時(shí)國(guó)峰

（甘肅省臨夏中學(xué)，甘肅 臨夏）

數(shù)學(xué)思想主要是通過(guò)教師對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，然后將其歸納并傳授于學(xué)生，而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想具體化的表現(xiàn)，兩者本質(zhì)是一致的，只是從不同角度去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，但都?xì)w于數(shù)學(xué)思想方法中。數(shù)學(xué)思想一般被分為四種：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合。

一、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中屬于重點(diǎn)掌握的一項(xiàng)數(shù)學(xué)應(yīng)用，比如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程組以及不等式組與函數(shù)，這些可統(tǒng)稱(chēng)為純粹的數(shù)知識(shí)，而被數(shù)學(xué)教育家成為形的知識(shí)有平面幾何、立體幾何，數(shù)形結(jié)合就是在數(shù)的知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)幾何進(jìn)行解析，解析的過(guò)程對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想要求很高，需要以形助數(shù)和以數(shù)輔形。以形助數(shù)主要是借助形的生動(dòng)與直觀(guān)的特性去闡述數(shù)與形之間的聯(lián)系，最終將數(shù)更直觀(guān)地表達(dá)出來(lái)，比如高中數(shù)學(xué)教材中通常都會(huì)應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；以數(shù)輔形主要是通過(guò)利用數(shù)學(xué)的精確度以及它嚴(yán)密可尋的規(guī)律找出形內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，例如用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。

數(shù)學(xué)家曾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是研究我們現(xiàn)實(shí)世界中的量關(guān)系與空間形成的科學(xué)方法。數(shù)形是將數(shù)學(xué)問(wèn)題所需的條件以及最終的解答結(jié)論結(jié)合并對(duì)其進(jìn)行分析，同時(shí)為高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想提前埋下了種子，通過(guò)幾何更加直觀(guān)地理解數(shù)形，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀(guān)形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好。

數(shù)形結(jié)合的思想，主要是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖象相結(jié)合之后能夠讓人們更直接地理解數(shù)學(xué)。它不僅可以讓代數(shù)問(wèn)題幾何化，還能夠?qū)缀螁?wèn)題數(shù)學(xué)化，其中的關(guān)鍵點(diǎn)是代數(shù)問(wèn)題和圖形之間的轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生能夠清楚明白數(shù)形結(jié)合所有可能運(yùn)用到的概念以及運(yùn)算的幾何意義跟曲線(xiàn)所代表的代數(shù)特征。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)要恰當(dāng)設(shè)置參數(shù)、結(jié)合已知條件建立關(guān)系，做好屬性轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)備。

二、分類(lèi)討論思想方法

在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論時(shí)，我們會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題，對(duì)于這些不同問(wèn)題我們要進(jìn)行分類(lèi)并分開(kāi)求解，最終綜合得解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論在數(shù)學(xué)思想中是常用的一種邏輯方法，也是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，如果運(yùn)用嫻熟對(duì)學(xué)生解題會(huì)帶來(lái)更大的幫助。分類(lèi)討論通過(guò)化整為零的方法將已知條件分類(lèi)，通過(guò)相關(guān)的信息分別得出答案后，最終結(jié)果相加。分類(lèi)討論能夠培養(yǎng)人的思維能力、邏輯條理的搭建以及對(duì)問(wèn)題的概括，分類(lèi)討論在高考試題占很大的分值。

在高中數(shù)學(xué)中，我們一般會(huì)遇到以下幾種情況：

1.對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)定義。如|a|的定義分 a＞0、a＝0、a＜0 三種情況。這種分類(lèi)討論題型可以稱(chēng)為概念型。

2.關(guān)于數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類(lèi)給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類(lèi)討論題型可以稱(chēng)為性質(zhì)型。

3.解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式 ax＞2 時(shí)分 a＞0、a＝0 和 a＜0 三種情況討論。這稱(chēng)為含參型。

以上三種問(wèn)題都能夠通過(guò)先對(duì)問(wèn)題的對(duì)象進(jìn)行范圍限定，然后進(jìn)行合理的分類(lèi)，一一作出解答之后再進(jìn)行綜合，得出的結(jié)論就是最終的正確結(jié)果。

三、函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想主要是通過(guò)利用函數(shù)的概念去分析問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題的數(shù)量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型并通過(guò)方程的方式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。最著名的笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題是函數(shù)與方程最主要的計(jì)算方式。在數(shù)學(xué)中只要有等式的地方就有公式與方程，想到求解就需要解答方程，函數(shù)與方程其實(shí)并沒(méi)有太大的區(qū)別，比如函數(shù)y＝f（x），就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f（x）－y＝0。不難看出求解函數(shù)跟方程是息息相關(guān)的，列方程并進(jìn)行解答等一系列過(guò)程與函數(shù)是分不開(kāi)的，一般情況下函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f（x）的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。

四、結(jié)束語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)思想的形成是在我們讀書(shū)時(shí)代通過(guò)培養(yǎng)所形成的，這個(gè)形成過(guò)程主要是通過(guò)多接觸數(shù)學(xué)解題，在解題過(guò)程，從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換這個(gè)過(guò)程便是我們形成數(shù)學(xué)思想的過(guò)程。教師在對(duì)高中學(xué)生進(jìn)行授課時(shí)，要想辦法將學(xué)生遇到的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為他們熟悉的問(wèn)題，再將問(wèn)題由特殊到一般，從具體走向抽象，這樣才能夠更好地幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想。