■河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 何 妍

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué) 張志華

一、高考真題展示

2017年新課標(biāo)Ⅰ理科卷第12題,從應(yīng)用性的角度考查數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用,著實(shí)難為了無數(shù)考生,成了真正意義上的壓陣題。它需要考生在短時(shí)間內(nèi)閱讀這么大的信息,抽象出數(shù)列模型,理清錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)列之間的關(guān)系,真正考查了考生的分析問題能力、思辨能力、綜合分析能力和運(yùn)算求解能力,要求很高。

題目 幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是( )。

A.440 B.330 C.220 D.110

解析：由題意可得,數(shù)列如下：

1;

1,2;

1,2,4;

……

1,2,4,…,2k-1;

……

本題涉及的數(shù)學(xué)問題是數(shù)列問題,其中既有等差數(shù)列的求和問題,又有等比數(shù)列的求和問題,更為復(fù)雜的是本題設(shè)置的數(shù)列里邊又套有數(shù)列的問題。第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng),而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中,需要進(jìn)行判斷。

功夫在于平時(shí),付出才出成績(jī)。對(duì)于上邊這道高考難題的考查方式,我們來看一下平時(shí)練習(xí)中遇見的類似模型。

二、追根溯源剖析

例1 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律,第10行從左到右的第3個(gè)數(shù)為 。

解析：該數(shù)列第一行1個(gè)數(shù),第二行2個(gè)數(shù),第三行3個(gè)數(shù),…,第n行n個(gè)數(shù),則前9行共有數(shù),即第9行最后一個(gè)數(shù)為45,所以第10行從左到右的第3個(gè)數(shù)為45+3=48。

點(diǎn)評(píng)：本題需要利用“化整為零”的思想,首先對(duì)于每一行數(shù)列單獨(dú)看待,發(fā)現(xiàn)其特殊性,再對(duì)行與行之間的規(guī)律進(jìn)行總結(jié),把握好銜接的關(guān)鍵點(diǎn)。

例2 數(shù)列1,3+5+7,9+11+13+15+17,19+21+23+…+29+31,…的第20項(xiàng)的和為 。

解析：第1項(xiàng),有1個(gè)奇數(shù);

第2項(xiàng),有3個(gè)奇數(shù);

第3項(xiàng),有5個(gè)奇數(shù);

……

第n項(xiàng),有2n-1個(gè)奇數(shù)。

設(shè)前n項(xiàng)的和為Sn,則S1=1,S2=1+3+5+7,S3=1+3+5+7+9+11+13+15+所以第20項(xiàng)的和為S20-S19=204-194=29679。

點(diǎn)評(píng)：本題類似于例1,可以理解為對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組處理,先發(fā)現(xiàn)每組數(shù)列的特殊規(guī)律,再進(jìn)行整體處理。同樣需要盯著關(guān)鍵點(diǎn),處理好前后數(shù)列的過渡。

點(diǎn)評(píng)：本題既類似于前邊兩個(gè)例題,又區(qū)別于前邊兩個(gè)例題。它需要我們根據(jù)規(guī)律進(jìn)行分組,然后再借助于前邊兩個(gè)例題的解題方式進(jìn)行求解。

三、趁熱牛刀小試

知識(shí)在實(shí)踐中得以鞏固,能力在訓(xùn)練中得以加強(qiáng)。懂是會(huì)的初級(jí)階段,會(huì)是懂的進(jìn)一步升華。請(qǐng)深呼吸,做好下邊這道題吧。

強(qiáng)化訓(xùn)練：已知數(shù)列：11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依據(jù)它的前10項(xiàng)的規(guī)律,則這個(gè)數(shù)列的第2018項(xiàng)a2018等于( )。

A.262 B.163 C.632 D.641

解析：將數(shù)列進(jìn)行重新分組為(11),(21,12),(31,22,13),(41,32,23,14),…,則前n組的項(xiàng)數(shù)為1+2+3+…+n=可得n的最大值為63,且,則a2018為第64組的第2個(gè)數(shù),故a2018=632。