◆張書華 趙俊英

1 線性代數(shù)教學(xué)中存在的普遍問題

線性代數(shù)課程是高等學(xué)校理工、經(jīng)管類專業(yè)開設(shè)的一門重要公共基礎(chǔ)課程，以線性問題為主要研究對(duì)象，處理問題的方法滲透到科學(xué)技術(shù)的各個(gè)方面，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力具有非常重要的作用。在后續(xù)的很多課程中都會(huì)涉及線性代數(shù)的相關(guān)理論知識(shí)，如信號(hào)處理、圖像處理、電路基礎(chǔ)、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等。因此，線性代數(shù)是后續(xù)課程的前提條件，也是繼續(xù)深造和進(jìn)一步從事科學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，對(duì)它的學(xué)習(xí)是非常有必要的。

線性代數(shù)課程的特點(diǎn)是有較高的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，概念和定理較多，計(jì)算量大，學(xué)好線性代數(shù)有一定的難度。在課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生由于對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用不了解，學(xué)習(xí)處于被動(dòng)地位；又由于課程理論抽象，計(jì)算較為煩瑣，學(xué)生感覺不到線性代數(shù)理論體系存在的實(shí)際意義，對(duì)所學(xué)知識(shí)很迷茫，從而失去學(xué)習(xí)的興趣。因此，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)課程的主動(dòng)性，改革“黑板+多媒體”的教學(xué)模式勢在必行。

天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院長期重視大學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，不僅重視本科課堂教學(xué)的質(zhì)量，更注重大學(xué)生創(chuàng)新能力的鍛煉，通過線性代數(shù)課程組教師的共同努力，在教學(xué)中研究探索，在線性代數(shù)課程改革方面采取一系列措施，取得不俗的成績。

2 課程改革應(yīng)解決的問題

傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材追求邏輯推理的嚴(yán)密性和理論體系的完整性，往往重理論而輕實(shí)踐應(yīng)用，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容過于抽象，難以理解，且不利于與其他課程相聯(lián)系，從而出現(xiàn)學(xué)生“學(xué)不懂，不會(huì)用”的局面。因此，根據(jù)多年線性代數(shù)課程教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將線性代數(shù)課程改革目標(biāo)定位為致力于解決線性代數(shù)課程“從何而來，為什么要學(xué)，學(xué)了有什么用”的問題，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、考核方式等各個(gè)方面對(duì)課程進(jìn)行改革，主要體現(xiàn)在通過重新編寫教材，改革課堂教學(xué)模式（增強(qiáng)數(shù)值計(jì)算實(shí)際案例，并引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)），借助于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，改革考核方式，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，在綜合設(shè)計(jì)能力和創(chuàng)新能力方面有明顯提高。

3 采取的措施

編寫新的教材天津商業(yè)大學(xué)人才培養(yǎng)定位為培養(yǎng)復(fù)合型、創(chuàng)業(yè)型、應(yīng)用型人才，根據(jù)學(xué)校的培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，于2010 年編寫了新的教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》及配套輔導(dǎo)書《伴你學(xué)數(shù)學(xué)》。教材注重從實(shí)際背景和幾何問題引入概念，注重每章內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，例如：通過行列式定義的引入，體現(xiàn)出由特殊到一般、由表及里的數(shù)學(xué)思想；通過矩陣運(yùn)算的定義，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中類比的思想等。結(jié)構(gòu)安排邏輯性強(qiáng)，注重線性代數(shù)在經(jīng)典案例中的應(yīng)用。輔導(dǎo)書與教材緊密配合，給出各章節(jié)的基本題型和解題技巧，對(duì)于易錯(cuò)題型給出分析；并對(duì)于一些抽象概念的發(fā)展歷史、幾何應(yīng)用、數(shù)學(xué)家的故事進(jìn)行介紹，讓學(xué)生明白線性代數(shù)課程中的概念“從何而來”。教材使用幾年來，受到師生的一致好評(píng)。

實(shí)行分層教學(xué)根據(jù)不同專業(yè)對(duì)線性代數(shù)課程要求的不同，將課程分為64 學(xué)時(shí)、48 學(xué)時(shí)、32 學(xué)時(shí)三個(gè)層次，這三個(gè)層次主要在要求學(xué)生掌握知識(shí)的全面程度、計(jì)算能力、應(yīng)用理論和計(jì)算機(jī)解決問題的能力方面有所差異。對(duì)有特殊培養(yǎng)目標(biāo)（如卓越工程師試點(diǎn)班）的學(xué)生單獨(dú)設(shè)立教學(xué)大綱和教學(xué)計(jì)劃，著重引入線性代數(shù)工程上的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用代數(shù)解決問題的能力?？傊獙⒕€性代數(shù)“因班制宜”。

改革教學(xué)方法學(xué)生只有明白“為什么要學(xué)”，才會(huì)重視課程，而對(duì)課程的重視程度對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。重視課程學(xué)習(xí)的學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)充滿熱情，積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)中遇見困難會(huì)想辦法解決而不會(huì)被困難嚇退。因此，在教學(xué)中主要從以下幾方面入手。

1）讓學(xué)生重視線性代數(shù)課程。每學(xué)期授課開始，都會(huì)有學(xué)生問這門學(xué)科是研究什么的，對(duì)他們的專業(yè)有什么幫助等問題。因此，在開學(xué)第一課給學(xué)生講明線性代數(shù)的特點(diǎn)和內(nèi)容之間的聯(lián)系，和其他數(shù)學(xué)課程的聯(lián)系，對(duì)今后學(xué)習(xí)專業(yè)課有什么幫助，使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)有一個(gè)初步的了解?？梢耘e一些簡單的例子來說明課程的目的和研究對(duì)象。如在第一次課上，可以向?qū)W生闡明“線性代數(shù)是解決數(shù)學(xué)中線性關(guān)系的問題”，因?yàn)榫€性關(guān)系對(duì)學(xué)生來說并不陌生，在中學(xué)就知道函數(shù)的線性關(guān)系，如y=2x，所以學(xué)生一開始就會(huì)有個(gè)直觀的感覺；然后強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)不僅僅是研究簡單的一元變量之間的關(guān)系，它更強(qiáng)大的功能是解決多元變量之間的線性關(guān)系。

又如通過解線性方程組的思想告訴學(xué)生，線性代數(shù)的主要研究對(duì)象是變量之間的線性關(guān)系，同時(shí)讓學(xué)生感受線性代數(shù)是解決實(shí)際問題不可缺少的工具，他們的專業(yè)課中凡是可以轉(zhuǎn)化為線性方程組來解決的問題，都可用代數(shù)方法處理。

將最深?yuàn)W的理論用最簡單的語言來解釋，例如：代數(shù)中“線性相關(guān)的定義”“向量空間的概念”等定義，可以借助于“三原色”來引入；而矩陣的運(yùn)算，可以類比實(shí)數(shù)中的運(yùn)算引入，讓學(xué)生真實(shí)地感受到產(chǎn)生這些理論的思想和方法其實(shí)很自然也很簡單，讓學(xué)生明白線性代數(shù)的知識(shí)不是抽象獨(dú)立的，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。只有學(xué)生真正懂得一門課程的來龍去脈，體會(huì)到一門課程的重要性，才能做到想學(xué)、會(huì)學(xué)，能夠?qū)W懂、會(huì)用。

2）不斷提高教師的教學(xué)水平。要求教師認(rèn)真設(shè)計(jì)每一節(jié)課“教”的方案，力求做到就像看精彩的電視連續(xù)劇一樣，讓學(xué)生聽課時(shí)享受其中，課下盼著下次課的到來；還應(yīng)該設(shè)計(jì)出難度梯度，就像人們玩電子游戲一樣，既能過得了前面的關(guān)，又不會(huì)很順利地玩到通關(guān)。教師不一定能做到和電視游戲一樣，但只要以這個(gè)為目標(biāo)去設(shè)計(jì)每一節(jié)課，總會(huì)有效果。另外，教師要及時(shí)總結(jié)教學(xué)過程，及時(shí)記錄每次講課成功的以及不成功的地方，以便下一輪備課時(shí)發(fā)揚(yáng)優(yōu)勢，改變?nèi)秉c(diǎn)；聽取優(yōu)秀教師、教學(xué)名師講課，學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)一節(jié)課的教學(xué)計(jì)劃，如何處理重點(diǎn)、難點(diǎn)，如何引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考，如何控制課堂的紀(jì)律，更為關(guān)鍵的是如何生動(dòng)有趣地教學(xué)等。

力求做學(xué)生信任的教師，正如全國教學(xué)名師朱士信所說：“如果學(xué)生不信任你，懷疑你的水平或能力，你的教學(xué)效果肯定不好，你說的話或你要求做的事，學(xué)生肯定不聽或不做；如果學(xué)生信任你，學(xué)生會(huì)盡力按你說的去做?！?/p>

3）讓學(xué)生參與教學(xué)。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在教學(xué)中盡可能讓學(xué)生參與其中，會(huì)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。如果班級(jí)人數(shù)較少，給出討論題目，在課上由學(xué)生自由分組討論，教師做總結(jié)。

如一次討論課提前給出討論的題目：矩陣的初等變換及其應(yīng)用。要求討論內(nèi)容包括概念、求解方法、舉例、應(yīng)用案例等。自由結(jié)組，每組選出一位組長，每人寫一份內(nèi)容整理，由組內(nèi)討論整理，確定內(nèi)容后選一位同學(xué)報(bào)告，每組講解十分鐘。內(nèi)容提示：兩個(gè)矩陣等價(jià)；將矩陣化為行階梯形、行最簡形、標(biāo)準(zhǔn)形；求矩陣的秩；求解線性方程組；判斷向量組的線性相關(guān)性；求向量組的極大無關(guān)組；應(yīng)用案例（應(yīng)用案例要結(jié)合自己的專業(yè)）。

通過分組討論，學(xué)生對(duì)基本概念、知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用有了清晰的認(rèn)識(shí)，鞏固了知識(shí)，也了解了線性代數(shù)“學(xué)了有什么用”，激發(fā)了學(xué)好課程的熱情，自覺地學(xué)習(xí)這門課程。如果班級(jí)人數(shù)較多，給出討論題目和建模案例，由學(xué)生在課下討論完成，教師做檢查和課上點(diǎn)評(píng)。

利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)在線性代數(shù)教學(xué)中，利用Mathematic 軟件進(jìn)行代數(shù)的運(yùn)算和復(fù)雜數(shù)據(jù)的處理。線性代數(shù)課程通過上機(jī)練習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件處理計(jì)算問題。這樣，學(xué)生在掌握課程的基本知識(shí)點(diǎn)和運(yùn)算技能后，可以利用數(shù)學(xué)軟件輕松地解決計(jì)算問題，不會(huì)因計(jì)算量太大而失去學(xué)習(xí)的興趣。

利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源進(jìn)行教學(xué)教師的授課時(shí)間有限，但是學(xué)生的課外時(shí)間很充裕。學(xué)生課下的自習(xí)是課堂教學(xué)的延續(xù)，是提高教學(xué)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)。線性代數(shù)課程引進(jìn)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源“線性代數(shù)智能教學(xué)平臺(tái)”，學(xué)生可以利用資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和自主測試。在測試系統(tǒng)中，系統(tǒng)能自動(dòng)批改、記錄成績，可以分析各知識(shí)點(diǎn)的得分情況，能讓學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己掌握知識(shí)的不足。系統(tǒng)可以多次刷分，有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我挑戰(zhàn)和自我超越，也有利于學(xué)生之間的相互競爭。

智能教學(xué)平臺(tái)還有在線實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，包括平面圖形的變換、矩陣在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、線性方程組的應(yīng)用、九宮格游戲等13 個(gè)實(shí)驗(yàn)。利用實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)可以讓學(xué)生了解線性代數(shù)“學(xué)了有什么用”，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。

考核方法的改革改革課程的考核方式，增加平時(shí)成績在總評(píng)成績中的比例，平時(shí)成績由測試系統(tǒng)成績、實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)成績、上機(jī)成績、課堂練習(xí)成績組成，通過細(xì)化學(xué)習(xí)過程的考核，督促學(xué)生平時(shí)認(rèn)真學(xué)習(xí)。在期末考試中增加基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用的考核，減小計(jì)算量，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解能力和應(yīng)用能力。將學(xué)習(xí)過程的形成性考核與期末考試的終結(jié)性考核有機(jī)結(jié)合，保證學(xué)習(xí)過程的連續(xù)性和完整性。

4 取得的初步成效

通過采取一系列措施，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的興趣逐步提高，課上主動(dòng)與教師交流，課堂氣氛熱烈，課下測試系統(tǒng)的成績不斷刷新，大部分班級(jí)30%多的學(xué)生的測試系統(tǒng)成績?yōu)闈M分，課程整體考核及格率、優(yōu)秀率不斷提高。學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模空前積極，學(xué)校數(shù)學(xué)建模成績不斷刷新。

5 結(jié)語

多年來在線性代數(shù)課程的教學(xué)研究與改革上做了一系列嘗試，取得一定的成績，但課程的教學(xué)改革與建設(shè)是一項(xiàng)長期的系統(tǒng)工程，并且隨著時(shí)代的發(fā)展需要賦予其新的內(nèi)涵，需要不斷探索，不斷實(shí)踐，不斷創(chuàng)新，共同把線性代數(shù)教學(xué)改革引向深入。■