呂金洲， 張小慶， 陳光雄， 劉偉雄， 王 鋒

(1. 西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 成都 610000；2.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 超高速空氣動(dòng)力學(xué)研究所 高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽 621000)

激波風(fēng)洞和脈沖風(fēng)洞是進(jìn)行一體化飛行器技術(shù)研究的主要地面設(shè)備[1-2]，這兩類風(fēng)洞的試驗(yàn)很短[2-4](500μs～300ms)，會(huì)激發(fā)測(cè)力系統(tǒng)的振動(dòng)特性且有效試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)振動(dòng)無法達(dá)到平衡，測(cè)力天平輸出結(jié)果為高頻動(dòng)態(tài)信號(hào)，因此其動(dòng)力學(xué)特性必須滿足試驗(yàn)測(cè)試需求。當(dāng)前測(cè)力信號(hào)數(shù)據(jù)處理所采用的天平公式為靜態(tài)校準(zhǔn)所得，未考慮其動(dòng)態(tài)特性對(duì)結(jié)果的影響，這必然導(dǎo)致載荷輸出與輸入之間存在差異。

為解決短時(shí)風(fēng)洞快速測(cè)力問題，國外針對(duì)激波風(fēng)洞短時(shí)測(cè)力技術(shù)開展了大量研究，Sanderson[5]提出了應(yīng)力波天平測(cè)力技術(shù)。Robinson等[6-7]分別設(shè)計(jì)了3分量應(yīng)力波天平，并在激波風(fēng)洞中開展了測(cè)力試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)吻合較好。Tanno等[8-9]在張線模型加速度計(jì)天平上運(yùn)用了反卷積時(shí)域信號(hào)恢復(fù)方法，并在300×300mm激波風(fēng)洞中對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。Niranjan等[12]采用加速度計(jì)天平和應(yīng)力波天平對(duì)同一試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诩げL(fēng)洞中進(jìn)行了測(cè)力試驗(yàn)，證明了當(dāng)試驗(yàn)時(shí)間大于450 μs時(shí)，兩種天平均能滿足試驗(yàn)要求。

中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心(CARDC)長(zhǎng)期開展快速測(cè)力方面的研究，建成并運(yùn)行了?2.4 m脈沖式燃燒風(fēng)洞，該風(fēng)洞已經(jīng)開展了大量一體化飛行器試驗(yàn)，快速測(cè)力技術(shù)在其中得到了充分的應(yīng)用和發(fā)展，王洪山等[13]總結(jié)了應(yīng)力波天平在國內(nèi)激波風(fēng)洞上的應(yīng)用，王峰等[14]將載荷辨識(shí)技術(shù)應(yīng)用于脈沖燃燒風(fēng)洞模型測(cè)力，根據(jù)天平測(cè)量信號(hào)與模型氣動(dòng)載荷歷程之間的線性關(guān)系，對(duì)模型載荷進(jìn)行辨識(shí)。中科院力學(xué)所的汪運(yùn)鵬等[15]根據(jù)高超聲速激波風(fēng)洞JF12的特點(diǎn)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的桿式和盒式應(yīng)變天平，并在試驗(yàn)中獲得了準(zhǔn)確的氣動(dòng)力載荷。以上研究均是以應(yīng)變天平彈性輸出為研究基礎(chǔ)，未評(píng)估慣性載荷對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

綜合國內(nèi)外激波風(fēng)洞和脈沖風(fēng)洞快速測(cè)力的研究現(xiàn)狀，測(cè)力天平的慣性補(bǔ)償主要針對(duì)激波天平和壓電天平，國內(nèi)風(fēng)洞由于試驗(yàn)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，測(cè)力設(shè)備仍以應(yīng)變式天平為主。鑒于試驗(yàn)過程中測(cè)力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，要進(jìn)一步提高天平的測(cè)力精度及獲得瞬時(shí)氣動(dòng)載荷，必須對(duì)結(jié)果進(jìn)行慣性補(bǔ)償[16]。

1 概述

本文以盒式單分量應(yīng)變式測(cè)力天平為研究對(duì)象，其結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，由浮動(dòng)框、固定框和彈性測(cè)量元件三部分組成，浮動(dòng)框和固定框均為實(shí)體結(jié)構(gòu)，具有很高的剛度，彈性測(cè)量元件為厚度2 mm的板梁，呈“z”字形，連接固定框和浮動(dòng)框，剛度很低，為試驗(yàn)時(shí)主要的變形部位。工作時(shí)浮動(dòng)框與試驗(yàn)?zāi)Ｐ凸踢B，固定框與模型支架固連，風(fēng)洞來流作用在試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜕袭a(chǎn)生氣動(dòng)力載荷，使天平測(cè)量元件產(chǎn)生應(yīng)變，引起應(yīng)變計(jì)電阻發(fā)生變化，惠斯頓電橋輸出電壓經(jīng)放大電路放大后輸出。圖1(b)為測(cè)力天平剖視圖，該圖顯示了箔式應(yīng)變計(jì)貼片位置，四個(gè)應(yīng)變計(jì)構(gòu)成全橋電路，檢測(cè)相應(yīng)位置的應(yīng)變，通過靜態(tài)校準(zhǔn)的方式確定輸入載荷和輸出電壓之間的關(guān)系，得到天平靜態(tài)校準(zhǔn)公式。該天平為單分量天平，僅測(cè)量軸向(x向)載荷，應(yīng)變計(jì)輸出測(cè)點(diǎn)y向的應(yīng)變信號(hào)。

圖1 單分量測(cè)力天平Fig.1 Single Component Force Measurement Balance

2 天平動(dòng)力學(xué)建模

天平測(cè)量元件為2 mm梁，質(zhì)量可忽略不計(jì)，只考慮其剛度特性，可簡(jiǎn)化為一對(duì)廣義彈簧，連接天平浮動(dòng)框和固定框，對(duì)兩部分之間的運(yùn)動(dòng)起約束作用，浮動(dòng)框連接試驗(yàn)?zāi)Ｐ停梢暈樽杂烧駝?dòng)，固定框與支架連接，可視為固定。對(duì)于如圖1所示的單分量天平，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化如圖2(a)，固定框簡(jiǎn)化為地面，測(cè)力元件簡(jiǎn)化為一組具有x向剛度的彈簧，由于天平結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，k1和k2具有相同的剛度，記為k，浮動(dòng)框簡(jiǎn)化為兩端彈簧支撐的桿，如圖2(b)所示，此時(shí)僅考慮天平的軸向變形，而忽略其他分量影響。

圖2 測(cè)力天平簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified model of test balance

設(shè)桿的位移為μ(x,t)，并假定其可分離變量，把該分離變量的結(jié)果應(yīng)用到N自由度系統(tǒng)上，此時(shí)有：

(1)

記

(2)

(3)

天平勢(shì)能由三部分組成，分別為彈簧k1和k2的彈性勢(shì)能，和浮動(dòng)框變形的彈性勢(shì)能，即

V=Vk1+Vk2+Vb

(4)

式中：Vk1、Vk2分別為彈簧k1和k2的彈性勢(shì)能，Vb為浮動(dòng)框的彈性勢(shì)能。

(5)

將式(2)代入式(5)得

(6)

(7)

同理

(8)

綜上所述，系統(tǒng)所具有的勢(shì)能為：

(9)

建模時(shí)不計(jì)彈性元件的質(zhì)量特性，系統(tǒng)所具有的動(dòng)能僅為浮動(dòng)框的動(dòng)能，即：

(10)

設(shè)試驗(yàn)過程中模型受到的載荷函數(shù)為F(x,t)，在該載荷作用下，天平浮動(dòng)框產(chǎn)生的虛位移為：

則該載荷對(duì)試驗(yàn)?zāi)Ｐ退龅奶摴椋?/p>

(11)

應(yīng)用拉格朗日方程可以得到

(12)

引入測(cè)力天平自身阻尼，得到其動(dòng)力學(xué)方程為：

(13)

式中：M，C，K分別為天平的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F(xiàn)為其受到的外部載荷。

式(13)表明，測(cè)力天平進(jìn)行載荷測(cè)量時(shí)，不僅要考慮測(cè)量元件變形產(chǎn)生的彈性載荷，還需要考慮浮動(dòng)框及試驗(yàn)?zāi)Ｐ彤a(chǎn)生的慣性載荷和阻尼載荷。因此，本文進(jìn)行測(cè)力天平動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，除彈性輸出載荷之外，同時(shí)將慣性載荷以及阻尼載荷考慮在內(nèi)，這將對(duì)風(fēng)洞測(cè)力結(jié)果重要影響。

3 仿真分析

3.1 天平虛擬靜標(biāo)

對(duì)測(cè)力天平進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，首先需對(duì)其進(jìn)行靜態(tài)校準(zhǔn)，獲得天平輸入和彈性輸出之間的關(guān)系。

天平的有限元模型如圖3所示，該模型節(jié)點(diǎn)數(shù)為2.4萬，網(wǎng)格數(shù)為0.35萬，材料為Ni18Co8Mo5TiAl，其力學(xué)參數(shù)如表1所示。邊界條件與使用時(shí)一致，天平浮動(dòng)框上表面施加軸向(x向)1 000 N載荷，如圖3所示，天平應(yīng)變結(jié)果如圖4所示。

表1 天平材料力學(xué)參數(shù)

圖3 天平有限元模型Fig.3 Finite element model of balance

圖4 天平y(tǒng)向應(yīng)變Fig.4 y direction strain of balance

表2 測(cè)點(diǎn)應(yīng)變

根據(jù)惠斯頓電橋原理，全橋電路輸出電壓為4處應(yīng)變計(jì)電壓的組合，此處只需考慮輸入載荷與輸出應(yīng)變總和之間的關(guān)系。表達(dá)式為

F=A(-μ1+μ2-μ3+μ4)

(14)

式中：A為天平系數(shù)，代入仿真所得數(shù)據(jù)計(jì)算得A=0.247 359 4×106N。

3.2 天平模態(tài)及風(fēng)洞載荷分析

3.2.1 模態(tài)分析

模態(tài)分析既是動(dòng)力學(xué)分析的一部分，又可以為瞬態(tài)分析提供必要的數(shù)據(jù)支撐。通過模態(tài)分析可以獲得結(jié)構(gòu)振動(dòng)的頻率和振型，此處進(jìn)行模態(tài)分析是為了獲得天平軸向振動(dòng)的固有頻率，以確定輸入載荷頻率。邊界條件與靜態(tài)標(biāo)定中相同，求解其前六階模態(tài)參數(shù)，結(jié)果如表3所示，各階振型如圖5所示。

分析結(jié)果表明，單分量天平的浮動(dòng)框軸向振動(dòng)為一階振動(dòng)，其固有頻率為94.214 Hz，而其他5階模態(tài)的固有頻率則大幅升高，這說明該天平軸向剛度相對(duì)于其他五個(gè)自由度的剛度很低，軸向載荷作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生更大的應(yīng)變，有利于該載荷的測(cè)量，證明該天平具有較好的性能，能夠滿足使用要求。

表3 天平前六階模態(tài)參數(shù)

圖5 天平前六階振型Fig.5 Former six modes of balance

3.2.2 階躍載荷

圖6為5 m量級(jí)不通氣標(biāo)模試驗(yàn)過程中總壓和軸向振動(dòng)信號(hào)，粗黑曲線表示試驗(yàn)段總壓變化規(guī)律，細(xì)曲線表示軸向電壓變化規(guī)律。從圖中可以看出，首先為總壓上升階段，即風(fēng)洞啟動(dòng)過程，接下來為總壓穩(wěn)定階段，即有效試驗(yàn)階段，持續(xù)約500 ms。因此，對(duì)測(cè)力天平振動(dòng)特性研究，必須分析階躍載荷作用時(shí)測(cè)力天平的振動(dòng)特性。

圖6 濾波后天平信號(hào)的時(shí)頻圖Fig.6 Time-frequency domain fig of FFT filter of balance

3.3 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性研究

3.3.1 阻尼系數(shù)的確定

阻尼對(duì)瞬態(tài)分析的影響很大，主要體現(xiàn)在振動(dòng)幅值隨著周期數(shù)增加逐漸減小。若不考慮阻尼，模型振動(dòng)將無時(shí)限的進(jìn)行下去，因此分析時(shí)，必須設(shè)置阻尼參數(shù)。對(duì)材料阻尼的研究，科學(xué)界提出了許多理論[17-18]，其中Rayleigh法在有限元計(jì)算過程中具有明顯優(yōu)勢(shì)，得到了廣泛的應(yīng)用，Rayleigh阻尼的線性表達(dá)式為

C=αM+βK

(15)

文獻(xiàn)[19]以及有限元軟件均是通過式(16)求解Rayleigh阻尼系數(shù)α和β值的。

(16)

式中：ωi、ωj為所關(guān)注振動(dòng)頻率的范圍；ξi、ξj為起止頻率所對(duì)應(yīng)的黏性阻尼系數(shù)，對(duì)于一般的機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，取值范圍為0.03～0.05，此處取ξi=ξj=0.04。

對(duì)測(cè)力天平進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真，載荷形式為正弦和階躍兩種。對(duì)于正弦載荷，頻率分別設(shè)置為浮動(dòng)框軸向振動(dòng)頻率的一半、軸向振動(dòng)頻率以及軸向振動(dòng)頻率的兩倍，對(duì)應(yīng)的值分別為50 Hz、94.214 Hz和200 Hz，該條件下，關(guān)注頻率范圍為0～200 Hz，代入式(16)得到α和β的值分別為0、6.37×10-5。對(duì)于階躍載荷，關(guān)注頻率范圍為0～100 Hz，求得α和β的值分別為0、1.275×10-4。

3.3.2 50 Hz激勵(lì)載荷作用下的振動(dòng)規(guī)律

測(cè)力天平施加正弦50 Hz加載時(shí)，載荷輸入輸出結(jié)果如圖7所示。

圖7(a)為施加載荷的變化規(guī)律，其中0～0.05 s為初始階段，載荷值為0，0.05～0.25 s為加載階段，其變化規(guī)律為幅值為1 000 N、周期為50 Hz的正弦信號(hào)，加載位置為天平浮動(dòng)框上表面，如圖3所示，0.25～0.35 s為卸載階段，載荷值為0，天平在阻尼的作用下自由振動(dòng)，直到靜止。

圖7(b)顯示了分析時(shí)間內(nèi)天平彈性載荷和浮動(dòng)框慣性載荷變化曲線，圖中虛線為根據(jù)式(14)計(jì)算所得天平彈性載荷，實(shí)線為天平輸出慣性載荷，方法為提取圖1(a)中A1～A4的軸向加速度，以四點(diǎn)加速度的均值作為浮動(dòng)框加速度(結(jié)果顯示天平浮動(dòng)框近似為剛體振動(dòng))，根據(jù)牛頓第二定律，得到整個(gè)浮動(dòng)框的慣性載荷。從圖中可以看出，彈性載荷和慣性載荷在正弦載荷作用時(shí)，輸出結(jié)果均未按照正弦規(guī)律變化，而是以結(jié)構(gòu)與載荷兩者耦合作用的規(guī)律振動(dòng)。

圖7(c)為輸入和輸出載荷的對(duì)比圖，虛線為標(biāo)準(zhǔn)輸入載荷，實(shí)線表示慣性補(bǔ)償后天平的輸出載荷。從圖中可以看出，對(duì)天平彈性載荷補(bǔ)償后，輸出與輸入載荷一致性良好。

3.3.3 共振載荷作用下的振動(dòng)規(guī)律

共振(Resonance)是指機(jī)械系統(tǒng)所受激勵(lì)的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同時(shí)，系統(tǒng)振幅顯著增大的現(xiàn)象。表3顯示，測(cè)力天平的一階振型為浮動(dòng)框軸向振動(dòng)，對(duì)應(yīng)頻率為94.214 Hz，所以此時(shí)輸入載荷的頻率設(shè)為94.214 Hz。

圖7 50 Hz正弦載荷分析結(jié)果Fig.7 Analysis result of 50 Hz sines load

圖8(a)為輸入載荷，其中0～0.05 s為初始階段，載荷輸入為0，0.05～0.262 3 s為加載階段，該時(shí)間段內(nèi)載荷的變化頻率為天平一階共振頻率94.214 Hz，幅值為1000 N，共20周期，0.262 3～0.35 s時(shí)間內(nèi)輸入載荷為0，天平振動(dòng)在阻尼作用下逐漸恢復(fù)至平衡位置。

圖8(b)為共振時(shí)載荷的輸出曲線，從兩條曲線中可以看出，隨著激勵(lì)周期數(shù)的不斷增加，載荷的幅值不斷增加，且由于阻尼的作用，其增長(zhǎng)速度逐漸降低，激勵(lì)結(jié)束之后，振動(dòng)幅值有不斷減小，最終趨于平穩(wěn)。

圖8 共振載荷分析結(jié)果Fig.8 Analysis result of resonance load

圖8(c)為輸入輸出載荷對(duì)比圖，從圖中可以看出，由于共振的影響，經(jīng)過慣性補(bǔ)償之后，載荷輸入輸出之間仍然存在一定的差異，主要表現(xiàn)在加載后期和載荷消失之后，但是其輸出結(jié)果精度較補(bǔ)償前得到了極大提高。

3.3.4 200 Hz激勵(lì)載荷作用下的振動(dòng)規(guī)律

接下來討論激勵(lì)載荷振動(dòng)周期為200 Hz時(shí)，測(cè)力天平的振動(dòng)情況。

圖9(a)為輸入載荷，其中0～0.05s為初始階段，載荷為0，0.05～0.25 s對(duì)天平施加周期200 Hz、幅值1 000 N的正弦載荷，共40個(gè)周期，0.25～0.35 s時(shí)間內(nèi)載荷為0。

圖9 200 Hz正弦載荷分析結(jié)果Fig.9 Analysis result of 200 Hz sines load

圖9(b)為載荷輸出結(jié)果，虛線和實(shí)線分別代表彈性載荷和慣性載荷，從圖中可以看出，加載過程中，天平的慣性載荷頻率特性基本穩(wěn)定，但是幅值特性不斷發(fā)生變化，彈性載荷的周期和幅值特性則均呈現(xiàn)出大幅波動(dòng)。

圖9(c)為輸入和輸出載荷的對(duì)比圖，從圖中可以看出，對(duì)彈性輸出載荷慣性補(bǔ)償后，天平總的輸出載荷與輸入載荷能夠很好的吻合。

3.3.5 階躍載荷作用下的振動(dòng)規(guī)律

對(duì)測(cè)力天平進(jìn)行階躍載荷作用下瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，圖10(a)為測(cè)力天平輸入載荷，0～0.05 s為初始階段，載荷值為0，0.05～0.050 2 s為加載階段，數(shù)值從初始狀態(tài)0增加到1 000 N，0.050 2 ～0.35 s為載荷穩(wěn)定階段。

圖10(b)為階躍載荷作用時(shí)測(cè)力天平彈性和慣性輸出載荷曲線，從圖中可以看出，隨著載荷施加，彈性與慣性輸出均以恒定周期進(jìn)行振動(dòng)，在阻尼作用下，振動(dòng)幅值不斷減小。

圖10(c)為測(cè)力天平輸入輸出對(duì)比圖，虛線表示天平的輸入載荷，實(shí)線表示彈性載荷與慣性載荷疊加后的輸出載荷，從圖中可以看出，慣性補(bǔ)償后，僅在載荷施加后，輸出載荷存在一定的振蕩，且持續(xù)很短時(shí)間后，即到平衡狀態(tài)。

圖10 階躍載荷分析結(jié)果Fig.10 Analysis result of shock load

3.4 結(jié)果分析

3.4.1 均值結(jié)果分析

以上對(duì)測(cè)力天平動(dòng)力學(xué)仿真分析，分別施加了周期為50 Hz、94.214 Hz、200 Hz的正弦載荷，以及階躍載荷，表4給出了不同載荷作用時(shí)，慣性補(bǔ)償前后輸入輸出均值之間的偏差比率。從表中可以看出，未進(jìn)行慣性補(bǔ)償且激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離天平共振頻率時(shí)，均值偏差率小于0.75%，能夠滿足試驗(yàn)測(cè)力的精度要求，但是當(dāng)激勵(lì)頻率接近天平固有頻率時(shí)，均值偏差率接近10%，說明此時(shí)天平彈性輸出結(jié)果失真嚴(yán)重。對(duì)測(cè)力天平進(jìn)行慣性補(bǔ)償后，輸出載荷的均值偏差率均小于0.1%，雖然共振頻率范圍附近的結(jié)果偏差較大，但結(jié)果仍然可信。

表4 不同激勵(lì)下輸入輸出偏差率

3.4.2 補(bǔ)償結(jié)果分析

圖11(a)～(d)顯示了以上4種瞬態(tài)載荷激勵(lì)時(shí)，慣性補(bǔ)償后輸入輸出載荷之間的瞬時(shí)偏差，從圖中可以看出當(dāng)輸入載荷頻率遠(yuǎn)離測(cè)力天平共振頻率時(shí)，兩者偏差在7%以內(nèi)，其中50 Hz正弦載荷與階躍載荷所得結(jié)果的瞬時(shí)偏差均小于5%，當(dāng)輸入載荷頻率等于測(cè)力天平固有頻率時(shí)，測(cè)力天平產(chǎn)生共振，對(duì)瞬態(tài)輸出結(jié)果造成很大的影響，輸入結(jié)果和輸出結(jié)果出現(xiàn)很大偏差。以上分析說明當(dāng)激勵(lì)載荷的頻率遠(yuǎn)離測(cè)力天平共振頻率時(shí)，慣性補(bǔ)償后天平的瞬時(shí)輸出結(jié)果是可信的。

圖11 分析結(jié)果瞬態(tài)偏差Fig.11 Transient difference of analysis results

4 結(jié) 論

本文首先基于Lagrange方程建立了測(cè)力天平的動(dòng)力學(xué)方程，闡述了彈性輸出進(jìn)行慣性補(bǔ)償?shù)谋匾裕浯瓮ㄟ^仿真的方法對(duì)測(cè)力天平進(jìn)行了不同頻率正弦載荷與階躍載荷作用時(shí)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真，通過對(duì)仿真結(jié)果分析，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)推導(dǎo)測(cè)力天平動(dòng)力方程發(fā)現(xiàn)，采用彈性輸出均值作為測(cè)力結(jié)果在一定精度范圍內(nèi)是可行的，但要進(jìn)一步提高測(cè)力精度，必須對(duì)彈性輸出結(jié)果進(jìn)行慣性補(bǔ)償；

(2)當(dāng)激勵(lì)載荷頻率遠(yuǎn)離測(cè)力天平固有頻率時(shí)，天平的彈性輸出均值與輸入均值偏差在0.75%以內(nèi)，可以滿足風(fēng)洞測(cè)力系統(tǒng)對(duì)測(cè)力結(jié)果的要求，但共振時(shí)兩者偏差較大；

(3)慣性補(bǔ)償后，測(cè)力天平輸出載荷均值與輸入載荷均值之間的偏差大幅降低，均小于0.1%，極大的提高了測(cè)力精度；

(4)慣性補(bǔ)償后，對(duì)遠(yuǎn)離測(cè)力天平固有頻率的激勵(lì)載荷，輸入輸出載荷之間的瞬態(tài)偏差在7%以內(nèi)，能夠滿足測(cè)力系統(tǒng)瞬態(tài)測(cè)力研究的需要。

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