錢賢紗

摘要：“模型思想”是《數(shù)學課程標準（2011版）》中的十大核心概念之一。滲透模型思想，能使聽障學生更好地理解問題的本質(zhì)，感受解決問題的快樂，進而愿意學習，樂于思考。教學中，構(gòu)建模型，凸顯知識的本質(zhì)屬性，使知識理解入木三分;運用模型，探尋問題解決的程序化操作，使思考過程有章可循;整合模型，搭建知識間的網(wǎng)絡(luò)化結(jié)構(gòu)，使知識習得融會貫通。

關(guān)鍵詞：模型思想;聾校;數(shù)學

數(shù)學家華羅庚說：要打好數(shù)學基礎(chǔ)有兩個必經(jīng)過程——先學習、接受“由薄到厚”，再消化、提煉“由厚到薄”。其中，“由薄到厚”是知識的積累，“由厚到薄”是方法的提煉;沒有知識積累的教學是沒有根基的，沒有方法提煉的教學則是沒有深度的。新課標三維教學目標的設(shè)定，要求數(shù)學教學不僅要關(guān)注知識與技能的傳授，更要關(guān)注思想方法的滲透。東北師范大學史寧中教授認為，數(shù)學思想可以歸納為三個方面：抽象、推理和模型?！澳Ｐ退枷搿笔恰稊?shù)學課程標準（2011版）》十大核心概念之一，新課標首次提出：數(shù)學課程中應(yīng)當注重發(fā)展學生的模型思想。那么，模型思想在聾校數(shù)學教學中有怎樣的教育價值？聾校數(shù)學教學中如何引導學生感悟并發(fā)展模型思想？對于這些問題的探索與研究必將改變聾校數(shù)學教學方式。

模型思想與數(shù)學模型

新課程標準指出：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。孔凡哲認為：數(shù)學模型，是指根據(jù)問題實際和研究對象的特點，為了描述和研究客觀現(xiàn)象的運動變化規(guī)律，運用數(shù)學抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內(nèi)部因素之間的空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學結(jié)構(gòu)表達式，包括數(shù)學公式、邏輯準則、具體算法和數(shù)學概念。費嶺峰認為：數(shù)學模型思想是以數(shù)學概念和符號刻畫數(shù)學為內(nèi)容的，在揚棄一切非本質(zhì)屬性的同時，逐步抽象、提煉出數(shù)學結(jié)構(gòu)的思維過程?？梢哉f，模型思想的本質(zhì)在于抓住問題的核心信息，提煉、抽象，并運用已有經(jīng)驗解決問題;培養(yǎng)模型思想的關(guān)鍵在于能夠敏銳的發(fā)現(xiàn)一類問題的共同特點，緊緊抓住事物的本質(zhì)屬性解決問題。

基于聽障學生的教學分析

任何教學行為都是作用于教學對象的活動，仔細分析教學對象的特點，才能更好地指導教學活動。聽障學生由于生理特點的特異性，其數(shù)學學習特點與健聽學生有較大差異，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

文本理解能力較弱 研究表明：聽力損失帶來的最大問題是語言溝通問題。聾人在閱讀中更多地依靠視覺信息。聽障兒童整體閱讀水平明顯落后于普通兒童，而且年齡越大，差距越明顯，大多數(shù)中學聾生的閱讀水平，只能達到普通小學生中、低年級的水平。文本理解能力弱，直接影響學生對數(shù)學概念的理解與掌握。

抽象思維能力較弱 聽覺障礙兒童的概念體系中，具體概念發(fā)展較快，抽象概念發(fā)展遲緩，他們的思維更多受到事物外在形象影響，對事物的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系缺乏深入理解。通常到青少年晚期，他們的抽象思維才逐漸占據(jù)主要地位。抽象思維能力較弱，使得聾生在解決數(shù)學問題中養(yǎng)成重模仿，輕思考的習慣。

知識的網(wǎng)絡(luò)化構(gòu)建能力較弱 聽覺障礙兒童由于思維能力的限制，對知識的梳理和整合能力較弱，看待問題只關(guān)注表面現(xiàn)象，對于深層次的原因缺乏探究的欲望，對知識的理解往往浮于表面，很少關(guān)注知識的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系。

綜合上述特點，讓學習過程為聽障學生理解，促使他們會思考、愛思考的教學活動，才能給聾校的數(shù)學教學發(fā)展帶來動力。在教學中滲透模型思想，將由現(xiàn)實生活中提煉的概念、性質(zhì)，用簡潔的符號語言加以概括，簡化成一個個數(shù)學模型，再利用這些數(shù)學模型去解決一些簡單的實際問題，并能將一個問題的解決，拓展為一類問題的解決，使聽障學生更好地理解問題的本質(zhì)，感受解決問題的快樂，進而愿意學習，樂于思考。

模型思想的嘗試

知識的習得是一個長期的、循序漸進、螺旋上升的過程，思想方法的獲得同樣如此。教學中有意識地滲透模型思想，將思想方法的滲透蘊含在知識的學習過程中，這樣獲得的思想才會鮮活、生動，富有生命力。

構(gòu)建模型，凸顯知識的本質(zhì)屬性，使知識理解入木三分 數(shù)學的概念、公式、性質(zhì)、法則，是對現(xiàn)實生活現(xiàn)象的高度概括。數(shù)學中的一系列公式、法則都可以看看作一個個數(shù)學模型。數(shù)學學習過程就是數(shù)學模型的構(gòu)建過程。數(shù)學模型的構(gòu)建過程中要注意去偽存真，凸顯知識的本質(zhì)屬性。例如，基本的數(shù)量關(guān)系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間、工作總量=工作效率×工作時間。在學習整數(shù)的計算時，這些基本的數(shù)量關(guān)系就已經(jīng)滲透在教學中，后續(xù)學習分數(shù)、小數(shù)、有理數(shù)、方程、不等式等一系列知識后，都會安排運用這些數(shù)量關(guān)系解決實際問題的題目。不同階段的題目，看似紛繁復雜，實際都是對這些基本數(shù)量關(guān)系的變式運用。只要對基本的數(shù)量關(guān)系把握清晰，認真梳理，就能找到對應(yīng)關(guān)系解決問題。再如整式的乘法中的乘法公式，以平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2為例，公式中的a、b可以表示數(shù)，也可以表示一個整體。深入理解這個公式可以發(fā)現(xiàn)，（a+b）（a-b）中，a表示的是前后兩個式子中相同分部分，b表示的是前后兩個式子中符號相反的部分。當兩個式子相乘，且這兩個式子中有部分相同，有部分符號相反時，它就符合平方差公式，經(jīng)過適當?shù)淖冃尉湍芑善椒讲罟降男问饺ソ鉀Q。模型就像是固定軌道上的一節(jié)空車廂，起點固定，終點也不變，只要在運輸中關(guān)注每種貨物本身的特點，輔以相應(yīng)安全措施，就能將貨物安全運抵終點。教學過程中，多做思想層面的提煉，有意識地滲透模型的思想，讓學生可以透過模型看清事物的本質(zhì)屬性，將有利于學生對知識的掌握。

運用模型，探尋問題解決的程序化操作，使思考過程有章可循 構(gòu)建模型是從實際問題中提煉數(shù)學模型的過程，運用模型則是通過模型解決問題的過程。學習模型思想的一個重要意義就是能夠運用模型解決一系列的問題。數(shù)學中，這類構(gòu)建模型并運用模型解決問題的過程尤其明顯。例如，兩角和與差的正切公式有兩組：tan（α+β）= ;tan（α-β）= ? ? ? ? ?。這兩組公式常用來解決一些相關(guān)的求值、化簡、證明類的題目。常見題型中，有一些是直接運用公式代入就能解決的，這類問題比較簡單;另一些則需要根據(jù)已知條件分析后選擇針對性的公式才能解決。①證明： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

②化簡： 。聽障學生初次接觸到這類題型時，往往比較迷惘，不知道該從何入手。教學中，引導學生分析兩個公式的特點：tan（α+β）= ? ? ? ? ，與tanα+tanβ與tanαtanβ這兩個式子有關(guān);tan（α-β）= ? ? ? ?，與tanα-tanβ與tanαtanβ這兩個式子有關(guān);再觀察①證明，題中含有tan95°+tan25°與tan95°tan25°這兩個式子，因此考慮由tan（95°+25°）切入，得tan（95°+25°）= ? ? ? ? ? ?，即- 3= ? ? ? ? ?，在此基礎(chǔ)上進行一些恒等變換，即可證明。類似的，觀察②化簡，題中含有tan95°-tan35°與tan95°tan35°這兩個式子，則考慮由tan（95°-25°）切入，可得tan95°-tan35°= 3-tan95°tan35°，將其代入原式中，即可化簡。緊扣模型特點，能夠在解決問題中快速的確定所需模型，從而找到解決問題的切入口。在運用模型解決問題的過程中，通過由淺入深地設(shè)計例題，在循序漸進中引導學生根據(jù)問題的本質(zhì)屬性運用模型，有理有據(jù)地解決問題，不僅能夠快速判斷需要使用的數(shù)學模型，而且能夠使思維過程條理清晰、有章可循。

整合模型，搭建知識間的網(wǎng)絡(luò)化結(jié)構(gòu)，使知識習得融會貫通 數(shù)學知識本身是環(huán)環(huán)相扣的。學習數(shù)學過程中如果缺乏統(tǒng)籌的眼光，知識點將會以散亂的形式出現(xiàn)在眼前，不利于學生的理解與掌握。只有當知識點以網(wǎng)絡(luò)化的形式呈現(xiàn)時，才能便于學生理解與記憶。關(guān)注模型間的聯(lián)系，能使知識的理解更加容易，知識的記憶更加深刻。例如：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）、一元二次不等式ax2+bx+c〉0（a≠0）是從三類不同現(xiàn)實情境中提煉出來的數(shù)學模型。三者分屬三個不同章節(jié)，但三者的實質(zhì)是從不同的角度看待同一個函數(shù)：二次函數(shù)為函數(shù)的一般狀態(tài);一元二次方程為函數(shù)的瞬時狀態(tài);一元二次不等式為函數(shù)在特定范圍內(nèi)的狀態(tài)。通過將不同狀態(tài)的三種模型整合，可以大大減少這三類問題中需要記憶的知識點的數(shù)量，即使某一知識點發(fā)生遺忘，網(wǎng)絡(luò)化的知識結(jié)構(gòu)也會增加記憶提取的線索，提高回憶成功的概率。

在整合模型的過程中，充分感受不同模型之間的聯(lián)系與區(qū)別，多分析、多推斷、多做由此及彼的網(wǎng)絡(luò)化構(gòu)建，能使知識的掌握事半功倍。

模型思想滲透應(yīng)關(guān)注的問題

模型思想的滲透是一個長期的潤物無聲過程。在這個過程中要注意以下幾點：一是運用模型思想解決數(shù)學問題，關(guān)鍵在于構(gòu)建模型，價值在于運用模型思想解決實際問題。聾校模型思想的滲透要從簡單模型開始，讓學生理解與記憶一些基本模型，然后通過變式練習，拓展學生對基本模型的本質(zhì)屬性的認識，將其內(nèi)化為自身的知識儲備，再次遇到相關(guān)問題時，能夠有意識地運用相關(guān)模型去解決。二是模型思想與整體思想、轉(zhuǎn)化思想相輔相成。單一模型的問題往往比較簡單，但實際問題往往是以基本模型的變式出現(xiàn)的。解決問題的過程中，把問題中的某些部分看成一個整體，就可能把一個復雜問題轉(zhuǎn)化成一個熟悉的簡單模型，再將這樣的多個整體逐個擊破，問題可能就迎刃而解了。三是學習模型思想的意義不在于掌握多少種模型，而在于能夠運用模型思想解決實際問題?；诼犝蠈W生的學習特點，教學中應(yīng)重點關(guān)注基本模型的構(gòu)建與應(yīng)用，適當降低運算數(shù)據(jù)的復雜程度，以便凸顯思想方法。只有熟練掌握了基本模型，才有可能舉一反三、靈活運用。

結(jié)束語

模型思想旨在搭建一個高度概括、程序化的平臺，用數(shù)學的語言對紛繁的世界加以整理，使其更具條理性，更易于被解讀。聾校數(shù)學教學中，模型思想的滲透雖然只是初步的、淺顯的，但它能夠為學生打開一扇思維活動的大門，使聽障學生感受更多解決問題的方式方法。

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（作者單位：江蘇省無錫市特殊教育學校）