一、選擇題

1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 13.D 14.A 15.C 16.D 17.A 18.C 19.A 20.B 21.D 22.B

二、填空題

三、解答題

38.(Ⅰ)連接OE,因為四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)是AC的中點。又E是側(cè)棱SC的中點,所以O(shè)E∥SA。因為OE?平面BDE,SA?平面BDE,所以直線SA∥平面BDE。

圖1

(Ⅱ)因為SA與BC所成角為60°,所以∠SAD=60°。 因 為SA=SD,所以△SAD為等邊三角形。所以SA=4。在Rt△SAO中,AO=22,所以SO=22。建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,-22,0),B(0,22,0),S(0,0,22),C(-22,0,0),所以=(0,-42,0)=(-22,-22,0)=(0,22,-22)。設(shè)平面SBC的法向量n=(x,y,1), 則 有(-1,1,1)。

39.(Ⅰ)取AB中點O,連接PO,CO,AC,所以△APB為等腰三角形,所以PO⊥AB。又因為四邊形ABCD是菱形,∠BCD=120°,所以△ACB是等邊三角形,所以CO⊥AB。又CO∩PO=O,所以AB⊥平面PCO。又PC?平面PCO,所以AB⊥PC。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO=1,OC=3,所以O(shè)P2+OC2=PC2,所以O(shè)P⊥OC。

圖2

以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)C,OB,OP所在直線為x,y,z軸,建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0)P(0,0,1),D(3,-2,0),=(3,-1,0),C =(3,0,1)=(0,2,0)。設(shè)平面DPC的法向量為令x=1,得n=(1,0,3)。設(shè)平面PCB的法向量為m=(a,b,c),則令a=1,得m=(1,3,3)。所以。經(jīng)觀察二面角B-PC-D的大小為鈍角,設(shè)為θ,所以

40.(Ⅰ)因為DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC。因為ABCD是正方形,所以AC⊥BD,從而AC⊥平面BDE。

(Ⅱ)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖3所示。

因為BE與平面ABCD所成角為60°,即∠DBE=60,所以由AD=3可知DE=36,AF=6,則A(3,0,0),F(3,0,6),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0),所以

圖3

圖4

設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角

所以平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為。

42.(1)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖5所示,則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,3),B1(0,2,3),C1(0,0,3),D(1,1,0)。

圖5

解得λ=2。

43.以A為原點,AB為x軸,在平面ABC內(nèi)過A點與AB垂直的直線為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖6所示。設(shè)P(x,0,z),則B(a,0,0),A1(0,0,a),

圖6

(Ⅱ)當(dāng)A1P∶PB=2∶3時,P點的坐標(biāo)是

44.(1)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD。因為AB?平面ABD,所以DC⊥AB。

又因為折疊前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC。

(2)由(1)知AB⊥平面ADC,所以二面角C-AB-D的平面角為∠CAD。

又DC⊥平面ABD,AD?平面ABD,所以DC⊥AD。

設(shè)AB=x(x＞0),則BD=x2+1。依題意△ABD∽△BDC,所以

如圖7所示,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D(0,0,0),B(3,0,0),

圖7

由(1)知平面BAD的法向量n=(0,1,0)。設(shè)平面ADE的法向量m=(x,y,z),由得y=-3,z=-3,所以m=(6,-3,-3)。所以

由圖可知二面角B-AD-E的平面角為銳角,所以二面角B-AD-E的余弦值為。

45.(1)如圖8,在平面ABB1A1內(nèi),過點A 作AN∥B1P交BB1于點N,連接 BQ,在 △BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于點H,連接AH并延長交BC于點M,則AM即為所求作的直線。

圖8

(2)連接PC1,AC1,因為AA1=AC=A1C1=4,∠C1A1A=60°,所以△AC1A1為正三角形。

因為P為AA1的中點,所以PC1⊥AA1。

又因為側(cè)面ACC1A1⊥側(cè)面ABB1A1,且面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1,PC1?平面ACC1A1,所以PC1⊥平面ABB1A1。

在平面ABB1A內(nèi)過點P作PR⊥AA1交BB1于點R,分別以的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖9所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz,則P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C(0,-4,23),C1(0,0,23)。

圖9

因為Q為AC的中點,所以點Q的坐標(biāo)為(0,-3,3),所以=(0,-2,23),

因為A1B1=AB=2,∠B1A1A=60°,所

設(shè)平面PQB1的法向量為m=(x,y,x=1,得y=-3,z=-3,所以平面PQB1的一個法向量為m=(1,-3,-3)。

設(shè)直線A1C1與平面PQB1所成角為α,則,即直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值為

46.(Ⅰ)依題意Rt△ABC≌Rt△ADC,∠BAC=∠DAC,△ABO≌△ADO,所以AC⊥BD。而PA⊥面ABCD,所以PA⊥BD。又PA∩AC=A,所以BD⊥面PAC。又BD?面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD。

(Ⅱ)在平面ABCD內(nèi)過A作AD的垂線為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立如圖10所示的空間直角坐標(biāo)系,則0),C(3,1,0)。設(shè)P(0,0,λ),所以

圖10