江蘇省江陰市第一初級中學

鐘珍玖 (郵編：638400)

拜讀孫偉剛老師的文章《數(shù)學教育應追求數(shù)學精神》后深有同感：數(shù)學的方式是數(shù)學育人的根本途徑，數(shù)學精神的激發(fā)是數(shù)學教育工作者追尋的教育價值.在平時的教學中，對于數(shù)學教育的價值也有一些思考，作為對前文觀點的補充特撰寫下文，以期同行斧正.

《數(shù)學教育應追求數(shù)學精神》認為數(shù)學精神應包含三個方面：理性精神、求真精神、創(chuàng)新精神，從數(shù)學本身特點和數(shù)學發(fā)展的歷史來看，數(shù)學精神還應包括：自由的精神、追求“數(shù)學美”的情感和哲學的思辯.

1 數(shù)學教育追求自由的精神

從數(shù)學的本質(zhì)來看，數(shù)學是模式建構的學科，這就決定了數(shù)學在模式建構的過程就有多樣性的特點，也就是數(shù)學創(chuàng)造的自由性. 因此，學生在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題時也具有思考的多樣性，具有思想馳騁的自由性.

案例1“一元二次方程復習課”教學片段

問題定義：如果關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a+b+c=0，那么我們稱此方程為“完美”方程. 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“完美”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是( )

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

生1：根據(jù)一元二次方程的求根公式：

由方程有兩個相等的實數(shù)根得x1=x2，所以b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0,得a=c.

生2：可以簡化上述方法，由根的判別式知b2-4ac=0，又a+b+c=0，同樣可得a=c.

生4：由生3的解法得到啟發(fā)，方程必有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=1，則原方程可表示為a(x-1)2=0，即ax2-2ax+a=0，比較ax2+bx+c=0的系數(shù)可得：a=c，還可以得出另一結(jié)論b=-2a.

上述簡單問題的解決，通過充分調(diào)動學生思維的主動性，解題的方法多樣，極大地體現(xiàn)了數(shù)學教學應追求自由的思考、自由的表達、自由的創(chuàng)造.這樣的教學方法也正體現(xiàn)了章建躍博士所提出的數(shù)學問題思考的“創(chuàng)新性”和“隨意性”.

2 數(shù)學教育追求數(shù)學美的情感

古希臘偉大的哲學家亞里士多德早就指出：“認為數(shù)學的科學全不涉及美或善是錯誤的……數(shù)學的科學特別體現(xiàn)秩序、對稱、和明確性，而這些正是美的主要形式. ”古今中外的數(shù)學家和數(shù)學教育家對于數(shù)學美都有很詳盡的表述和深入的研究，在數(shù)學發(fā)展史上曾經(jīng)把美學的標準作為數(shù)學研究的一個準則. 著名的數(shù)學家馮·諾伊曼曾經(jīng)說過：數(shù)學家選這個課題，或者選其他課題，基本上是自由的. 而對于決定選題、選題的標準、成功與否的標準，主要是美學的.

案例2蘇科版九年級上冊“圓的內(nèi)接四邊形”教學片段

師：經(jīng)過不在一直線上三點可以確定一個圓，經(jīng)過任意四個點(無三點共線)能夠確定一個圓嗎？

生1：經(jīng)過任意四個點(無三點共線)不一定能確定一個圓.

師：為什么？

生1：因為經(jīng)過平行四邊形的四個頂點不一定在同一個圓上.

師：數(shù)學追求嚴謹?shù)耐评?，能夠推導出上述結(jié)論嗎？

生1：假設平行四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么圓心到四個頂點的距離相等，四邊的垂直平分線交于同一點，而平行四邊形的對邊平行，它們的垂直平分線也是平行的，這是不可能的.

師：很好，如果要證明某個命題是假命題，我們只需要舉出反例.類比“圓的內(nèi)接三角形”、“三角形的外接圓”的概念，你認為如何定義“圓的內(nèi)接四邊形”“四邊形的外接圓”的概念？

生2：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，圓稱為四邊形的外接圓.

師：學習需要深入思考，那么圓的內(nèi)接四邊形有何性質(zhì)呢？

圖1

圖2

圖3

生3：圓的內(nèi)接四邊形對角互補，如圖1，∠A的度數(shù)等于______度數(shù)的一半，∠C的度數(shù)等于______度數(shù)的一半，則∠A+∠C=180°.

師：你能用所學的定理推導出圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)嗎？

學生陷入了沉思……

師：能否類比圓周角定理的發(fā)現(xiàn)過程，來發(fā)現(xiàn)和證明圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)呢？

生4：如圖2從特殊情況入手，當BD是⊙O的直徑時，結(jié)論是成立的.

因為BD是⊙O的直徑，所以∠A=∠C=90°，

所以∠A+∠C=180°，同理∠B+∠D=180°.

當點O不在四邊形ABCD的對角線上時，如圖3，證明如下：

連接BO并延長，交⊙O于點E,

由圖2證明可得：∠BAE+∠BCE=180°，

因為∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BCE=∠BCD-∠DCE，

所以∠BAD+∠DAE+∠BCD-∠DCE=180°，

因為∠DAE=∠DCE，

所以∠BAD+∠BCD=180°.

圖4

師：能用文字語言概括一下我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

生4：圓的內(nèi)接四邊形對角互補.

(正當老師準備繼續(xù)講解后面的內(nèi)容時，還有學生舉手發(fā)言)

生5：還有其他的方法證明這個定理，如圖4，證明如下：

連接OA、OB、OC、OD，

因為OA=OB=OC=OD，所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，

所以∠2+∠3+∠6+∠7=∠1+∠4+∠5+∠8=180°，所以∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°.

從定理的發(fā)現(xiàn)與證明的過程可以看出，數(shù)學之美貫串其中，圓周角、圓心角、所對的弧的度數(shù)，其本身都是互相聯(lián)系的，體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)在統(tǒng)一美、和諧美.這種對于美的追求和補“美”的過程也具有方法論的價值，構造直徑和半徑解題，是圓的問題中最為常用的輔助線的作法. 數(shù)學之美在數(shù)學中俯拾皆是，值得教者研究和應用.

3 數(shù)學教育追求哲學的思辨

從數(shù)學的發(fā)展史來看，數(shù)學與哲學從來就是密切相關的，數(shù)學教學理應培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀，有助于學生形成正確的數(shù)學觀、世界觀. 數(shù)學中的辨證思想很多如：變與不變、運動與靜止、一般與特殊、整體與局部等等，以下僅以“動”與“靜”的關系為例作說明.

案例3一道動態(tài)問題的教學過程

圖5

圖6

如圖5，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，點C和點M重合，BC和MN在一條直線上.令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在的直線向右以1cm/s的速度移動(如圖6)，直到點C與點N重合為止.設移動t秒后，矩形ABCD與Rt△PMN重疊部分的面積為Scm2.求S與t之間的函數(shù)關系式.

圖7

圖8

圖9

分析與解此題為典型的運動型問題，而且具有一定的綜合性，初看似乎和靜止無關.實際上該問題的解決恰好就是運用了“動中有靜”，根據(jù)點C運動的三個臨界狀態(tài)：即點C在點M和F之間，點C在點F和點T之間，點C在點T和N之間，找到三種對應的靜止狀態(tài)：即重疊部分為三角形、梯形、五邊形，化動為靜，關鍵就是運用辯證的思想把運動過程中的三個臨界點看成靜止的狀態(tài)，找到分類標準進行分類討論，這種哲學的思考不僅可以培養(yǎng)學生的哲學觀，還提供了解動態(tài)問題的一般方法，簡解如下：

(2)當2

此時S=2t-2 ；

(3)當6

辨證唯物主義認為：運動是無條件的、絕對的，靜止是有條件的、相對的，動中有靜，靜中有動，世界上一切事物的存在和發(fā)展，都是絕對運動和相對靜止的統(tǒng)一. 數(shù)學中也存在運動和靜止的對立統(tǒng)一關系，動靜關系，相互依存，相互制約，在解題中若能運用好“動”與“靜”的關系，則能理解運動問題的實質(zhì)，增強解決運動類問題的能力，有助于形成哲學的思辨能力. 在教學中，教師若能根據(jù)教學內(nèi)容的特點，適時、循序漸進地進行辨證唯物主義觀點的滲透，可行并且是有效，學生定能中從受益，從而實現(xiàn)數(shù)學教育功能的最大化.

1 孫偉剛.數(shù)學教育應追求數(shù)學精神[J].中學數(shù)學教學參考，2016(12)：1-2

2 鄭毓信.數(shù)學哲學與數(shù)學教育哲學[M].南京：江蘇教育出版社，2007：165

3 曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：80-85