黃 康， 汪 濤

(合肥工業(yè)大學 機械工程學院， 合肥 230009)

齒輪作為最廣泛的傳動形式之一，其振動與噪聲一直是國內(nèi)外學者普遍關注的問題。漸開線齒輪的動力學特性已有大量研究，李潤方等[1]系統(tǒng)的總結(jié)了漸開線齒輪系統(tǒng)的動力學特性。Parker等[2]建立了兩自由度齒輪動力學模型，分析了齒輪在不同轉(zhuǎn)動頻率下的傳動誤差的跳躍性；Vaishya等[3]建立了一對直齒輪的動力學模型，研究了時變摩擦力對系統(tǒng)非線性動力學的影響；陳思雨等[4]研究了修形對齒輪動力學的特性的影響；李發(fā)家等[5]研究了高與低重合度對齒輪分叉與跳躍特性的影響；常樂浩等[6]提出了齒輪綜合嚙合誤差的計算方法并分析了嚙合誤差對系統(tǒng)振動的影響。

微線段齒輪[7]作為一種特殊齒形的齒輪，其通過齒形設計來達到凸凹嚙合，相比漸開線齒輪其承載能力、耐磨性、傳動效率均有所提高[8-12]。目前，對于微線段齒輪的研究主要集中于成形原理、參數(shù)選擇、強度分析等，但缺乏其動力學特性研究。而本文針對微線段齒輪的特點，利用有限單元法求解了微線段齒輪的時變嚙合剛度，并通過等效嚙合線法建立了微線段齒的動力學模型求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，分析對比了兩種齒輪在不同轉(zhuǎn)速、載荷下的動力學響應、全局幅頻響應以及混沌分叉特性，為微線段齒輪的動力學設計提供了理論指導。

1 微線段齒輪參數(shù)

由微線段齒輪的成型原理可知，微線段齒輪齒形主要取決于初始壓力角、壓力角增量與初始基圓半徑，其成型由標準微線段齒條為基準，初始壓力角很小，故選取很大的基圓半徑來保證較小的初始壓力角。齒輪幾何參數(shù)及材料屬性見表1，其齒廓與漸開線對比如圖1。

表1 齒輪幾何參數(shù)及材料屬性

圖1 微線段齒輪與漸開線齒輪齒廓Fig.1 Tooth profile of micro-segment gear and involute gear

2 動力學模型

2.1 運動微分方程

由于微線段齒廓的特殊性，傳統(tǒng)的漸開線模型不能適應于微線段齒輪。微線段齒輪具有多壓力角嚙合傳動的特點，其嚙合線為近似正弦曲線，且初始嚙合點以及曲線的幅值與齒輪的初始設計參數(shù)相關。其嚙合線如圖2所示。

圖2 微線段齒輪嚙合線Fig.2 Themeshing line ofmicro-segment gear

用三階傅里葉變換擬合曲線，則等效側(cè)隙可表述為：

建立一對微線段直齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動模型，假設傳動軸和軸承均為剛性，考慮齒輪的綜合誤差，其模型簡圖如圖4所示。

圖3 微線段與漸開線齒輪等效側(cè)隙Fig.3 Equivalent lateral clearance of micro-segment and involute gear

圖4 直齒輪副扭轉(zhuǎn)振動模型Fig.4 Torsional vibration model of spur gear pair

則根據(jù)牛頓第二定律，主動輪和從動輪的運動微分方程分別為：

(1)

2.2 時變嚙合剛度計算

齒輪的時變嚙合剛度是影響齒輪動力學特性的主要因素之一，本文通過有限元法，建立微線段與漸開線齒輪的多齒嚙合模型，保留整個齒圈，并通過接觸分析求解得到齒輪的節(jié)點位移。微線段齒輪的嚙合有限元模型,如圖5。

圖5 微線段齒輪有限元模型Fig.5 Finite element model of micro-segment gear

齒輪1(左)為主動輪，在主從動輪中心建立參考點，主從動輪內(nèi)圈分別耦合參考點建立剛性連接。僅保留主動輪周向旋轉(zhuǎn)自由度，從動輪全約束，并設置多齒接觸對。在主動輪參考點上施加扭矩Ta，求解有限元模型，計算主動輪的相對轉(zhuǎn)角θ，則此嚙合位置下的齒輪嚙合剛度k與轉(zhuǎn)角θ的關系可表示為：

kRaθ=Ta/Ra

(2)

將嚙合過程離散化，通過旋轉(zhuǎn)主從動輪使得主從動輪處于不同的嚙合位置，分別求解有限元模型，得到嚙合過程中不同位置下的嚙合剛度，擬合得其剛度曲線如圖6。

圖6 微線段與漸開線齒輪時變嚙合剛度Fig.6 Time-varying meshing stiffness of micro-segment and involute gear

由于微線段齒輪為凹凸接觸，且齒根較寬，其接觸彎曲接觸強度高，但重合對相比漸開線有所降低。微線段齒輪剛度取決于其初始參數(shù)的選取，通過選取不同參數(shù)能夠得到不同的剛度特性。將兩種齒輪剛度曲線通過傅里葉擬合后代入動力學方程中求解。

2.3 方程的無量綱化

(3)

將齒輪綜合傳動誤差表示為：

(4)

對方程(1)進行無量綱化，則無量綱化后的方程為：

(5)

3 系統(tǒng)動力學特性分析

3.1 不同轉(zhuǎn)速下的振動響應

取b=100μm，ζ=0.1，分別取Ω=0.2、0.8、1.6、2，T=200 N·M、600 N·M、1 000 N·M、1 000 N·M，利用變步長4階龍格庫塔 (Runge-Kutta)法求解動力學方程，分析系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速、載荷下的動力學響應。其動力學響應如圖7所示。

由圖7可知，Ω=0.2時，兩種齒輪均為單周期運動，微線段齒輪振動幅值較大；當Ω增大到0.8時，從相圖中可以看出兩種齒輪均為單周期運動，微線段齒輪的振動均值與幅值均明顯小于漸開線；當Ω為1.6時，兩種齒輪均出現(xiàn)了超諧與次諧響應，由相圖可知，此時漸開線齒輪為四周期運動，微線段齒輪為雙周期運動；當Ω為2.2時，兩種齒輪均為單周期運動，且微線段齒輪的振動均值與幅值均明顯小于漸開線。

綜合四種頻率的系統(tǒng)響應可知，由于微線段齒輪剛度較大，重合度較低，在輕載時更容易發(fā)生脫齒與沖擊，在中高速重載傳動時，具有良好的動力學特性，且相比漸開線齒輪有較好的穩(wěn)定性。

3.2 系統(tǒng)的全局響應與分叉特性

為了對比分析微線段齒輪與漸開線齒輪的特性，研究不同參數(shù)下系統(tǒng)的全局幅值響應與分叉特性。選取b=100 μm，取ζ=0.05時，兩種齒輪的幅值曲線，如圖8。

圖8中xmax、xm分別代表系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的最大值與均值。由圖8可知，兩種系統(tǒng)均產(chǎn)生了亞諧波共振(Ω=0.5)。微線段齒輪的共振峰值與均值相比漸開線齒輪偏小。當取Ω=0.68、1.258時，兩種齒輪幅頻曲線均有跳躍現(xiàn)象，且伴隨有脫齒現(xiàn)象。由于跳躍和系統(tǒng)運行的周期穩(wěn)定相關，因此，需要對該情況下的運行多值性和跳躍現(xiàn)象進行研究。

在本文設置的微線段參數(shù)下，相比漸開線齒輪，微線段齒輪在大部分轉(zhuǎn)速區(qū)域穩(wěn)態(tài)均值與幅值均低于漸開線，且在中高速轉(zhuǎn)速區(qū)域更加明顯。

Ω=0.2，T=200 N·M

Ω=0.8，T=600 N·M

Ω=1.6，T=1 000 N·M

Ω=2.2，T=1 000 N·M圖7 系統(tǒng)動力學響應Fig.7 Dynamic response of gear system

圖8 幅頻響應曲線Fig.8 Amplitude frequency response curve

由于傳動誤差以及間隙的存在，隨著轉(zhuǎn)速的增加系統(tǒng)響應周期發(fā)生相應的變化。利用數(shù)值仿真研究其分叉特性，其響應周期隨頻率比的分叉如圖9所示。

圖9 微線段與漸開線齒輪分叉特性Fig.9 Bifurcation properties of micro-segment and involute gear

由圖9可知，系統(tǒng)響應周期隨著Ω增大而發(fā)生變化。當Ω增大到1.02時，兩種齒輪系統(tǒng)均由單周期響應分叉為雙周期響應，當Ω增大到1.36時，微線段齒輪系統(tǒng)再次發(fā)生周期倍化分叉，漸開線齒輪保持單周期響應；當Ω增大到1.43時，漸開線齒輪系統(tǒng)進入混沌響應狀態(tài)，至Ω=1.95時系統(tǒng)由混沌運動狀態(tài)通過倒分岔進入周期運動狀態(tài)最終通過穩(wěn)定吸引子鎖相為單周期運動。而微線段齒輪在Ω增大到1.6后發(fā)生短暫混沌響應，并較漸開線齒輪提前結(jié)束多周期響應進入單周期穩(wěn)定狀態(tài)。

由于微線段齒輪齒廓的特殊性，其嚙合線的非直線性在一定程度上降低了加工誤差等對齒輪傳動誤差的影響。而誤差激勵對漸開線齒輪在較大轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)動力學特性產(chǎn)生較大影響，齒輪系統(tǒng)混沌區(qū)域的轉(zhuǎn)速范圍較微線段齒輪要大的多，因此微線段齒輪對轉(zhuǎn)速的周期穩(wěn)定性要優(yōu)于普通漸開線齒輪。由于混沌運動加劇齒輪系統(tǒng)的振動和噪聲，相對漸開線齒輪，微線段齒輪可以有效降低齒輪系統(tǒng)的振動和噪聲。

4 結(jié) 論

(1)利用ANSYS建立了微線段齒輪的有限元模型，并通過接觸分析得到了微線段齒輪的時變剛度曲線。考慮了微線段齒輪齒廓的特殊性，建立了適用于微線段齒輪系統(tǒng)的動力學模型，并通過數(shù)值法來求解系統(tǒng)的運動微分方程。

(2)分析對比了不同轉(zhuǎn)速下微線段以及漸開線齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的差別，并通過全局分析指出了系統(tǒng)的亞諧共振和系統(tǒng)的幅值階躍現(xiàn)象。結(jié)果表明，微線段齒輪在中高速重載時相比漸開線齒輪有更好的動力學性能。

(3)通過系統(tǒng)的全局分叉研究，在本文參數(shù)下的微線段齒輪系統(tǒng)混沌區(qū)域的轉(zhuǎn)速范圍相比漸開線齒輪要小，系統(tǒng)更加穩(wěn)定。

[ 1 ] 李潤方, 王建軍. 齒輪系統(tǒng)動力學-振動, 沖擊, 噪聲[M]. 北京: 科學出版社, 1997.

[ 2 ] PARKER R G, VIJAYAKAR S M, IMAJO T. Non-linear dynamic response of a spur gear pair: modelling and experimental comparisons[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 237(3): 435-455.

[ 3 ] VAISHYA M, SINGH R. Strategies for modeling friction in gear dynamics[J]. Journal of Mechanical Design, 2003, 125(2): 383-393.

[ 4 ] 陳思雨, 唐進元, 王志偉, 等. 修形對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律[J]. 機械工程學報, 2014, 50(13): 59-65.

CHEN Siyu, TANG Jinyuan, WANG Zhiwei, et al. Effect of modification on dynamic characteristics of gear transmissions system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(13): 59-65.

[ 5 ] 李發(fā)家, 朱如鵬, 鮑和云, 等. 高重合度與低重合度齒輪系統(tǒng)動力學分岔特性對比分析[J]. 中南大學學報 (自然科學版), 2015, 46(2): 465-471.

LI Fajia, ZHU Rupeng, BAO Heyun, et al. Contrastive analysis of dynamic bifurcation characteristics between high contact ratio and low contact ratio gears system[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2015, 46(2): 465-471.

[ 6 ] 常樂浩, 劉更, 吳立言. 齒輪綜合嚙合誤差計算方法及對系統(tǒng)振動的影響[J]. 機械工程學報, 2015, 51(1): 123-130.

CHANG Lehao, LIU Geng, WU Liyan. Determination of composite meshing errors and its influence on the vibration of gear system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(1): 123-130.

[ 7 ] 趙韓, 梁錦華. 微線段齒廓的形成原理及特性[J]. 機械工程學報, 1997, 33(5): 7-11.

ZHAO Han, LIANG Jinhua. Constructing principle and features of tooth profiles with micro-segments[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 1997, 33(5): 7-11.

[ 8 ] KOMORI T, ARIGA Y, NAGATA S. A new gears profile having zero relative curvature at many contact points (Logix Tooth Profile)[J]. Journal of Mechanical Design, 1990, 112(3): 430-436.

[ 9 ] FENG X Y, AIQUN W, LEE L. Study on the design principle of the LogiX gear tooth profile and the selection of its inherent basic parameters[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2004, 24(11/12): 789-793.

[10] 黃康, 趙韓. 微線段齒輪與漸開線齒輪的彎曲強度比較分析[J]. 農(nóng)業(yè)機械學報, 2001, 32(1): 115-117.

HUANG Kang, ZHAO Han. Research on bending strength on micro-segment gear compared with involute gear[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2001, 32(1)： 115-117.

[11] 黃康, 趙韓, 蔣小兵. 微線段齒輪與漸開線齒輪傳動效率對比試驗研究[J]. 機械傳動, 2002, 26(4): 3-6.

HUANG Kang, ZHAO Han, JIANG Xiaobing. The efficiency comparisonal test research on micro-segments gear and involute gear[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2002, 26(4): 3-6.

[12] 黃康, 趙韓, 田杰. 微線段齒輪與漸開線齒輪溫升對比實驗研究[J]. 中國機械工程, 2006, 17(18): 1880-1883.

HUANG Kang, ZHAO Han, TIAN Jie. Experimental research on temperature rise comparison between micro-segment gear and involute gear[J]. China Mechanical Engineering, 2006, 17(18): 1880-1883.

[13] 劉鵬, 趙韓, 黃康,等. 基于勢能法的微線段齒輪嚙合剛度模型研究[J]. 應用力學學報, 2015, 32(6): 1069-1074.

LIU Peng, ZHAO Han, HUANG Kang, et al. Research on meshing stiffness calculation model for micro-sgment gear based on potential energy method[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2015, 32(6): 1069-1074.

[14] SHEN Yongjun, YANG Shaopu, LIU Xiandong. Nonlinear dynamics of a spur gear pair with time-varying stiffness and backlash based on incremental harmonic balance method[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2006, 48(11): 1256-1263.

[15] LIN J, PARKER R G. Mesh stiffness variation instabilities in two-stage gear systems[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2002, 124(1): 68-76.

[16] 常樂浩. 平行軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學通用建模方法與動態(tài)激勵影響規(guī)律研究[D]. 西安： 西北工業(yè)大學, 2014.

[17] 孫濤. 行星齒輪系統(tǒng)非線性動力學研究[D]. 西安： 西北工業(yè)大學, 2000.

[18] XU L, LU M W, CAO Q. Bifurcation and chaos of a harmonically excited oscillator with both stiffness and viscous damping piecewise linearities by incremental harmonic balance method[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 264(4): 873-882.

[19] 楊紹普, 申永軍, 劉獻棟. 基于增量諧波平衡法的齒輪系統(tǒng)非線性動力學[J]. 振動與沖擊, 2005, 24(3): 40-42.

YANG Shaopu, SHEN Yongjun, LIU Xiandong. Nonlinear dynamics of gear system based on incremental harmonic balance method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2005, 24(3): 40-42.

[20] 蘇程, 尹朋朋. 齒輪系統(tǒng)非線性動力學特性分析[J]. 中國機械工程, 2011, 22(16): 1922-1928.

SU Cheng, YIN Pengpeng. Analysis of nonlinear dynamics in a spur gear pair system[J]. China Mechanical Engineering, 2011, 22(16): 1922-1928.

[21] LAU S L, ZHANG W S. Nonlinear vibrations of piecewise-linear systems by incremental harmonic balance method[J]. Journal of Applied Mechanics, 1992, 59(1): 153-160.

[22] KAHRAMAN A, SINGH R. Non-linear dynamics of a spur gear pair[J]. Journal of Sound & Vibration, 1990, 142(1): 49-75.