形式化的障礙[17]．Cihan（2003）等人通過(guò)兩個(gè)班級(jí)的對(duì)比研究，得出結(jié)論，幾何化、直觀化的教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)線性空間概念的理解和轉(zhuǎn)換[30]．

但是，又有一些研究者認(rèn)為，從幾何的角度來(lái)引入概念，會(huì)讓學(xué)生很難與代數(shù)表征關(guān)聯(lián)起來(lái)，在推廣到形式化概念的學(xué)習(xí)中會(huì)遭遇很多困難[31]．首先，幾何只能限于三維空間，比如秩、對(duì)偶等概念，在幾何情境下的講述會(huì)受到很大限制．這種跟幾何的聯(lián)系，會(huì)讓不少學(xué)生常用仿射子空間代替向量子空間[1]．Gueudet對(duì)幾何與線性代數(shù)兩者間的聯(lián)系進(jìn)行了認(rèn)識(shí)論方面的研究[19]．她發(fā)現(xiàn)幾何直觀在線性代數(shù)的教材或教師中被當(dāng)作是一種必要條件．然而，現(xiàn)實(shí)中幾何的利用經(jīng)常是非常膚淺的，甚至對(duì)某些學(xué)生而言，在線性代數(shù)中利用幾何的表示或以幾何為參照物，并不總是有益的．事實(shí)上，一些學(xué)生不能從向量空間結(jié)構(gòu)中區(qū)分仿射空間；他們也常常不能想象不是幾何變換的線性變換．換言之，幾何參照物成了學(xué)生理解一般的線性代數(shù)的障礙．另一方面，研究中發(fā)現(xiàn)學(xué)優(yōu)生很少利用幾何參照物，他們可以不借助幾何的表示而直接在形式化的水平上思考．如此看來(lái)，幾何表示或語(yǔ)言的使用可能是一個(gè)積極的因素，但必須加以控制，要在把兩者的聯(lián)系講得十分清楚的條件下使用[1]．

4.2 計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大量數(shù)學(xué)軟件（Matlab、Mathematica、Derive、Linalg）在教學(xué)中得到有效的使用，美國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究小組（RUMEC）于2002年出版了用《ISETL語(yǔ)言融入線性代數(shù)教學(xué)》．Dogan等人試圖通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)的融入，探究學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)的困難，搭建不同表征形式之間的橋梁[32]．Sierpinska等人發(fā)現(xiàn)，計(jì)算機(jī)環(huán)境下的任務(wù)操作，可以幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)線性變換的動(dòng)態(tài)理解，但卻阻礙了學(xué)生理解線性變換是將一般的向量映射到它的象，將思想固著于線性變換的具體例子[33]．Dogan（2001）對(duì)傳統(tǒng)課堂和用Mathamatica實(shí)驗(yàn)課堂進(jìn)行了對(duì)比研究．在傳統(tǒng)課堂由老師直接介紹定義，在實(shí)驗(yàn)課堂用軟件引導(dǎo)學(xué)生探究定義和對(duì)向量空間的理解．結(jié)論表明實(shí)驗(yàn)組在解決涉及到概念性知識(shí)的任務(wù)時(shí)，表現(xiàn)優(yōu)于傳統(tǒng)組．實(shí)驗(yàn)組和傳統(tǒng)組理解上最大的不同在于，實(shí)驗(yàn)組將線性空間概念應(yīng)用到線性變換的時(shí)候，能夠認(rèn)識(shí)到向量作為子空間的對(duì)象，能夠?qū)懗鲎涌臻g的基．但沒有顯著差異表明，實(shí)驗(yàn)組比傳統(tǒng)組在需要過(guò)程性知識(shí)的問(wèn)題時(shí)，或者同時(shí)需要過(guò)程性和概念性知識(shí)的問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)更好[34]．Dikovic利用課堂投票器介入課堂教學(xué)，讓學(xué)生主動(dòng)思考，讓課堂生動(dòng)活潑．同時(shí)，他利用數(shù)學(xué)軟件和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的交互式學(xué)習(xí)，在學(xué)生完成傳統(tǒng)課堂的學(xué)習(xí)后還能進(jìn)行專題學(xué)習(xí)，以建立起對(duì)線性代數(shù)概念數(shù)值化、符號(hào)化、直觀化的表征[35]．

4.3 數(shù)學(xué)建模的方法

在數(shù)學(xué)課程中融入數(shù)學(xué)建模的方法，運(yùn)用經(jīng)“現(xiàn)實(shí)生活”的問(wèn)題設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)重要的數(shù)學(xué)概念[36]．Possani等人設(shè)計(jì)了交通流的模型，通過(guò)交通控制中不同參數(shù)的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生理解線性方程組[37]．他們基于APOS理論和數(shù)學(xué)建模理論，設(shè)計(jì)了具體的教學(xué)順序和教學(xué)材料，在現(xiàn)實(shí)的生活中利用有趣的實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生建構(gòu)概念，開發(fā)分析工具來(lái)分析學(xué)生對(duì)線性方程組的理解．他們之后繼續(xù)進(jìn)行模型的開發(fā)和設(shè)計(jì)，利用經(jīng)濟(jì)學(xué)中生產(chǎn)計(jì)劃的建模問(wèn)題，基于APOS理論分析學(xué)生的建模過(guò)程，重點(diǎn)構(gòu)建對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑分析框架，分析學(xué)生在線性組合、線性無(wú)關(guān)，以及向量空間的概念建構(gòu)過(guò)程中處理建模問(wèn)題的循環(huán)．并得到結(jié)論，數(shù)學(xué)模型的使用和基于教育研究理論所特殊設(shè)計(jì)的活動(dòng)，能增進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象概念的理解．建?；顒?dòng)可以給學(xué)生提供背景來(lái)關(guān)聯(lián)他們以前的知識(shí)，并且建構(gòu)新的知識(shí)，同時(shí)也能給老師和研究者提供很清晰的視角來(lái)觀察學(xué)生推理、證明、判斷的過(guò)程[38]．

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，近30年來(lái)國(guó)外在線性代數(shù)的教與學(xué)研究中取得了諸多成果，研究范圍不斷擴(kuò)展，研究方法日益更新．但同時(shí)能夠看到這樣的傾向性，以法國(guó)為代表的歐洲國(guó)家，主導(dǎo)形式化的、公理化的教學(xué)模式，通常的線性代數(shù)教學(xué)以公理化的線性空間理論開始，然后介紹矩陣、解線性方程組的問(wèn)題．這些符號(hào)化的表征和形式化的定義，都讓學(xué)生覺得很難理解．而在美國(guó)，線性代數(shù)改革小組改革后的線性代數(shù)課程，是以“矩陣—導(dǎo)向”的、偏重計(jì)算技巧的改革課程，大量計(jì)算機(jī)技術(shù)的融入線性代數(shù)教學(xué)．但是，當(dāng)計(jì)算能被電腦快速有效執(zhí)行時(shí)，必須問(wèn)問(wèn)“什么是學(xué)生真正需要去學(xué)的？”在這兩種不同的研究背景下，立足于中國(guó)高校的特點(diǎn)和國(guó)內(nèi)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，需要對(duì)線性代數(shù)教學(xué)深入進(jìn)行融入實(shí)踐、融入課堂的實(shí)證研究．在中國(guó)的線性代數(shù)教學(xué)研究領(lǐng)域，研究者主體是高校的數(shù)學(xué)家、以及熱心教學(xué)的數(shù)學(xué)教師．現(xiàn)有研究主要以經(jīng)驗(yàn)總結(jié)、思辨思考為多，研究方法缺乏規(guī)范、研究工具更顯單一．在借鑒國(guó)外研究成果的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)本土化的教學(xué)理論建設(shè)和實(shí)證研究，是線性代數(shù)教學(xué)研究領(lǐng)域，甚至是高等數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域予以努力的方向．

[1] DORIER J L. Teaching linear algebra at university [C]. Beijing: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 2002: 20-28.

[2] CARLSON D, JOHNSON C, LAY, et al. The Linear algebra curriculum study group recommendations for the first course in linear algebra [J]. College Mathematics Journal, 1993 (24): 41–46.

[3] LAY D C. Linear algebra and its applications [M]. 3th ed. New York: Pearson Education Inc, 2003: 1-506.

[4] DUBINSKY E. Some thoughts on a first course in linear algebra at the college level [M] // CARLSON D, JOHONSON C R, LAY D C. Resources for the teaching of linear algebra. The Mathematical Association of America, 1997: 85–105.

[5] ROGALSKI M. The Teaching experimented in lille [M] // DORIER J L. On the teaching of linear algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000: 133–149.

[6] AYDIN S. The factors effecting teaching linear algebra [C]. North Cyprus: Procedia Social and Behavioral Sciences 1, World Conference on Educational Sciences, 2009: 1?549–1?553.

[7] THOMPSON P W, VIRGINIA Y. Some children do grow up to be mathematicians [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1993, 24(3): 279–284.

[8] CARLSON D, JOHNSON R C, LAY D C, et al. Resources for teaching linear algebra [M]. Washington: The Mathematical Association of America, 1997: 185–189.

[9] STEWART S, THOMAS M O J. Difficulties in the acquisition of linear algebra concepts [J]. New Zealand Journal of Mathematics, 2003, 32(SI): 207–215.

[10] ?BOGOMONLY M. The role of example generation tasks in students’ understanding of linear algebra [D]. Vancouver: Simon Fraser University, 2006: 6–150.

[11] STEWART E. Understanding linear algebra concepts through the embodied, symbolic and formal worlds of mathematical thinking [D]. Auckland: The University of Auckland, 2008: 19–271.

[12] AYDIN S. Using example generation to explore students’ understanding of the concepts of linear dependence / independence in linear algebra [J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2014, 45 (6): 813-826.

[13] ?OKTA A, TRIGUEROS M, VARGAS X N. Understanding of vector spaces–a viewpoint from APOS theory [C]. Istanbul, Turkey: Proceedings of the 3rd International Conference on the Teaching of Mathematics, 2006: 265–276.

[14] ?PARRAGUEZ M, OKTA A. Construction of the vector space concept from the viewpoint of APOS theory [J]. Linear Algebra and its Applications, 2010 (432): 2?112–2?124.

[15] ?CARLSON D. Teaching linear algebra: must the fog always roll in [J]. Coll. Math J., 1993, 24(1): 29–40.

[16] ?STEWART S, THOMAS M O J. Embodied, symbolic and formal thinking in linear algebra [J]. Math Educ Sci Tech, 2007, 38 (7): 927–937.

[17] ?DORIER J L, ROBERT A, ROBINET J, et al. The obstacle of formalism in linear algebra [M] // DORIER J L. On the teaching of linear algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000: 85–94.

[18] ?HILLEL J. Modes of description and the problem of representation in linear algebra [M] // DORIER J L. On the teaching of linear algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000: 191–207.

[19] ?GUEUDET G. Should we teach linear algebra through geometry [J]. Linear Algebra and its Applications, 2004 (379): 491-501.

[20] ?GUEUDET G. Investigating the secondary-tertiary transition [J]. Educational Studies in Mathematics, 2008, 67(3): 237-254.

[21] ?PORTNOY N, GRUNDMEIER T A, GRAHAM K J. Students’ understanding of mathematical objects in the context of transformational geometry: implications for constructing and understanding proofs [J]. The Journal of Mathematical Behavior, 2006 (25): 196-207.

[22] ?BRITTON S, HENDERSON J. Linear algebra revisited: an attempt to understand students’ conceptual difficulties [J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2009 (40): 963-974.

[23] ?HILLEL J, SIERPINSKA A. On one persistent mistake in linear algebra [C]. Portugal: The Proceedings PME 18, University of Lisbon, 1994: 65–72.

[24] ?HAREL G. Principles of learning and teaching mathematics, with particular reference to the learning and teaching of linear algebra: old and new observations [M] // DORIER J L. On the teaching of linear algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000: 177–189.

[25] ?SIERPINSKA A. On some aspects of students’ thinking in linear algebra [M] // DORIER J L. On the teaching of linear algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000: 209–246.

[26] ?SIERPINSKA A, TRGALOVA J, HILLEL J, et al. Teaching and learning linear algebra with cabri [C]. Israel: The Proceedings of PME 23, Haifa University, 1999: 119–134.

[27] WAWRO M, SWEENEY G, RABIN J. Subspace in linear algebra: investigating students’ concept images and interactions with the formal definition [J]. Educational Studies in Mathematics, 2011 (78): 1-19.

[28] ?DORIER J L. A general outline of the genesis of vector space theory [J]. Historia Mathematica, 1995, 22(3): 227–261.

[29] ?HRISTOVITCH S P. Students’ conception of introductory linear algebra notions: the role of metaphors, analogies, and symbolization [D]. West Lafayette: Purdue University, 2001: 7–132.

[30] ?CIHAN A, KONYALIO?LU. On the teaching linear algebra at the university level: the role of visualization in the teaching vector spaces [J]. Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education, 2003, 7(1): 59–67.

[31] ?HAREL G. Using geometric models and vector arithmetic to teach high-school students basic notions in linear algebra [J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1990 (21): 387-392.

[32] ?DOGAN-DUNLAP H, HALL B. Computers and linear algebra [J]. WSEAS Transactions on Mathematics, 2004 (3): 537-542.

[33] ?SIERPINSKA A, DREYFUS T, HILLEL J. Evaluation of a teaching design in linear algebra: the case of linear transformations [J]. Recherches en Didactique des Math′ematiques, 1999, 19(1): 7–40.

[34] ?Hamide D. A comparison study between a traditional and experimental first year linear algebra program [D]. Oklahoma: University of Oklahoma Graduate College, 2001: 8–185.

[35] ?DIKOVIC′ L. Interactive learning and teaching of linear algebra by web technologies: some examples [J]. The Teaching of Mathematics, 2007, 5(2): 109–116.

[36] ?LESH R, ENGLISH L. Trends in the evolution of models and modeling perspectives on mathematical learning and problem solving [J]. ZDM, 2005, 37(6): 487–489.

[37] ?POSSANI E, TRIGUEROS M, PRECIADO J G, et al. Use of models in the teaching of linear algebra [J]. Linear Algebra Appl, 2009, 432(8): 2?125–2?140.

[38] TRIGUEROS M, POSSANI E. Using an economics model for teaching linear algebra [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2013 (438): 1?779–1?792.

Review on Foreign Studies of the Teaching and Learning of Linear Algebra

ZHU Lin, JIANG Qi-fen

(School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Linear algebra was one of the first advanced mathematics courses that students encounterat university level. This paper evaluated foreign studies of the teaching and learning of linear algebra in the past three decades from the four aspects as follows: the content and reformation of curriculum, the psychological process of students’ learning, students’difficulties, and the teaching designs and experiments. The foreign research patterns and conclusions couldprovide some reference for our research, while their limitations also indicated the direction of our future study.

linear algebra; studies of teaching and learning; research review

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2017–10–05

上海交通大學(xué)課程教學(xué)改革項(xiàng)目——發(fā)生教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的研究與應(yīng)用

朱琳（1981—），女，安徽黃山人，講師，主要從事高等數(shù)學(xué)教育研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2018）01–0079–06

朱琳，蔣啟芬．國(guó)外線性代數(shù)的教學(xué)研究述評(píng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：79-83．